試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高考數(shù)學(xué)分類與整合的思想（提升版）函數(shù)、方程、不等式：如第6題，通過對實數(shù)k不同值的分類討論，轉(zhuǎn)化為求解不同的方程的解；三角函數(shù)與解三角形：如第15題，通過對當(dāng)為頂角和為底角時的底邊長，轉(zhuǎn)化為不同情況下的底邊長求解；復(fù)數(shù)：如第2題，通過對復(fù)數(shù)的分類討論，轉(zhuǎn)化為求不同復(fù)數(shù)的所在位置；平面向量：如第5題，通過對角度的分類討論，轉(zhuǎn)化為對數(shù)量積的求解；數(shù)列：如第4題，通過對等差數(shù)列的公差的分類討論，將古代文化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題求解；排列組合、概率、數(shù)學(xué)期望：如第12題，通過對卡片中2張卡片上的數(shù)字之和，轉(zhuǎn)化為分別求解，進而求出總的可能情況；解析幾何：如第7題，通過對不同參數(shù)的分類討論，轉(zhuǎn)化為對軌跡的求解；空間圖形：如第8題，通過對球心在正四棱錐的內(nèi)部和外面兩種情況分類討論轉(zhuǎn)化為對兩個位置的分別求解；簡化和避免分類討論的技巧：如第13題，通過對內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性求解，轉(zhuǎn)化為端點和端點的不等式求解，進而避免分類討論.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（2024河北高三上期11月階段調(diào)研檢測二）已知全集，，則集合（

） B． D．【答案】D【分析】由全集，根據(jù)題意，應(yīng)用韋恩圖即可求集合.【詳解】由題意，，解得，，，（），，.故選：D.復(fù)數(shù)z的虛部為，模為2，則復(fù)數(shù)z2的對應(yīng)點位于復(fù)平面內(nèi)（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第二或三象限【答案】D【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的概念及模長求出復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運算，即可判斷所處象限.【詳解】設(shè)，因為，所以，所以或，若，則，復(fù)數(shù)z2的對應(yīng)點位于復(fù)平面內(nèi)第二象限；若，則，復(fù)數(shù)z2的對應(yīng)點位于復(fù)平面內(nèi)第三象限；故選：D.（2024重慶一中高三上期11月月考）已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）充分不必要條件 B．必要不充分條件充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算求得m得取值范圍，再根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，可得，解得且，因為是的真子集，所以“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.一百零八塔始建于西夏時期，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的塔群之一，塔群隨山勢鑿石分階而建，自上而下一共12層，第1層有1座塔，從第2層開始每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計108座塔.已知包括第1層在內(nèi)的其中10層的塔數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列，剩下的2層的塔數(shù)分別與上一層的塔數(shù)相等，第1層與第2層的塔數(shù)不同，則下列結(jié)論錯誤的是（

）第3層的塔數(shù)為3第4層與第5層的塔數(shù)相等第6層的塔數(shù)為9等差數(shù)列的公差為2【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，分，和三種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式分析得的值，從而得12層的塔數(shù)，判斷每個選項即可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，則這10層的塔數(shù)之和為，則最多有座塔，不符合題意；若，則這10層的塔數(shù)之和不少于，不符合題意；所以，這10層的塔數(shù)之和為，塔數(shù)依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依題意剩下2層的塔數(shù)為3與5，所以這12層塔的塔數(shù)分別為1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A，B，D正確，C錯誤．故選：C.在直角坐標(biāo)系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，，，則的可能值有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】（1）若A為直角，則；（2）若B為直角，則；（3）若C為直角，則。所以k的可能值個數(shù)是2，選B關(guān)于的方程，給出下列四個命題：存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根.其中假命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】令，則，作出這兩個函數(shù)的圖象，利用兩個函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】令，則，作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知，當(dāng)時，只有一個大于的根，則方程恰有兩個實根；故①為真命題；當(dāng)時，由得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，此時原方程恰有5個實根，故③為真命題；當(dāng)時，有兩個實根，兩個實根在內(nèi)，此時原方程有8個實根，故④為真命題；當(dāng)時，由得，則方程恰有4個實根；此時原方程恰有4個實根，故②為真命題.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)的圖象求解是本題的解題關(guān)鍵.（2024山東濟鋼高中高三5月適應(yīng)性考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動點滿足，且，則下列說法正確的是（

