滬科版9年級(jí)下冊(cè)期末試題考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷（選擇題16分）一、單選題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ADC=130°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．25° B．80° C．130° D．100°2、如圖，AB，CD是⊙O的弦，且，若，則的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．60°3、下面是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體從三個(gè)方向看到的形狀圖．搭成這個(gè)幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4、已知⊙O的半徑為4，，則點(diǎn)A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無(wú)法確定5、下列關(guān)于隨機(jī)事件的概率描述正確的是（）A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5，所以拋擲1000次就一定有500次“正面朝上”B．某種彩票的中獎(jiǎng)率為5%，說(shuō)明買100張彩票有5張會(huì)中獎(jiǎng)C．隨機(jī)事件發(fā)生的概率大于或等于0，小于或等于1D．在相同條件下可以通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件的頻率去估計(jì)概率6、在一個(gè)不透明的盒子中裝有12個(gè)白球，4個(gè)黃球，這些球除顏色外都相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出的一個(gè)球是黃球的概率為（）A． B． C． D．7、下列圖形中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．8、如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，則弦AB的長(zhǎng)是（）A． B． C．5 D．5第Ⅱ卷（非選擇題84分）二、填空題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖，在等腰直角中，已知，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，若，則________．2、如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，則⊙O的半徑是______．3、已知⊙A的半徑為5，圓心A（4，3），坐標(biāo)原點(diǎn)O與⊙A的位置關(guān)系是______．4、不透明的袋子里裝有一個(gè)黑球，兩個(gè)紅球，這些球除顏色外無(wú)其它差別，從袋子中取出一個(gè)球，不放回，再取出一個(gè)球，記下顏色，兩次摸出的球是一紅—黑的概率是________．5、如圖，、分別與相切于A、B兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)為________．6、在菱形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)AC，DE交于點(diǎn)F，連結(jié)BF．記∠ABC＝α（0°＜α＜180°）．（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，則AF的長(zhǎng)是_____；（2）當(dāng)α在變化過(guò)程中，BF的取值范圍是_____．7、如圖，將半徑為的圓形紙片沿一條弦折疊，折疊后弧的中點(diǎn)與圓心重疊，則弦的長(zhǎng)度為________．三、解答題（7小題，每小題0分，共計(jì)0分）1、正方形綠化場(chǎng)地?cái)M種植兩種不同顏色（用陰影部分和非陰影部分表示）的花卉，要求種植的花卉能組成軸對(duì)稱或中心對(duì)稱圖案，下面是三種不同設(shè)計(jì)方案中的一部分．（1）請(qǐng)把圖①、圖②補(bǔ)成既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，并畫出一條對(duì)稱軸；（2）把圖③補(bǔ)成只是中心對(duì)稱圖形，并把中心標(biāo)上字母P．2、在△ABC與△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，且AB＝AC，DE＝DF．（1）如圖1，若點(diǎn)D與A重合，AC與EF交于P，且∠CAE＝30°，CE，求EP的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)D與C重合，EF與BC交于點(diǎn)M，且BM＝CM，連接AE，且∠CAE＝∠MCE，求證：AE+MF＝CE；（3）如圖3，若點(diǎn)D與A重合，連接BE，且∠ABE∠ABC，連接BF，CE，當(dāng)BF+CE最小時(shí)，直接出的值．3、在一個(gè)不透明的盒子中裝有四個(gè)只有顏色不同的小球，其中兩個(gè)紅球，一個(gè)黃球，一個(gè)藍(lán)球．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，恰好是紅球的概率為_______；恰好是黃球的概率為________．（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，用列表法或樹形圖的方法，求兩次都是紅球的概率．4、將銳角為45°的直角三角板MPN的一個(gè)銳角頂點(diǎn)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，正方形ABCD固定不動(dòng)，然后將三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∠MPN的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點(diǎn)E、F，連接EF．（1）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時(shí)，如圖1所示，請(qǐng)直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；（2）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長(zhǎng)線相交時(shí)，如圖2所示，請(qǐng)直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為4，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的一邊恰好經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)時(shí)，試求線段EF的長(zhǎng)．5、如圖，在中，，以AC為直徑的半圓交斜邊AB于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，CD．