初中學(xué)段九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

2.3確定二次函數(shù)的表達(dá)式（第2課時(shí)）一般式：頂點(diǎn)式：1.我們學(xué)過的二次函數(shù)表達(dá)式有哪幾種？2.如何求二次函數(shù)的表達(dá)式？①已知二次函數(shù)表達(dá)式中的一個(gè)字母系數(shù)和圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)一般式代入求其表達(dá)式；②已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和圖象上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)頂點(diǎn)式代入求其表達(dá)式；（2個(gè)點(diǎn)）知識(shí)回顧情境導(dǎo)入

某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池,在水池中央垂直于水面豎一根柱子,上面的B處安裝一個(gè)噴頭向外噴水,該噴泉噴出的最遠(yuǎn)距離,即地面點(diǎn)A距離點(diǎn)B所在的柱子的距離(OA的長度)是3m,李冰同學(xué)建立了如圖所示的直角坐標(biāo)系,得到該拋物線還經(jīng)過(2,1),兩點(diǎn),你能根據(jù)李冰同學(xué)給出的數(shù)據(jù)求出此拋物線的表達(dá)式嗎?思考下面的問題:1.題目中給出了幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)?2.你能運(yùn)用上節(jié)課的知識(shí)求該拋物線的表達(dá)式嗎?3.應(yīng)該把二次函數(shù)表達(dá)式設(shè)成什么形式?頂點(diǎn)式還是一般式?1.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1,10),(1,4),(2,7)三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式,并寫出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).解析：

由于(-1,10),(1,4),(2,7)三個(gè)點(diǎn)都不是特殊點(diǎn),所以設(shè)所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,然后把三個(gè)點(diǎn)代入,得到三元一次方程組,進(jìn)而解出a,b,c的值即可.解:設(shè)所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,將三點(diǎn)(-1,10),(1,4),(2,7)的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式,得解這個(gè)方程組,得所以所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x2-3x+5.因?yàn)閥=2x2-3x+5=所以二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=，新課講授給出圖象上任意三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)一般形式，求出a、b、c的值進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式.

已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,-1),(2,-4)和(0,4)三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解法1:

設(shè)所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,將三點(diǎn)(1,-1),(2,-4)和(0,4)分別代入表達(dá)式,得

∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-6x+4.變式訓(xùn)練解法2:∵拋物線經(jīng)過(0,4),∴c=4.故設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+4,

把(1,-1),(2,-4)分別代入二次函數(shù)y=ax2+bx+4中,得解方程組,得∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-6x+4.2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,-1),(2,-4)和(0,4)三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.新課講授給出圖象上三點(diǎn)坐標(biāo)，且一個(gè)點(diǎn)為圖象與y軸交點(diǎn)，則c的值已知，待定系數(shù)法求出a、b的值即可求出二次函數(shù)解析式.

一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式嗎?你有幾種方法?與同伴進(jìn)行交流.議一議解法1:設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,將點(diǎn)(0,1),(1,2)和(2,1)分別代入y=ax2+bx+c,得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+1.解法2:∵二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,∴c=1.設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+1,將點(diǎn)(1,2)和(2,1)分別代入y=ax2+bx+1,∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+1.

一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式嗎?你有幾種方法?與同伴進(jìn)行交流.議一議3.一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式嗎?你有幾種方法?與同伴進(jìn)行交流.新課講授解法3:思路點(diǎn)撥：由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三個(gè)點(diǎn)的特征以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性,可得點(diǎn)B(1,2)是函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)2+2,將點(diǎn)(0,1)代入y=a(x-1)2+2,得a=-1.∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.∵A(0,1),C(2,1)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x=1時(shí)，為點(diǎn)B坐標(biāo)，故B點(diǎn)為函數(shù)圖象的頂點(diǎn).給出圖象上三點(diǎn)坐標(biāo)，且能確定一個(gè)點(diǎn)為圖象頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)式，求出二次函數(shù)解析式.4.二次函數(shù)與x軸相交于（-1，0）和（5，0）并經(jīng)過點(diǎn)（4，-10），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.新課講授解：

設(shè)解析式為y=ax2+bx+c,將（-1,0）、（5,0）、（4，-10）代入得：已知二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)，可利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的表達(dá)式.即二次函數(shù)解析式為y=2x2-8x-10.將y=2x2-8x-10變形為y=2(x2-4x-5)=2(x+1)(x-5)已知（-1,0）（5,0）是圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，故交點(diǎn)式為y=a(x-x1)(x-x2),其中（x1,0）（x2,0）是圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

1.拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一交點(diǎn)為A(-6,0),與y軸的交點(diǎn)為C(0,3),且經(jīng)過點(diǎn)G(-2,3).求拋物線的表達(dá)式.當(dāng)堂練習(xí)解：∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-6,0),C(0,3),G(-2,3),∴c=3.36a-6b+3=04a-2b+3=3∴解得

∴解得：2.填空已知條件選用表達(dá)式的形式頂點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)_______二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)中的一個(gè)和兩點(diǎn)的坐標(biāo)_______任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)_______與x軸兩交點(diǎn)和另一點(diǎn)_______頂點(diǎn)式一般式一般式3.判斷題：(1)確定二次函數(shù)的表達(dá)式需要三個(gè)條件.()(2)要確定二次函數(shù)的表達(dá)式一定要知道其圖象上的三個(gè)點(diǎn).()××當(dāng)堂練習(xí)交點(diǎn)式你學(xué)到哪些二次函數(shù)解析式的求法？

確定二次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)方式.課堂小結(jié)1.一般式給出圖象上任意三點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)表達(dá)式為y=ax2+bx+c(一般式)，求出a、b、c的值進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式.2.頂點(diǎn)式所給條件能夠確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)表達(dá)式為y=a(x-h)2+k(頂點(diǎn)式).3.交點(diǎn)式所給條件能夠確定拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),則可設(shè)表達(dá)式為y=a(x-x1)(x-x2)(交點(diǎn)式).1.一個(gè)二次函數(shù),當(dāng)x=0時(shí),y=-5;當(dāng)x=-1時(shí),y=-4;當(dāng)x=-2時(shí),y=5.則這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是 (

)A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5解析:設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵當(dāng)x=0時(shí),y=-5,當(dāng)x=-1時(shí),y=-4,當(dāng)x=-2時(shí),y=5,∴解方程組,得

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=4x2+3x-5.故選A.A課堂檢測(cè)2.過A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A.(1,2) B.C.(-1,5) D.解析:設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分別代入,得解方程組,得所以該函數(shù)的解析式為y=-x2+x+,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2).故選A.A課堂檢測(cè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱，且C（1,2）在圖象上，所以為頂點(diǎn).3.已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,則該拋物線的解析式為

.

解析:根據(jù)題意,得解方程組,得所以該拋物線的解析式為y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.y=2x2-3x+5課堂檢測(cè)4.已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A(-2,0),B(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)C(2,8).(1)求該拋物線的解析式;(2)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).解:(1)設(shè)這個(gè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.由題意知拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(1,0),C(2,8