高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽市2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可知直線的斜率，直線的傾斜角為，則，，所以.故選：D.2.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A選項，不存在使得成立，故能構成空間的另一個基底；對于B選項，，故不能構成空間的另一個基底；對于C選項，，故不能構成空間的另一個基底；對于D選項，，故不能構成空間的另一個基底.故選：A.3.已知，，，則的外接圓方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設的外接圓方程為，因為，，，所以，解得，所以的外接圓方程為.故選：D.4.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E是PD的中點，點F滿足，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知．故選：C．5.已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】圓化為標準形式是，圓心是，半徑是；圓化為標準形式是，圓心是，半徑是；則，兩圓相交，公切線有2條．故選：B.6.在三棱錐中，已知，，，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，作圖如下：因為，故可得，即，又因為面面，面面，面，故可得面，又面，故；在△中，因為，滿足，故，且；又，，，，設直線與所成角為，則.故選：A.7.直線始終平分圓，則的最小值為（）A. B.20 C. D.5【答案】B【解析】圓的圓心為，由直線始終平分圓，得，則，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為20.故選：B8.已知實數(shù)，圓，，，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，若在圓上存在點，使得，所以點的軌跡方程是以為直徑的圓，所以圓方程為：，又因為點在圓上，所以兩圓有公共點，所以，解得：.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是邊長為2的正方形，點，在平面的同側，平面，平面，且，點為的中點，點是線段上的動點，則線段的長度可能為（）A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】如圖所示，以為原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，則、、、、、、設P，由點是上的動點，知，即，∴，故，∴所以.故選：BC.10.已知直線，下列說法正確的是（）A.直線過定點B.點到直線的最大距離為C.直線一定經(jīng)過第四象限D.當時，直線關于直線的對稱直線為【答案】ABD【解析】對于A，，令，可得：，所以直線過定點，故A正確；對于B，直線過定點，當時，點到直線的距離最大，且最大距離為，故B正確；對于C，直線過定點，不一定經(jīng)過第四象限，故C錯誤；對于D，當時，直線，設直線關于直線的對稱直線為，一定經(jīng)過直線和直線的交點，設為，由可得：，所以，在直線上任取一點關于直線的對稱點一定在上，所以，解得：，所以，在直線上，所以，化簡可得：，故D正確.故選：ACD.11.在正方形中，點是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.B.當點為中點時，與相交于一點，且C.存在點，使得平面D.異面直線與所成角的余弦值的最大值為【答案】ABD【解析】對于A選項，在正方體中，易知，由平面，得，而，故平面，所以，同理可得，又因為，所以平面，又平面，∴，故A正確；對于B選項，當為中點時，根據(jù)題意可得，為中點，設和相交于點E，連接和，如圖所示：因為，所以，故B正確；對于C選項，設正方體的邊長為，建立如圖所示直角坐標系，則,設平面的法向量，則,則，令，則，故，設，則，則，由平面，則，所以，則不存在,即不存在使得平面，故C錯誤；對于D選項，由，，則，此時，即為中點，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，若經(jīng)過點的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是___________.【答案】【解析】如圖所示，若直線或與線段相交，當直線斜率時，，當直線斜率時，，綜上所述，或，故答案為：.13.點是空間直角坐標系中一點，點關于平面的對稱點為，點關于軸的對稱點為，則線段的長度為___________.【答案】【解析】由題意可得，，.14.已知函數(shù)，若關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因為有三個不相等的實數(shù)根，即有三個不相等實數(shù)根，所以的圖象與直線有三個不同交點，又因為直線過定點，當直線與半圓相切時，則有，解得，此時的圖象與直線只有兩個不同交點，當直線平行于直線時，，此時直線與的圖象有三個交點，滿足題意；所以當時，的圖象與直線有三個不同交點，滿足題意；當時，如圖所示：此時的圖象與直線有三個不同交點，滿足題意；當直線過點時，，此時的圖象與直線只有兩個不同交點，由圖可知當時，的圖象與直線有三個不同交點，滿足題意；綜上，.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0．（1）若l1⊥l2，求實數(shù)m的值；（2）若l1∥l2，求l1與l2之間的距離d．解：（1）∵直線l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0，∴當l1⊥l2時，1?（m-3）-2m=0，解得m=-3；（2）由l1∥l2可得m（m-3）+2=0，解得m=1或m=-2，當m=2時，l1與l2重合，應舍去，當m=-1時，可得l1：x+y+1=0，l2：-2x-2y+6=0，即x+y-3=0，由平行線間的距離公式可得d==216.如圖，在三棱柱中，，，，設，，，是的中點.（1）用、、表示向量；（2）在線段上是否存在點，使得？若存在，求出的位置，若不存在，請說明理由.解：（1）（2）假設存點，使得，設，則，因為，所以，即，所以，，設，又，，所以，，即，解得，所以當時，.17.已知點，圓，動點在圓上，為的中點，直線.（1）求點的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點，，坐標原點為，當?shù)拿娣e為，且為鈍角時，求的值.解：（1）設，，由為的中點，可得，即，又點在上，即，即；（2）由（1）可得，則，即，又為鈍角，所以，及，此時圓心到直線的距離，又，解得.18.如圖，在四棱錐中，為正三角形，，，平面，與平面所成角為45°.（1）若為的中點，求證：平面；（2）若，求點到平面的距離.解：（1）平面，與平面所成角為45°，，，又為中點，.平面，平面，.，，平面，平面，∵平面，，又，平面，平面，∵平面，，，，，平面，平面，∵平面，，，平面，平面.（2）平面，平面，.又，故兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵，為等邊三角形，∴，∵，∴，，則，，，，，，設平面的法向量為，，即取，則，，，，點到平面的距離.19.如圖，四邊形中，，，，，，，分別在，上，.現(xiàn)將四邊形沿折起，使得平面平面.（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的正切值.解：（1），，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，，，，，，設平面的法向量為，則，，即.取，則，，，設直線與平面所成的角為，則.（2）設，，由（1）可得，三棱錐底面積，高，即時，三棱錐的體積最大，在直角梯形中，，，，，，，，，，是二面角的平面角..20.已知圓的圓心在軸上，點