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F．（1）求證：DE是的切線；（2）若，，求的半徑．6、如圖，是由一些大小相同的小正方體組合成的簡(jiǎn)單幾同體，請(qǐng)?jiān)谙旅娣礁窦堉蟹謩e畫出從它的左面和上面看到的形狀圖．7、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點(diǎn)（與A、B不重合），連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE、BE（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）若BE=5，DE=13，求AB的長(zhǎng)-參考答案-一、單選題1、D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC=130°，∴∠B=50°，由圓周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．2、B【分析】由同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得，利用平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)等，理解題意，找出相關(guān)的角度是解題關(guān)鍵．3、D【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個(gè)數(shù)及形狀，從主視圖和左視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個(gè)數(shù)，從而算出總的個(gè)數(shù)．【詳解】解：綜合主視圖，俯視圖，左視圖，底層有5個(gè)正方體，第二層有1個(gè)正方體，所以搭成這個(gè)幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)是6，故選D．【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．4、C【分析】根據(jù)⊙O的半徑r=4，且點(diǎn)A到圓心O的距離d=5知d>r，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵⊙O的半徑r=4，且點(diǎn)A到圓心O的距離d=5，∴d>r，∴點(diǎn)A在⊙O外，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d=r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．5、D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件以及不可能事件的定義即可作出判斷．【詳解】解：概率反映的是隨機(jī)性的規(guī)律，但每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果具有不確定，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；隨機(jī)事件發(fā)生的概率大于0，小于1，概率等于1的是必然事件，概率等于0的是不可能事件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在相同條件下可以通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件的頻率去估計(jì)概率，故選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件、必然事件以及不可能事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．6、C【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.【詳解】解：一個(gè)不透明的盒子中裝有12個(gè)白球，4個(gè)黃球，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，所有等可能的情況16種，其中摸出的一個(gè)球是黃球的情況有4種，∴隨機(jī)抽取一個(gè)球是黃球的概率是．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到所有符合條件的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．7、C【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．8、C【分析】先利用切線長(zhǎng)定理得到PA=PB，再利用∠APB=60°可判斷△APB為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵PA，PB為⊙O的切線，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△APB為等邊三角形，∴AB=PA=5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題1、【分析】如圖連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，由題意可知為等邊三角形，，，在中；在中計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由題意可知，，為等邊三角形在中在中故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形，勾股定理，含的直角三角形等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于做輔助線構(gòu)造直角三角形．2、2【分析】連接OC，利用半徑相等以及三角形的外角性質(zhì)求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠COH=2∠A=60°，∵弦CD⊥AB于H，∴∠OHC=90°，∴∠OCH=30°，∵OH=1，∴OC=2OH=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3、在⊙A上【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出OA，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法判斷點(diǎn)O與⊙A的位置關(guān)系．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），∴OA==5，∵半徑為5，∴OA=r，∴點(diǎn)O在⊙A上．故答案為：在⊙A上．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，當(dāng)點(diǎn)P在圓外?d＞r；當(dāng)點(diǎn)P在圓上?d=r；當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．