2025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（北京專用）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．考試范圍：選擇性必修第二、三冊(cè)+高考一輪復(fù)習(xí)（集合與邏輯、復(fù)數(shù)、函數(shù)與不等式）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．1 C． D．i3．根據(jù)圖中的函數(shù)圖象，下列數(shù)值最小的是（

）

A．曲線在點(diǎn)處切線的斜率 B．曲線在點(diǎn)處切線的斜率C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率 D．割線的斜率4．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．185．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．46．已知，則（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．函數(shù)在處有極小值5，則（

）A． B． C．或 D．或39．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．10．從點(diǎn)可向曲線引三條不同切線，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．12．已知，則；．13．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14．我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．15．設(shè)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，則（

）①．②．函數(shù)的對(duì)稱中心為③．過引曲線的切線，有且僅有1條④．若成等差數(shù)列，則三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（滿分13分）4名男生和3名女生站成一排，分別有多少種不同的站法？(1)3名女生不相鄰．(2)男生甲不在排頭，女生乙不在排尾．(3)甲、乙、丙三人從左到右的順序不變．17．（滿分13分）已知函數(shù)在及處取得極值．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在處的切線方程；18．（滿分14分）已知等差數(shù)列的公差是-2，等比數(shù)列的公比是2，若.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（滿分15分）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.20．（滿分15分）當(dāng)前，以深度求索（DeepSeek）等為代表的人工智能技術(shù)創(chuàng)新不斷取得突破性的進(jìn)展．已知語料庫實(shí)時(shí)處理數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)量（萬條）與系統(tǒng)延遲（秒）的關(guān)系為．(1)討論系統(tǒng)延遲最小的臨界數(shù)據(jù)量；(2)當(dāng)時(shí)，若要求延遲不超過20秒，求數(shù)據(jù)量的最大值（取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：3.0910．21．（滿分15分）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：除切點(diǎn)A外，曲線在直線的上方；(3)設(shè)過點(diǎn)A的直線與直線垂直，，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，求的取值范圍．

2025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（北京專用）數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分參考第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678910AACCDCAADB第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.12.13.014.4838415.①②④三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。（滿分13分）【詳解】（1）先安排男生，有種可能，再將3名女生插空，有種可能，故3名女生不相鄰的站法有種；........................................4分（2）4名男生和3名女生站成一排，共有種情況，其中男生甲在排頭的情況有種情況，女生乙在排尾的情況有種情況，男生甲在排頭的同時(shí)，女生乙在排尾的情況有種情況，所以男生甲不在排頭，女生乙不在排尾的情況有種；........................................9分（3）甲、乙、丙三人從左到右的順序不變，可以用定序倍縮法進(jìn)行求解，即站法有種．........................................13分17．（滿分13分）【詳解】（1）依題意，在及處取得極值，而的兩根為，，所以，，，，此時(shí)，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，所以及是極值點(diǎn)，符合題意.所以......................................8分（2）由（1）得，，，，則切線方程為，化簡得，函數(shù)在處的切線方程為.........................................13分（滿分14分）【詳解】（1）等比數(shù)列的公比是2，，則，，由，得，又等差數(shù)列的公差是-2，則，所以和的通項(xiàng)公式分別為，.........................................8分（2）記和的前項(xiàng)和分別為，，則．而，，所以..........................................14分（滿分15分）【詳解】（1）估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率..........................................5分（2）設(shè)為“從甲校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“恰有1人做對(duì)”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故..........................................11分（3）設(shè)為“甲校掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生做該題”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故，即，故，同理有，，故，故..........................................15分20．（滿分15分）【詳解】（1）由題意得，，令，解得，①若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值；②若，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，沒有最小值.綜上，若，則系統(tǒng)延遲最小的臨界數(shù)據(jù)量為；若，則不存在系統(tǒng)延遲最小的臨界數(shù)據(jù)量..........................................9分（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又19.，20.，故延遲不超過20秒時(shí)，數(shù)據(jù)量的最大值為21萬條..........................................15分21．（滿分15分）【詳解】（1）設(shè)，，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為..........................................4分（2）因?yàn)?，所以直線的方程為，即，設(shè)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，而當(dāng)時(shí)，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；.......................................9分（3）解法一：由題意，直線，直線，所以，，.........................................10分當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以所以，.........................................13