）點的軌跡為圓 B．點到原點最短距離為2點的軌跡是一個正方形 D．點的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】D【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，由已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運算用表示出，結(jié)合可得的關(guān)系，從而可求出點的軌跡方程，再逐個分析判斷.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，動點滿足，所以，得，因為，所以，即點的軌跡方程為，當(dāng)時，方程為，當(dāng)時，方程為，當(dāng)時，方程為，當(dāng)時，方程為，所以點對應(yīng)的軌跡如圖所示，且，,所以點的軌跡為菱形，所以AC錯誤，原點到直線的距離為，所以B錯誤，點的軌跡所圍成的圖形面積為，所以D正確.故選：D

已知球的表面積為，其內(nèi)接正四棱錐的底面邊長為4，則（

）A． B．32或 C．或 D．或32【答案】C【分析】由球的表面積公式可得，由勾股定理可得，球心在正四棱錐的內(nèi)部和外面兩種情況分別求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，所以，設(shè)，則，，當(dāng)球心在正四棱錐的內(nèi)部時，，；當(dāng)球心在正四棱錐的外面時，，.故選：.多選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（2025屆河南省河南部分重點高中高三年級青桐鳴大聯(lián)考模擬預(yù)測）若等邊三角形的邊長為為的中點，且交于點，則下列說法正確的是（

）當(dāng)時，若點為的中點，則為定值的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得A錯誤，利用共線定理可判斷B正確，由數(shù)量積的定義以及運算律計算可得C正確，得出的表達式可得當(dāng)時，的最小值為，即D正確.【詳解】如下圖所示：對于A，易知當(dāng)時，可得，所以，即A錯誤，對于B，若點為的中點，可知，又可知，易知為共線向量，所以可知，解得，即B正確；對于C，由可知：為定值，即C正確；對于D，，又，可得當(dāng)時，取得最小值為，即D正確.故選：BCD（2024浙江湖州、衢州、麗水等3地市高三上期11月教學(xué)質(zhì)量檢測）現(xiàn)有一個抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號箱子，但暫時未打開箱子，主持人此時打開了另一個箱子（主持人知道獎品在哪個箱子，他只打開甲選擇之外的一個空箱子）.記表示第號箱子有獎品，表示主持人打開第號箱子.則下列說法正確的是（

