數(shù)列培優(yōu)題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(1,3,5,7,\cdots\)的通項(xiàng)公式是（）A.\(a_n=2n-1\)B.\(a_n=2n+1\)C.\(a_n=n^2\)D.\(a_n=n+1\)2.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.9B.11C.13D.153.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=2\)，則\(a_4\)為（）A.16B.8C.32D.644.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_3\)等于（）A.5B.6C.7D.85.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_3+a_5=8\)，則\(S_7\)等于（）A.28B.32C.56D.146.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2a_6=16\)，則\(a_4\)的值為（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.87.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=a_n+3\)，\(a_1=2\)，則\(a_n\)的通項(xiàng)公式是（）A.\(a_n=3n-1\)B.\(a_n=3n+1\)C.\(a_n=2n+1\)D.\(a_n=2n-1\)8.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，則公比\(q\)為（）A.1B.2C.3D.49.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_2+a_3=6\)，則\(a_2\)的值為（）A.1B.2C.3D.410.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，則\(a_5\)的值為（）A.\(\frac{1}{30}\)B.\(\frac{1}{20}\)C.\(\frac{1}{15}\)D.\(\frac{1}{10}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于等差數(shù)列的有（）A.\(1,2,3,4,\cdots\)B.\(2,4,8,16,\cdots\)C.\(5,5,5,5,\cdots\)D.\(1,3,5,7,\cdots\)2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(q=2\)，則（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(a_4=8\)D.\(a_5=16\)3.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+n\)，則（）A.\(a_1=2\)B.\(a_2=4\)C.\(a_3=6\)D.\(a_n=2n\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差\(d=2\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_2=3\)B.\(a_3=5\)C.\(a_4=7\)D.\(a_5=9\)5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，則（）A.\(q=2\)B.\(q=-2\)C.\(a_2=4\)D.\(a_2=-4\)6.以下關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法正確的是（）A.常數(shù)列一定是等差數(shù)列B.常數(shù)列一定是等比數(shù)列C.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一次函數(shù)形式D.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是指數(shù)函數(shù)形式7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=2\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_n=2n-1\)B.\(a_3=5\)C.\(S_n=n^2\)D.該數(shù)列是等差數(shù)列8.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，則（）A.\(a_4=5\)B.\(S_7=35\)C.\(a_2+a_6=10\)D.\(a_1+a_7=10\)9.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2a_8=9\)，則（）A.\(a_5=3\)B.\(a_5=-3\)C.\(a_1a_9=9\)D.\(a_3a_7=9\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=2^n\)，則（）A.\(a_1=2\)B.\(a_2=4\)C.\(a_3=8\)D.該數(shù)列是等比數(shù)列三、判斷題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(1,2,4,8,16\)是等差數(shù)列。（）2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公比\(q\)可以為\(0\)。（）3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）4.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\)，\(a_1=1\)，則\(a_n=2^{n-1}\)。（）5.常數(shù)列\(zhòng)(3,3,3,3,\cdots\)既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。（）6.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_2a_6=a_4^2\)。（）7.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_5=a_2+a_4\)。（）8.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=n^2+1\)，則\(a_3=10\)。（）9.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=-1\)，則\(a_4=1\)。（）10.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差\(d\gt0\)，則數(shù)列單調(diào)遞增。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(d=2\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，將\(a_1=3\)，\(d=2\)代入得\(a_n=3+2(n-1)=2n+1\)。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=3\)，求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。答案：等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，把\(a_1=2\)，\(q=3\)代入，得\(S_n=\frac{2(1-3^n)}{1-3}=3^n-1\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=3n^2-2n\)，求\(a_n\)。答案：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_1=S_1=3-2=1\)；當(dāng)\(n\geq2\)時(shí)，\(a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5\)，\(n=1\)時(shí)也滿足，所以\(a_n=6n-5\)。4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=7\)，\(a_5=11\)，求\(a_1\)和\(d\)。答案：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)可得\(\begin{cases}a_1+2d=7\\a_1+4d=11\end{cases}\)，兩式相減得\(2d=4\)，即\(d=2\)，將\(d=2\)代入\(a_1+2d=7\)得\(a_1=3\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數(shù)列和等比數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：等差數(shù)列如在計(jì)算每月固定增加的存款、每年固定增加的工資等有應(yīng)用；等比數(shù)列在計(jì)算復(fù)利、細(xì)胞分裂數(shù)量變化等方面有應(yīng)用。它們都能幫助分析有規(guī)律變化的實(shí)際問(wèn)題。2.若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，這樣的數(shù)列有什么特點(diǎn)？答案：這樣的數(shù)列是非零常數(shù)列。因?yàn)槿魯?shù)列是等差數(shù)列，公差\(d\)固定；是等比數(shù)列，公比\(q\)固定。只有非零常數(shù)列能同時(shí)滿足這兩個(gè)條件，其公差為\(0\)，公比為\(1\)。3.如何根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)判斷它是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？答案：看相鄰兩項(xiàng)的差是否為常數(shù)，若是則可能是等差數(shù)列；看相鄰兩項(xiàng)的比是否為常數(shù)，若是則可能是等比數(shù)列。但要準(zhǔn)確判斷需驗(yàn)證更多項(xiàng)，有時(shí)數(shù)列可能既非等差也非等比。4.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前\(n\)項(xiàng)和公式之間有怎樣的關(guān)系？答案：已知前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)，\(n=1\)時(shí)，\(a_1=S_1\)；\(n\geq2\)時(shí)，\(a_n=S_n-S_{n-1}\)。反之，已知通項(xiàng)公式\(a_n\)，可通過(guò)累加等方法求\(S_n\)，二者相互關(guān)聯(lián)，可相互推導(dǎo)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.