2024-2025學年廣東省廣州市實驗外語學校高一下學期第一次月考（3月）數(shù)學試卷

一、單選題(★★)1.已知向量，若，則實數(shù)（）

A．B．3C．4D．7(★)2.在中，，，則的值為（）

A．2B．3C．4D．5(★★★)3.已知，，，若，，三點共線，則（）

A．B．C．D．2(★★★)4.已知等邊三角形的邊長是，、分別是、的中點，則（）

A．B．C．D．(★★★)5.已知向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）

A．B．C．D．(★★★)6.互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點作兩坐標軸的平行線，其在軸和軸上的截距分別作為點的坐標和坐標，記.若斜坐標系中，軸正方向和軸正方向的夾角為，則該坐標系中和兩點間的距離為（）

A．B．C．D．(★★★)7.我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）

A．B．C．D．(★★★★)8.如圖，已知分別是邊上的點，且滿足，，與交于，連接并延長交于點．若，則實數(shù)的值為（）

A．B．C．D．2二、多選題(★★★)9.已知向量，，滿足，，，則（）

A．B．當時，C．當時，D．在上的投影向量的坐標為(★★★)10.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點距離地面高度為60米，轉盤直徑為50米，設置有24個座艙，摩天輪開啟前，距地面最近的點為0號座艙，距地面最遠的座艙為12號，座艙逆時針排列且均勻分布，游客甲坐2號艙位，乙坐6號艙位，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，開啟后的第8分鐘這一時刻，游客甲和乙首次距離地面高度相同，游客甲在摩天輪轉動過程中距離地面的高度為米，下列說法正確的是（）

A．關于的函數(shù)解析式為B．開啟后第20分鐘這一時刻游客甲和乙第二次距離地面高度相同C．開啟后第10分鐘游客乙距離地面47.5米D．開啟后第10分鐘至第18分鐘游客甲和乙運動方向相同（上升或下降）(★★★)11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A．的圖象關于點對稱B．的圖象關于直線對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是三、填空題(★★★)12.已知是第一象限角，且，則__________.(★★★)13.關于平面向量有下列四個命題：①若，則；②已知，.若，則.③非零向量和，滿足，則與的夾角為30°.④.其中正確的命題為______.(★★★)14.若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為______．四、解答題(★★)15.已知向量，.(1)若，求；(2)若向量，，求與夾角的余弦值.(★★★)16.如圖，在平行四邊形中，，，，，分別為，上的點，且，．(1)若，求，的值；(2)求的值；(3)求．(★★★)17.已知在中，，，且．(1)求的值；(2)求的長度．(★★★)18.如圖，某公園有一塊扇形人工湖OMN，其中圓心角，半徑為1千米，為了增加觀賞性，公園在人工湖中劃分出一片荷花池，荷花池的形狀為矩形(四個頂點都落在扇形邊界上)；再建造一個觀景臺，形狀為，記(1)當角取何值時，荷花池的面積最大？并求出最大面積.(2)若在OA的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費用為每千米8萬元不計橋的寬度；且建造觀景臺的費用為每平方千米16萬元，求建造總費用的范圍.(★★★★)19.設平面內(nèi)兩個非零向量的夾角為，定義