）若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率增大若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率不變【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結(jié)合條件概率和全概率公式及逐項判斷即可.【詳解】對于A，甲選擇1號箱，獎品在2號箱里，主持人打開3號箱的概率為1，即，A錯誤；對于B，，，，，則，因此，B正確；對于CD，若繼續(xù)選擇1號箱，獲得獎品的概率為，主持人打開了無獎品的箱子，若換號，選擇剩下的那個箱子，獲得獎品的概率為，甲換號后中獎概率增大，C正確，D錯誤.故選：BC（2025屆江西景德鎮(zhèn)高三第一次質(zhì)檢）在高三一次大型聯(lián)考中，物理方向共有35萬人參加，其中男生有20萬人.現(xiàn)為了了解該次考試的數(shù)學(xué)成績，用分層隨機抽樣的方法從中抽取350人，其中名男生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?7分，名女生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分.已知35萬人的數(shù)學(xué)成績，近似為樣本均值，則下列正確的是（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，總體是35萬人樣本均值為73.5估計該次聯(lián)考中物理方向數(shù)學(xué)成績低于66分的約有7980人【答案】AD【分析】根據(jù)分層隨機抽樣的特征可判斷A；根據(jù)總體的定義可判斷B；根據(jù)分層隨機抽樣的均值可計算并判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的定義可判斷D.【詳解】由分層隨機抽樣的特征可知：，故A正確；總體是35萬考生的數(shù)學(xué)成績，故B錯誤；根據(jù)分層隨機抽樣的均值知樣本均值，故C錯誤；∵，，，∴小于66分的人數(shù)約為人，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有.【答案】1248【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：第一步排中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則中間行的數(shù)字只能為1，4或2，3，算出排法數(shù)，第二步確定其余4個數(shù)字，要減去中間行數(shù)字和為5，還有一行數(shù)字和為5的情況，然后用分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則中間行的數(shù)字只能為1，4或2，3，共有種排法，然后確定其余4個數(shù)字，其排法總數(shù)為.其中不合題意的有：中間行數(shù)字和為5，還有一行數(shù)字和為5，有4排法，余下兩個數(shù)字有排法，所以此時余下的這4個數(shù)字共有種方法；則有種不同的排法，故答案為：1248.【點睛】本題主要考查排列的實際應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.（2024江蘇宿遷高三上期第一次調(diào)研考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次不等式恒成立問題，列不等式組求解即可.【詳解】由復(fù)合而成.而單調(diào)遞增，只需要單調(diào)遞減.且在上恒成立.則即可，解得.故實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.（2024內(nèi)蒙古包頭高三下期第三次模擬考試）正方體的棱長為，點在對角線上，若，則四棱錐的外接球的表面積為．【答案】【分析】由題意得出是正方體對角線的中點，則有是正四棱錐，從而得到外接球球心在射線上，設(shè)球半徑為，由勾股定理可求得，即可求出結(jié)果．【詳解】因為，又，所以為的中點，過點作交于，易知面，且為的中心，則四棱錐的正四棱錐，所以球心在射線上，如圖所示，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，易知，，所以，解得，所以四棱錐的外接球的表面積為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（2024浙江金華高三上期一模）記內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若為等腰三角形且腰長為2，求的底邊長.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角化簡可得；（2）分別討論當(dāng)為頂角和為底角時的底邊長即可.【詳解】（1），由正弦定理得：，∵，∵，（2）當(dāng)為頂角，則底邊，，當(dāng)為底角，則該三角形內(nèi)角分別為，，，則底邊為故的底邊長為或.（2024陜西商洛高三上期第一次模擬檢測）已知雙曲線的左、右頂點分別是，點在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，求點到直線的距離的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）直線的斜率之積為3，構(gòu)造方程求出，再將點代入方程即可；（2）設(shè)直曲聯(lián)立，借助韋達定理，由，所以，結(jié)合韋達定理，求出，再用點到直線距離計算即可.【詳解】（1）由題意可得，則直線的斜率，直線的斜率．因為直線的斜率之積為3，所以，解得．因為點在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線聯(lián)立整理得則所以．因為，所以，所以即化簡得，故．由點到直線的距離公式可得，點到直線的距離．因為，所以，所以，即點到直線的距離的最大值是．（2025屆四川成都蓉城名校聯(lián)盟高三第一次聯(lián)合診斷性考試）如圖，在幾何體中，四邊形是梯形，，，與相交于點N，平面，，H是的中點，，．(1)點P在上，且，證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）添加輔助線，利用線段長度的比例關(guān)系證明線線平行，再利用線面平行的判定定理證明即可；也可根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面平行.（2）分別求出二面角的兩半平面的法向量，利用二面角的向量公式計算即可.【詳解】（1）方法1：依題意可知，直線，，兩兩垂直，以點A為坐標(biāo)原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，，因為，所以，所以，又，所以，又，，從而得，所以向量，，共面，又平面，平面，平面，所以平面．方法2：如圖，在，上取點M，Q，且滿足，，連接，，，因為，，有，所以，且，又因為，，，所以，有，所以，且，又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）由（1）方法1可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即．取，則平面的一個法向量為，則，由圖知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．（2025屆四川內(nèi)江高三一?？荚嚕┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號判斷原函數(shù)單調(diào)性；（2）由題意可得：，分和兩種情況，結(jié)合（1）中單調(diào)性分析求解即可.【詳解】（1）由題意可知：的定義域為，且，若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，在內(nèi)單調(diào)遞減；若，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）因為恒成立，則，若，由（1）可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于時，趨近于，不合題意；若，由可得，由（1）可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，若，則，可得，符合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.（2024江西新余四中高三下期5月高考全真模擬（三））我們規(guī)定：若數(shù)列為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則為“—數(shù)列”.已知：，，，數(shù)列，，中其中只有一個—數(shù)列，它是：__________（不需說明理由）