2025年秋季高三開(kāi)學(xué)摸底考試模擬卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（

）A． B． C．2 D．2．已知全集（是自然數(shù)集），集合，則（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．24．“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，則（

）A． B． C． D．6．過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為P，則P到直線的距離的最大值為A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿(mǎn)足，曲線，區(qū)域，曲線與區(qū)域的交集為兩段分離的曲線，則A． B．C． D．8．若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，則n的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正方體，則（

）A．直線與面平行B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面垂直10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交C于A、B，過(guò)F且垂直于的直線交于E，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，則（

）A．B．C．D．11．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)和為4，前8項(xiàng)和為68，則該等比數(shù)列的公比為.13．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則．14．在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中.定義：在維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）華為手機(jī)作為全球手機(jī)銷(xiāo)量第二位，一直深受消費(fèi)者喜歡.據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，2019年度華為手機(jī)（含榮耀）在中國(guó)市場(chǎng)占有率接近！小明為了考查購(gòu)買(mǎi)新手機(jī)時(shí)選擇華為是否與年齡有一定關(guān)系，于是隨機(jī)調(diào)查100個(gè)2019年購(gòu)買(mǎi)新手機(jī)的人，得到如下不完整的列表.定義30歲以下為“年輕用戶(hù)”，30歲以上為“非年輕用戶(hù)”.購(gòu)買(mǎi)華為購(gòu)買(mǎi)其他總計(jì)年輕用戶(hù)28非年輕用戶(hù)2460總計(jì)附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）將列表填充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)手機(jī)時(shí)選擇華為與年齡有關(guān)？（2）若采用分層抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)華為手機(jī)用戶(hù)中抽出6個(gè)人，再隨機(jī)抽2人，求恰好抽到的兩人都是非年輕用戶(hù)的概率.16．（15分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)設(shè)，若，求的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)，求.17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，．（1）求證：平面平面；（2）若為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；（3）若二面角大小為，求的長(zhǎng)．18．（17分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為橢圓上任意一點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，求的最小值；(3)已知直線與軸交于點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：動(dòng)點(diǎn)在定直線上，并求直線的方程.19．（17分）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，（i）求的最小值；（ii）證明：．

2025年秋季高三開(kāi)學(xué)摸底考試模擬卷數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分參考一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678BADABAAC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ADACDBCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【答案】;13．【答案】;14．【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．【詳解】解：（1）易得：購(gòu)買(mǎi)華為購(gòu)買(mǎi)其他總計(jì)年輕用戶(hù)122840非年輕用戶(hù)243660總計(jì)3664100表格填對(duì)：···········4分由列表可得············3分故沒(méi)有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)手機(jī)時(shí)選擇華為與年齡有關(guān)系.···········1分（2）利用分層抽樣抽取6個(gè)購(gòu)買(mǎi)華為手機(jī)的用戶(hù)，易知其中有2個(gè)年輕用戶(hù)，4個(gè)非年輕用戶(hù)，不妨用，表示兩個(gè)年輕用戶(hù)，用，，，表示非年輕用戶(hù)，現(xiàn)從中任選兩人，則共有，，，，，，，，，，，，，，，15種可能，其中滿(mǎn)足要求的有6種，由古典概型可知.···········5分16．（15分）【答案】(1)；(2)【分析】（1）由，的關(guān)系即可求解，（2）通過(guò)求導(dǎo)確定通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列求和公式即可求解；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)時(shí)，有.數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以．···········4分（2）當(dāng)時(shí)，，所以，···········3分所以，···········2分令，其前項(xiàng)和為，∴①∴②···········3分得：.···········2分∴.令，其前項(xiàng)和易知為：，···········1分所以17．（15分）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）證明與垂直，則得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求異面直線所成的角；（3）設(shè)，這樣求得平面和平面的法向量，用向量法求二面角，從而求得，可得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，，為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，∴∵，∴，即∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面···········5分（2）∵，為的中點(diǎn)，∴∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∵是的中點(diǎn)，∴，，設(shè)異面直線與所成角為，，∴異面直線與所成角的余弦值為．···········5分（3）解：由（2）知平面的法向量為，設(shè)，且，從而有，又，設(shè)平面法向量為，由及，，可?。ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?分∵二面角為，∴，∴，∴．···········2分18．（17分）【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）利用橢圓的定義和焦距的性質(zhì)求出基本量，得到橢圓方程即可.（2）利用圓的性質(zhì)得到，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)進(jìn)行放縮求解最值即可.（3）聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理得到，進(jìn)而表示出，再結(jié)合給定條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，證明點(diǎn)在定直線上即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)椋?，由橢圓的定義，解得，得到，故的方程為.···········3分（2）因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)，圓的圓心，半徑，顯然橢圓與圓沒(méi)有交點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，于是，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓，圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.·······5分（3）如圖，設(shè)，因?yàn)橹本€，所以點(diǎn)，聯(lián)立消去得.所以，因?yàn)椋ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?分且直線斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，所以，所以，即，將代入上述等式可得，若，則點(diǎn)在直線上，與已知矛盾；故，整理可得，可得，即，即對(duì)任意的恒成立，得到，解得或，由于的斜率不為0，得到，故，故點(diǎn)在定直線上.···········5分19．（17分）【答案】(1)；(2)；證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用分類(lèi)討論，再求導(dǎo)研究單調(diào)性，即可求出最小值，從而可求解的取值范圍；（2）（i）利用常規(guī)求導(dǎo)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值；（ii）利用第（i）問(wèn)的結(jié)論，從而把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為，再作差構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)來(lái)證明即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)不恒成