9.2.3向量的數(shù)量積第1課時向量的數(shù)量積(教學(xué)方式:基本概念課——逐點理清式教學(xué))[課時目標]1.通過物理中功等實例,理解向量數(shù)量積的概念及意義,會計算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.掌握平面向量數(shù)量積運算律及運算性質(zhì),并能解一些簡單問題.逐點清(一)向量的數(shù)量積[多維理解]1.向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a和b,它們的夾角是θ,我們把數(shù)量叫作向量a和b的數(shù)量積記法記作a·b,即a·b=規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為2.向量的夾角、垂直及模(1)設(shè)兩個非零向量a和b的夾角為θ,則cosθ=.

(2)a⊥b?(a,b是兩個非零向量).(3)a·a=|a|2或|a|=.|微|點|助|解|(1)向量的數(shù)量積a·b,不能表示為a×b或ab.(2)兩個向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù),而不是向量;向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個向量,其長度是原向量長度的倍數(shù).(3)兩個向量的數(shù)量積所得的數(shù)值為兩個向量的模與兩個向量的夾角θ的余弦的乘積,由于|a|,|b|均為正數(shù),故其符號由夾角來決定.[微點練明]1.已知|a|=3,|b|=23,a與b的夾角是120°,則a·b等于()A.3 B.-3 C.-33 D.332.已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,則a與b夾角的大小為()A.30° B.60°C.120° D.150°3.若a與b滿足|a|=|b|=1,<a,b>=60°,則a·a+a·b等于()A.12 B.3C.1+32 D.4.已知等邊三角形ABC的邊長為1,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,那么a·b+b·c+c·a=()A.3 B.-3 C.32 D.-5.已知向量a,b的夾角為5π6,且|a|=3,|b|=1,則|a+2b|=(A.1 B.3C.2 D.13逐點清(二)投影向量[多維理解]1.投影向量的定義設(shè)a,b是兩個非零向量,如圖,OA表示向量a,OB表示向量b,過點A作OB所在直線的垂線,垂足為點A1.我們將上述由向量a得到向量OA1的變換稱為向量a向向量b投影,向量OA1稱為上的投影向量.設(shè)向量a,b的夾角為θ,則O2.向量數(shù)量積的幾何意義向量a和b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的的數(shù)量積.|微|點|助|解|(1)a與b平行時,a在b上的投影向量是其本身;a⊥b時,a在b上的投影向量為0.(2)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量.[微點練明]1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夾角為π3,則a在b上的投影向量的模為()A.1 B.3 C.32 D.2.已知向量e是與向量b方向相同的單位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量為2e,則a·b=()A.23 B.-23 C.4 D.-43.已知O為正三角形ABC的中心,則向量OA在向量AB上的投影向量為()A.-32AB BC.-12AB D4.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,a·b=-3,則b在a上的投影向量為()A.-34a B.-3C.-13a D.-2逐點清(三)數(shù)量積的運算律及運算性質(zhì)[多維理解]1.向量數(shù)量積的運算律交換律a·b=結(jié)合律(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b分配律(a+b)·c=2.向量數(shù)量積的運算性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角為θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)當(dāng)a與b同向時,a·b=|a||b|,當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a||b|.(3)|a·b|≤|a||b|,當(dāng)且僅當(dāng)向量a,b共線,即a∥b時等號成立.|微|點|助|解|(1)已知實數(shù)a,b,c(b≠0),則ab=bc?a=c.但對于向量的數(shù)量積,該推理不正確,即a·b=b·c不能推出a=c.(2)對于實數(shù)a,b,c有(ab)c=a(bc),但對于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.這是因為(a·b)·c表示一個與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.[微點練明]1.(多選)設(shè)a,b,c是任意的非零向量,則下列結(jié)論不正確的是()A.0·a=0B.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·b=0?a⊥bD.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|22.已知向量a,b夾角的余弦值為-14,且|a|=4,|b|=1,則(a-b)·(b-2a)=()A.-36 B.-12 C.6 D.363.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=23,b·(2a-b)=-18,則a與b的夾角等于()A.30° B.60° C.120° D.150°4.若單位向量a,b滿足(a-2b)·(a+b)=-12,則|a-b|等于()A.1 B.2 C.3 D.25.已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a-b),則a與b的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°第1課時向量的數(shù)量積[多維理解]1.|a||b|cosθ|a||b|cosθ02.(1)a·b|a||b|(2)a·b=0(3)[微點練明]1.選B由平面向量數(shù)量積的定義可得a·b=|a||b|cos120°=3×23×-12=-2.選C因為|a|=3,|b|=2,a·b=-3,所以cos<a,b>=a·b|a||b|=-33×2=-12.因為0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>3.選B由題意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos60°=1+12=32,故選4.選D在等邊三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=-32.故選D5.選A|a+2b|=a=a=3+4×3×1×cos[多維理解]1.向量a在向量b(|a|cosθ)bb2.投影向量與向量[微點練明]1.選D由題意,a在b上的投影向量的模為|a|cosπ3=1×12=2.選Ca·b=|b||a|cos<a,b>=|b||2e|=2×2=4.故選C.3.選C取AB中點D,連接OD,因為O為正三角形ABC的中心,所以O(shè)D⊥AB,則向量OA在向量AB上的投影向量為DA=-12AB,故選4.選A設(shè)向量a,b的夾角為θ,因為|a|=2,|b|=3,a·b=-3,所以a·b=|a||b|cosθ=2×3cosθ=-3,所以cosθ=-12,所以b在a上的投影向量為|b|cosθ·aa=3cosθ·a2=3×-12·a[多維理解]1.b·aa·c+b·c[微點練明]1.選AB0·a=0,A錯誤;(a·b)·c表示與c共線的向量,a·(b·c)表示與a共線的向量,但a與c不一定共線,B錯誤;a·b=0?a⊥b,C正確;(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,D正確.故選AB.2.選A(a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4×1×-14-1-2×16=-36.故選3.選D由b·(2a-b)=2a·b-b2=2a·b-12=-18,得a·b=-3,則cos<a,b>=a·b|a||b|=-323=-32.∵0°≤<a,b>≤180°,所以a與b4.選C因為a,b為單位向