高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省張家口市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊第五章，必修第二冊第六章、第七章7.1，7.2．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選:C.2.，是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，若三點(diǎn)共線，則的值為（）A. B. C.-4 D.4【答案】A【解析】由三點(diǎn)共線，得，又，，，不共線，則，所以.故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由兩邊平方得，即.故選：C4.設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，在上的投影向量為.故選：C5.已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】因?yàn)橹?，，由正弦定理得，所以；由，由正弦定理得，所以；則“”是“”的充要條件.故選：C.6.如圖，一塊三角形鐵皮，其一角已破裂，小明為了了解原鐵皮的規(guī)格，現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：，則破裂的斷點(diǎn)兩點(diǎn)間距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，延長交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理，得，，由題意得，，在中，由余弦定理，得，故兩點(diǎn)之間的距離為.故選：D.7.設(shè)函數(shù)，若．則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)（，），．故選：A．8.已知中，是外接圓的圓心，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】過點(diǎn)作，垂足分別為，因?yàn)槭峭饨訄A的圓心，則為的中點(diǎn)，則，由正弦定理得，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則，所以的最大值為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.C.D.的夾角為【答案】ABD【解析】由，可得，所以不共線，所以能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故A正確；由，所以，所以，所以，故B正確；，所以，故C錯(cuò)誤；，故的夾角為，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的模為B.復(fù)數(shù)的虛部為﹣1C.若，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則【答案】AB【解析】對于A選項(xiàng)，，故A正確，對于B選項(xiàng)，的虛部為，故B正確，對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，均為虛?shù)，虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)誤，對于D選項(xiàng)，令，則，故D錯(cuò)誤，故選：AB.11.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于對稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】ABD【解析】由已知，因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期為，故正確；因?yàn)椋泻瘮?shù)的對稱中心為，，當(dāng)時(shí)，的對稱中心為，故正確；因?yàn)椋O(shè)，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以值域?yàn)?，所以的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤；，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，即在上是減函數(shù)，故正確.故選：.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則__________.【答案】【解析】由題意可設(shè)對應(yīng)的向量為對應(yīng)的向量為，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得和模相等，且它們對應(yīng)的向量垂直，則解得.故答案為：13.已知，且為第三象限角，則______.【答案】【解析】，∴，又為第三象限角，所以，由知：.故答案為：.14.在中，角的對邊分別為，且.若，則對的最小值為__________.【答案】【解析】由，得，所以，因?yàn)?，則，所以，設(shè)，則點(diǎn)在直線上，所以，當(dāng)時(shí)，最小，其最小值為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求復(fù)數(shù)的模長.解：（1）設(shè)，則，所以，解得，故.（2）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，是關(guān)于的方程的另一個(gè)根，，解得，.16.已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若向量，且向量.（1）求角的值；（2）若，求的周長.解：（1）因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)椋?（2）由正弦定理，將代入，得，因?yàn)椋?，所以，故的周長為.17.已知函數(shù)，（，）的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由圖可知，函數(shù)的最小正周期滿足：，解得，因?yàn)椋?，依題意，把點(diǎn)代入，可得，因?yàn)楹瘮?shù)圖象在附近呈上升趨勢，故得，，又，則，故函數(shù)的解析式為．（2）對于，因?yàn)椋瑒t，由函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋傻迷趨^(qū)間上的值域?yàn)?，作出其圖象，可知需使，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)，求的值；（3）求的最小值.解：（1）由已知當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，因?yàn)椋裕?（2）當(dāng)時(shí)，，即為的中點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，則，又不共線，根據(jù)平面向量基本定理得解得所以，又，則所以.（3）因?yàn)?，，所以，由?），又，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.19.定義：若非零向量，函數(shù)的解析式滿足，則稱為的“線性函數(shù)”，為的“線性向量”，（1）若向量為函數(shù)的“線性向量”，求（2）若函數(shù)為向量的“線性函數(shù)”，在中，，，且，求的值；（3）若函數(shù)為向量的“線性函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋瑒t，故.（2）依題意，，由可得，因，則，故，解得，因，則，又，代入解得①，由正弦定理，，可得，代入①，可得②，又由余弦定理，，可得③，于是，解得.（3