《均值不等式的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入1.不等式的性質(zhì)：下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則2.比較，的大?。?，.教師提出問題，學(xué)生回答.為研究均值不等式做準(zhǔn)備.概念形成1.算術(shù)平均值與幾何平均值.定義：給定兩個(gè)正數(shù)，，數(shù)稱為，的算術(shù)平均值；數(shù)稱為，的幾何平均值.大小關(guān)系探究：教材第72頁“嘗試與發(fā)現(xiàn)”.嘗試與發(fā)現(xiàn)（1）假設(shè)一個(gè)矩形的長和寬分別為和，求與這個(gè)矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個(gè)矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個(gè)邊長的大??；（2）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術(shù)平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義.1214131結(jié)論：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值.2.均值不等式.如果，都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.均值不等式也稱為基本不等式.你能給出均值不等式的證明過程嗎？證明因?yàn)?，都是正?shù)，所以，即.而且，等號成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即.教師讓學(xué)生熟記這兩個(gè)概念，這是本課的核心概念.教師操作課件引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用不等式表示這個(gè)不等關(guān)系.學(xué)生分組討論，教師歸納結(jié)果.教師引導(dǎo)學(xué)生分析均值不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并探索均值不等式的證明過程.安排兩名同學(xué)到黑板上演示，其余同學(xué)自己完成.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，強(qiáng)化對算術(shù)平均值與幾何平均值的理解.培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手的能力，讓學(xué)生加深對均值不等式的認(rèn)識.概念深化均值不等式的理解.（1）均值不等式的應(yīng)用范圍是正實(shí)數(shù).（2）均值不等式的實(shí)質(zhì)：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.（3）均值不等式的幾何意義：①將平方得：，如果設(shè)矩形的長和寬分別為，，從面積的角度能否得出均值不等式的一個(gè)幾何意義？結(jié)論：矩形面積為，可以看作是與矩形周長相等的正方形的面積，所以得到均值不等式的一個(gè)幾何意義：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大.②教材第73頁“探索與研究”.如圖所示圓中，為直徑，為圓心.已知，，為圓上一點(diǎn)，且，算出和，給出均值不等式的另一個(gè)幾何意義.解答：易證，那么，即.這個(gè)圓的半徑，又大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號成立.即：均值不等式的另一個(gè)幾何意義是：半徑不小于半弦.（4）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：一方面，當(dāng)時(shí)，；另一方面：當(dāng)時(shí)，也有.或者說“”是“”號成立的充要條件.（5）均值不等式的等價(jià)變形.①（，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）.②（，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）.組織學(xué)生從應(yīng)用范圍、實(shí)質(zhì)、幾何意義的角度上去理解均值不等式.引導(dǎo)學(xué)生分析均值不等式的一個(gè)幾何意義，學(xué)生交流討論，教師總結(jié).教師指導(dǎo)學(xué)生完成教材“探索與研究”的證明過程，體會(huì)均值不等式的另外一個(gè)幾何意義.引導(dǎo)學(xué)生從充要條件的角度去理解“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，會(huì)對均值不等式進(jìn)行等價(jià)變形.在定義的基礎(chǔ)上讓學(xué)生加深對均值不等式的理解.加深對均值不等式的理解.在熟練掌握定義的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生的潛能，達(dá)到多思多說的目的，進(jìn)一步讓學(xué)生從形的角度加深對本課時(shí)內(nèi)容的理解.正確理解當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x.應(yīng)用舉例例1教材第73～74頁例1.多媒體屏幕上展示.練習(xí)：教材第76頁練習(xí)A第1題.例2教材第74頁例2.練習(xí)：教材第76頁練習(xí)A第2題.教師操作課件，引導(dǎo)學(xué)生自己解決問題，讓學(xué)生板演.提出：利用均值不等式求最值時(shí)，如何確定等號成立？學(xué)生分組練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息及時(shí)評價(jià).學(xué)生自學(xué)例2，教師引導(dǎo)歸納.點(diǎn)撥學(xué)生概括用均值不等式證明不等式的方法，學(xué)生練習(xí)，教師巡視指導(dǎo).鍛煉學(xué)生的應(yīng)用能力、操作能力.進(jìn)一步加深對均值不等式的認(rèn)識，強(qiáng)化本節(jié)重點(diǎn).歸納小結(jié)1.知識：（1）均值不等式（2）均值不等式的等價(jià)變形2.方法：利用均值不等式進(jìn)行證明、求最值.學(xué)生相互交流收獲與體會(huì)，并進(jìn)行反思.關(guān)注學(xué)生的自主體驗(yàn)，提高其歸納總結(jié)的能力.布置作業(yè)1.教材第76頁練習(xí)B第3題.2.教材第77頁習(xí)題2-2A第7題.學(xué)生獨(dú)立完成，教師批閱.通過分層作業(yè)使學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容，并為有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì).板書設(shè)計(jì)第1課時(shí)均值不等式的概念一、復(fù)習(xí)1.不等式的性質(zhì)2.比較大小的方法二、新課1.均值不等式：如果，都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.2.利用均值不等式求簡單函數(shù)的最值三、例題例1例2四、小結(jié)1.知識（1）均值不等式（2）均值不等式的等價(jià)變形2.方法教學(xué)研討本節(jié)內(nèi)容是均值不等式的起始課，從比較大小的方法入手，先就一般情況給出探究，然后引入教材的重點(diǎn)內(nèi)容，符合本節(jié)內(nèi)容知識的形成過程.在教學(xué)均值不等式時(shí)，建議在以下兩個(gè)方面做好工作：（1）使學(xué)