4、【分析】根據(jù)題意列出表格，可得6種等可能結(jié)果，其中一紅—黑的有4種，再利用概率公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意列出表格如下：黑球紅球1紅球2黑球紅球1、黑球紅球2、黑球紅球1黑球、紅球1紅球2、紅球1紅球2黑球、紅球2紅球1、紅球2得到6種等可能結(jié)果，其中一紅—黑的有4種，所以兩次摸出的球是一紅—黑的概率是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求概率，能夠利用畫樹狀圖或列表格的方法解答是解題的關(guān)鍵．5、【分析】根據(jù)已知條件可得出，，再利用圓周角定理得出即可．【詳解】解：、分別與相切于、兩點(diǎn)，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)以及圓周角定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．6、2【分析】（1）證明是等邊三角形，，進(jìn)而即可求得；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以為圓心長(zhǎng)度為半徑作半圓，交的延長(zhǎng)延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明在半圓上，進(jìn)而即可求得范圍．【詳解】（1）如圖，四邊形是菱形，是等邊三角形是的中點(diǎn)即故答案為：2（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以為圓心長(zhǎng)度為半徑作半圓，交的延長(zhǎng)延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是菱形，在以為圓心長(zhǎng)度為半徑的圓上，又∠ABC＝α（0°＜α＜180°）在半圓上，最小值為最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值問(wèn)題，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7、【分析】連接OC交AB于點(diǎn)D，再連接OA．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定，OD=CD；再根據(jù)垂徑定理確定AD=BD；再根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求出AB的長(zhǎng)度．【詳解】解：如下圖所示，連接OC交AB于點(diǎn)D，再連接OA．∵折疊后弧的中點(diǎn)與圓心重疊，∴，OD=CD．∴AD=BD．∵圓形紙片的半徑為10cm，∴OA=OC=10cm．∴OD=5cm．∴cm．∴BD=cm．∴cm．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．三、解答題1、（1）見解析（2）見解析【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)畫出圖形即可．（2）根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義畫出圖形即可．（1）解：圖形如圖①②所示．（2）解：圖形如圖③所示，點(diǎn)P即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查利用旋轉(zhuǎn)變換設(shè)計(jì)圖案，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2、（1）；（2）證明見詳解；（3）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EC于G，根據(jù)等腰直角三角形得出∠B=∠C=45°，根據(jù)PG⊥EC，可取∠GPC=90°-∠C=45°，可得PG=GC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)∠EPC=75°，可求∠EPG=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出EP=2EG，根據(jù)勾股定理根據(jù)EC=EG+GC=EG+，可求EG=即可；（2）連結(jié)AE，在CE上截取EJ=AE，連結(jié)AJ，根據(jù)∠MAH=45°=∠HEC，可得點(diǎn)A、M、C、E四點(diǎn)共圓，得出∠AEM=∠ACM=45°=∠HEC，∠AME=∠ACE，可得△AEJ為等腰直角三角形，根據(jù)根據(jù)勾股定理AJ=，得出∠CAE=∠MCE，可證∠JAC=∠JCA，可得AJ=JC=，先證△CHM∽△ECM，再證△AEM≌△HEC（AAS），得出EM=EC，再證△AME≌△MCF（AAS），得出AE=MF即可；（3）分兩種情況，當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，與BE在△ABC外部時(shí)，當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，作∠ABC的平分線交AC于O，將△AEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFC′，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BC于P，則點(diǎn)E在BO上，有∠ABE=∠ABC，先證B、A、C′三點(diǎn)共線，根據(jù)兩點(diǎn)之交線段最短可得BF+CE=BF+C′F≥BC′，當(dāng)點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，此時(shí)點(diǎn)E在AC上與點(diǎn)O重合，然后利用勾股定理EC=，BF=AB+AF=AC+AF=(1+)AF+AF=(2+)AF在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，當(dāng)BE在△ABC外部時(shí)，∠EBA=，將△EAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAC′，先證B、A、C′三點(diǎn)共線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得BF+CE=BF+FC′≥BC′，當(dāng)點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，再證EF=BF，然后根據(jù)勾股定理BF=CE=AE+AC=AF+AB=在Rt△EAB中，根據(jù)勾股定理即可．