永登一中2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)（理）一、選擇題（本題共60分，每小題5分）1.設(shè)集合，，則A∩B=()A.B. C.D.2.已知，則（）A. B.C.D.3.已知向量滿足，且與的夾角為，則（）A. B.1 C. D.134.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD15.“”是“橢圓的焦距為4”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條6..過(guò)點(diǎn)A（-1，0），斜率為k的直線，被圓（x-1）2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為，則k的值為（）A. B. C. D.7.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的值為A.B.C. D.8.設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，分別是C的左、右焦點(diǎn)，則（）A.5B.C.4 D.9.已知圓錐的高為3，它的底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于（）A．B．16πC．D．32π10.圓x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，則+的最小值為（）A．3+2 B．18 C．16 D．911若函數(shù)在區(qū)間(2，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(－∞，2) B.(－∞，2]C.D.12.已知橢圓與圓在第二象限的交點(diǎn)是P點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O到直線PF1的距離是，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.第II卷（非選擇題）二、填空題（本題共20分，每小題5分）13.若直線的傾斜角為，則．14.橢圓＋＝1中過(guò)點(diǎn)P(1,1)的弦恰好被P點(diǎn)平分，則此弦所在直線的方程是；15.已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為．16.函數(shù),(A,ω,φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，則．三、解答題（本題共70分，第17題10分,其余每題12分）17.在△ABC中，．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，，求b的值.18已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，nan+1=2（n+1）an（1）記bn=，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn；（2）求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn．19已知函數(shù)(1)寫出函數(shù)的最小正周期；(2)設(shè)，f(x)的最小值是－2，最大值是，求實(shí)數(shù)a、b的值．20.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，是等邊三角形，，，，，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面ABCD所成角的值．21.設(shè)橢圓的離心率是，直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的方程；（2）已知斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程.22.已知函數(shù)（a為常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.試卷答案1.A【分析】對(duì)集合分別進(jìn)行不等式求解，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求交集，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，集合或，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的求解及集合的交運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力.2.B【分析】將a，b，c與0,1比較大小即可求解．【詳解】∵∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)、減函數(shù)的定義．3.B【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】解析：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)的運(yùn)算等，屬于基礎(chǔ)題.4.C5.B【分析】由橢圓的焦距為4，分類討論求得或時(shí)，再結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，橢圓可化為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，即當(dāng)或時(shí)，橢圓的焦距為4，所以“”是“橢圓的焦距為4”的充分不必要條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.C試題分析：設(shè)直線為,根據(jù)弦長(zhǎng)公式,可得：,,解得：,故選C考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系7.B設(shè)公差為，由得到，整理得到，因，故，，所以，故選B8.A【分析】依題意可得橢圓的焦點(diǎn)在軸，且，，即可計(jì)算出、，再由橢圓的定義計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得橢圓焦點(diǎn)在軸，且，，由，可得，即，又，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9.C如圖：設(shè)球心到底面圓心的距離為x，則球的半徑為3-x，由勾股定理得解得x=1，故半徑r=2，故選C10.B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】圓x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，說(shuō)明直線經(jīng)過(guò)圓心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，確定最小值，推出選項(xiàng)．【解答】解：由圓的對(duì)稱性可得，直線ax﹣2by+1=0必過(guò)圓心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，當(dāng)且僅當(dāng)=，即2a=b時(shí)取等號(hào)，故選B．11.C【詳解】∵，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，∴恒成立．，∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，∴.故選：C.12.D【分析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)閳A，可得，過(guò)點(diǎn)作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因?yàn)?，所以橢圓的離心率為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.由直線的傾斜角為知，，故答案為.14.x+2y﹣3=0解：直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1）；（x2，y2）則兩式相減得∵P（1，1）為中點(diǎn)∴∴直線的斜率為∴此弦所在直線的方程是即x+2y﹣3=015.12∵，不等式恒成立∴∵當(dāng)且僅當(dāng)a=3b時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為1216.由的圖象可得函數(shù)的周期T滿足=?,解得T=π=又∵ω>0，故ω=2又∵函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為(,?)故A=且sin(2×+φ)=?即+φ=故φ=∴f(x)=sin(2x+)∴f(0)=sin=故答案為：17.解：（Ⅰ）因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，所?（Ⅱ）由，，，得.解得.由余弦定理可得，解得.18.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由nan+1=2（n+1）an?，即bn+1=2bn．（2）由（1）得an=nbn=n?2n．錯(cuò)位相減法求和即可．【解答】解：（1）因?yàn)閚an+1=2（n+1）an所以，即bn+1=2bn所以{bn}是以b1=2為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列．所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=2×2n﹣1=2n．（2）由（1）得an=nbn=n?2n．所以sn=1?2+2?22+3?23+…+（n﹣1）2n﹣1+n?2n．；2sn=1?22+2?23+3?24+…+（n﹣1）2n+n?2n+1．；所以﹣sn=2+22+23+24+…+2n﹣n?2n+1=．所以sn=（n﹣1）?2n+1+2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的判定，及錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．19.（1）；（2）.【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式可得，利用最小正周期的計(jì)算公式可得所求的最小正周期.（2）求出的范圍后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的最值，結(jié)合已知的最值可求的值.【詳解】（1），故的最小正周期為.（2）當(dāng)時(shí)，，故，又，故，所以，故.【點(diǎn)睛】形如的函數(shù)，可以利用降冪公式和輔助角公式將其化為的形式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的討論方法求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值、對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心等．20.（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形得出，再利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)，、、過(guò)D且垂直底面的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)中位線定理，，且，又，所以，，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）以為原點(diǎn)，、、過(guò)D且垂直底面的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，設(shè)，由，，，上面聯(lián)立解方程組得，，，故點(diǎn)，所以，得到，平面的法向量為，由.故直線與平面所成角的正弦值為．21.（1）；（2）直線l的方程為.【分析】（1）由已知可得，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，列出方程組，求得和的值即可；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，進(jìn)而得到，又點(diǎn)M到AB的距離，故，當(dāng)時(shí)，面積最大，求出直線方程即可.【詳解】（1）由已知可得，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由，解得，故橢圓C的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，A，B的坐標(biāo)，，由，得，則，所以.由，得.又點(diǎn)M到AB的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置