高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列結(jié)論正確的是（）A.若與都是單位向量，則B.方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量C.直角坐標(biāo)平面上的軸，軸都是向量D.若與是平行向量，則【答案】B【解析】A：由單位向量只是模長(zhǎng)相等，但方向任意，故不一定成立，錯(cuò)；B：如下圖，上北右東，則南偏西60°的向量，北偏東60°的向量，顯然它們是方向相反的向量，即為共線向量，對(duì)；C：直角坐標(biāo)系中，、軸有方向，但無(wú)大小，與向量的概念不符，錯(cuò)；D：與是平行向量，也有可能方向相反的情況，故不一定成立，錯(cuò).故選：B2.三個(gè)平面可將空間分成部分，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】由于兩個(gè)平面最多將空間分成4個(gè)部分，故三個(gè)平面最多可將空間分成8個(gè)部分，如下圖示，故選：C3.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1或3 B.1或2 C.1 D.2【答案】D【解析】由題設(shè)，可得.故選：D4.如圖，是水平放置的用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，則的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】作出，如下圖所示：由題意可知，，，由勾股定理可得，故的周長(zhǎng)為.故選：A.5.在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?、不共線，且，所以，，故.故選：B.6.已知滿足，，，則點(diǎn)依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心【答案】C【解析】依題意，由得，到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為外心；設(shè)的中點(diǎn)為，則由得，所以為重心；由得，所以，同理可得，所以為垂心．故選：C7.在平行六面體中，，分別為棱，上的點(diǎn)，且，，直線與平面的交點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)平行六面體的體積為，因?yàn)槠叫辛骟w的上下底面平行，所以平面與上下底面的交線互相平行，設(shè)為平面與上底面的交線，為與的交點(diǎn)，則，連接,由等體積法可得，設(shè)平行六面體的上下底面的距離為，，因?yàn)樵谄叫辛骟w中，因?yàn)?，由等角定理可知各?nèi)角相等，所以，所以，，又因?yàn)楦鲀?nèi)角相等或互補(bǔ)，所以，所以，因?yàn)?,，所以,所以，即.故選：D.8.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則當(dāng)最大時(shí)，等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，而，聯(lián)立并整理得，所以，所以，則，顯然均為銳角，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故，此時(shí).故選：C二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但選不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.，的夾角為D.向量在向量上的投影向量為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以C正確，對(duì)于D，向量在向量上的投影向量為，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC10.在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說(shuō)法正確的是（）A.“”是“”的充要條件B.若，則為等腰三角形C.若，，，則符合條件的有兩個(gè)D.若，則為銳角三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有，由正弦定理得，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，則，所以“”是“”的充要條件，故A正確；對(duì)于B，由，得，由余弦定理得，即，也即，整理得，故得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，過(guò)作垂直于所在的直線于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以符合條件的有兩個(gè)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以均不等于，且，則得，因，故得，所以，因，，則，即，所以為任意斜三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為B.存在點(diǎn)，使得平面平面C.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D.的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，∵正方體的對(duì)面互相平行，∴過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體的對(duì)面所得截線互相平行，又∵為線段的中點(diǎn)，∴截面交于其中點(diǎn)，連接，則四邊形即為所求截面，顯然為等腰梯形，且，梯形的高，面積為，故A正確；過(guò)與平面平行的直線都在過(guò)與平面平行的平面內(nèi)，易知過(guò)與平面平行的平面截正方體的截面為如圖所示1的六邊形，其各頂點(diǎn)都是正方體的相應(yīng)棱的中點(diǎn)，由于不在平面內(nèi)，∴平面與直線平行，∴平面與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；∵，平面，不在平面內(nèi)，∴平面，又∵，∴到平面的距離為定值，又∵的面積為定值，∴當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變，故C正確；將矩形展開(kāi)到與等腰直角三角形在同一平面內(nèi)，如圖2所示，，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則___________.【答案】【解析】〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳析】向量，，因，則有，解得，所以.故答案為：413.已知復(fù)數(shù)，.若，則的取值范圍是________.【答案】【解析】由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等可得，即，化簡(jiǎn)可得，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，所以的取值范圍是.故答案為：14.已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面積是，則此三棱柱的體積的最大值是________.【答案】【解析】直三棱柱中，，則外接球的球心在中點(diǎn)的連線上，如下圖，分別為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則為棱柱外接球球心，又，則，外接球的表面積是，若外接球半徑為，則，可得，所以，則，故，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以此三棱柱的體積的最大值.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，，其中，且在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù).解：（1）依題意得，解得，所以.（2）因?yàn)?，，所以，所?16.已知向量，滿足，，.（1）求向量與的夾角；（2）求證：；（3）求.解：（1）由于.且，所以.（2）∵，∴.（3）.17.如圖，在四棱錐中，，，，且四點(diǎn)共面.（1）求證：底面為梯形；（2）是線段上的動(dòng)點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因，，則為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，又平面，平面，則平面，又因四點(diǎn)共面，則平面，平面平面，則，則，又，所以底面為梯形.（2）存在，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，證明如下：連接，，因?yàn)樯峡拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，則,因且，則且，所以四邊形為平行四邊形，則，因平面，平面，則平面，因，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面平面，因?yàn)樯系膭?dòng)點(diǎn)，則平面，則平面.18.在中，角所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求角的大??；（2）若，設(shè)為的中點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).解：（1）∵，由正弦定理得，即，∴，又，所以，從而.（2）∵為的中點(diǎn)，∴，兩邊平方可得，即①，在中，由余弦定理得②，由①②可得，，，所以，即.所以的周長(zhǎng)為.19.已知圓錐的底面半徑，高.（1）求此圓錐的表面積；（2）若圓錐在球內(nèi)，求球的表面積的最小值；（3）若一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體木塊可以在這個(gè)圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，求的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以母線長(zhǎng)，圓錐的底面圓面積為，圓錐的側(cè)面面積為，則圓錐的表面積為；（2）當(dāng)球的表面積最小時(shí)，其軸截面如圖：設(shè)球的半徑為，在中，由勾股定理得，解得，所以球表面積的最小值為；（3）正方體的外接球在圓錐內(nèi)，且與圓錐相切時(shí)最大，設(shè)球心為，球心在上，作于，設(shè)球半徑為，，由得，，解得，又，解得，即的最