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EC于G，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵PG⊥EC，∴∠GPC=90°-∠C=45°，∴PG=GC，∵∠EAC=30°，∠EDF=90°，DE=DF，∴∠DEF=∠F=45°，∴∠EPC=∠AEF+∠EAC=30°+45°=75°，∴∠EPG=∠EPC-∠GPC=75°-45°=30°，∴EP=2EG，在Rt△EPG中，根據(jù)勾股定理∴GC=PG=∴EC=EG+GC=EG+，∴EG=，∴EP=2EG=；（2）連結(jié)AE，在CE上截取EJ=AE，連結(jié)AJ，∵BM=CM，AB=AC，∠BAC=90°，∴AM⊥BC，AM=BM=CM，∴∠MAH=45°=∠HEC，∴點(diǎn)A、M、C、E四點(diǎn)共圓，∴∠AEM=∠ACM=45°=∠HEC，∠AME=∠ACE，∴∠AEJ=∠AEM+∠HEC=45°+45°=90°，∵AE=JE，∴∠EAJ=∠EJA=45°，在Rt△AEJ中，根據(jù)勾股定理AJ=，∵∠CAE=∠MCE，∴∠JAC+45°=∠JCA+45°，∴∠JAC=∠JCA，∴AJ=JC=，∵∠HCM=∠CEM=45°，∠HMC=∠CME，∴△CHM∽△ECM，∴∠MHC=∠MCE，∵∠EHA=∠MHC=∠MCE=∠EAH∴AE=HE，在△AEM和△HEC中，，∴△AEM≌△HEC（AAS），∴EM=EC，∴∠EMC=∠ECM，∵∠AME+∠EMC=∠ECM+∠MCF=90°，∴∠AME=∠MCF，在△AME和△MCF中，∴△AME≌△MCF（AAS），∴AE=MF，∴CE=EJ+JC=MF+AE；（3）分兩種情況，當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，與BE在△ABC外部時(shí)，當(dāng)當(dāng)BE在∠ABC的平分線上時(shí)，作∠ABC的平分線交AC于O，將△AEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFC′，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BC于P，則點(diǎn)E在BO上，有∠ABE=∠ABC，∵△AEC≌△AFC′，∴∠CAE=∠C′AF，∵∠BAC′=∠BAC+∠OAC′=∠BAC+∠FAC′+∠OAF=∠BAC+∠EAC+∠OAF=∠BAC+∠EAF=180°，∴B、A、C′三點(diǎn)共線，∴BF+CE=BF+C′F≥BC′，當(dāng)點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，此時(shí)點(diǎn)E在AC上與點(diǎn)O重合，∵BO為∠ABC的平分線，OA⊥AB，OP⊥BC，∴OP=AO=AF，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，∴∠PEC=180°-∠EPC-∠C=45°，∴PC=EP=AF，∴EC=，∴AC=AE+EC=AF+=(1+)AF，∴BF=AB+AF=AC+AF=(1+)AF+AF=(2+)AF，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，∴；當(dāng)BE在△ABC外部時(shí)，∠EBA=，將△EAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAC′，則△EAC≌△FAC′，∴AC′=AC，EC=FC′，∠EAC=∠FAC′，∵∠FEB+∠EAC=360°-∠EAF-∠BAC=360°-90°-90°=180°，∴∠FAB+∠FAC′=∠FAB+∠EAC=180°，∴B、A、C′三點(diǎn)共線，∴BF+CE=BF+FC′≥BC′，∴點(diǎn)F在BC′上時(shí)，BF+CE最短=BC′，∵∠EBA=，∠EFA=45°，∴∠EFA=∠EBA+∠BEF=45°，∴∠BEF=45°-∠EBA=45°-22.5°=22.5°，∴EF=BF，在Rt△EAF中,，∴BF=，∴AB=BF+AF=+AF=，∴CE=AE+AC=AF+AB=，在Rt△EAB中，根據(jù)勾股定理，∴．綜合．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，角平分線性質(zhì)，分類討論思想，本題難度大，應(yīng)用知識(shí)多，是中考?jí)狠S題，利用輔助線作出正確圖形是解題關(guān)鍵．3、（1）；（2）兩次都是紅球的概率為【分析】（1）根據(jù)列舉法將所有可能列出，然后找出符合條件的可能，計(jì)算即可得；（2）四個(gè)球簡(jiǎn)寫為“紅1，紅2，黃，藍(lán)”，利用列表法列出所有出現(xiàn)的可能，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算可．（1）解：攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，有四種可能：紅球、紅球、黃球、藍(lán)球，其中是紅球的可能有兩種，∴，其中是黃球的可能有一種，∴，故答案為：；；（2）四個(gè)球簡(jiǎn)寫為“紅1，紅2，黃，藍(lán)”，列表法為：紅1紅2黃藍(lán)紅1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，黃）（紅1，藍(lán)）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，黃）（紅2，藍(lán)）黃（黃，紅1）（黃，紅2）（黃，黃）（黃，藍(lán)）藍(lán)（藍(lán)，紅1）（藍(lán)，紅2）（藍(lán)，黃）（藍(lán)，藍(lán)）共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次都是紅球的有4種結(jié)果，所以兩次都是紅球的概率為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用列表法或樹狀圖法求概率，理解題意，熟練掌握列表法或樹狀圖法是解題關(guān)鍵．4、（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）線段EF的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG，先證△ABE≌△ADG，再證△GAF≌△EAF即可；（2）在DC上截取DH=BE，連接AH，先證△ADH≌△ABE，再證△HAF≌EAF即可；（3）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）結(jié)論：EF=BE+DF．理由：延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG，如圖①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）結(jié)論：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，連接AH，如圖②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①當(dāng)MA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E時(shí)，同（1）作輔助線，如圖：設(shè)FD=x，由（1）的結(jié)論得FG=EF=2+x，F(xiàn)C=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=，∴EF=x+2=．②當(dāng)NA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)G時(shí)，同（2）作輔助線，設(shè)BE=x，由（2）的結(jié)論得EC=4+x，EF=FH，∵K為BC邊的中點(diǎn)，∴CK=BC=2，同理可證△ABK≌FCK（SAS），∴CF=AB=4，EF=FH=CF+