第1頁(yè)、共2頁(yè)2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（文）本試卷共5頁(yè)，150分.考試時(shí)間長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么 A．(-∞,-1] B．[1,+∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）2．復(fù)數(shù) A．i B．-i C． D．3．如果那么A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x4．若p是真命題，q是假命題，則A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題 C．﹁p是真命題 D．﹁q是真命題5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是 A．32 B．16+16 C．48 D．16+326．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸入的P值為 A．2 B．3 C．4 D．57．某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均沒(méi)見(jiàn)產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 A．60件 B．80件 C．100件 D．120件8．已知點(diǎn)A（0,2），B（2,0）．若點(diǎn)C在函數(shù)y=x的圖像上，則使得ΔABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為A．4 B．3 C．2 D．1第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9．在中.若b=5，，sinA=，則a=___________________.10．已知雙曲線（＞0）的一條漸近線的方程為，則=.11．已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）.若a-2b與c共線，則k=________________.12．在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=4，則公比q=______________；a1+a2+…+an=_________________.13．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______14．設(shè)A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（tR）.記N（t）為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則N（0）=N（t）的所有可能取值為三、解答題6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.15．（本小題共13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.16．（本小題共13分） 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示. （1）如果X=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)棵樹(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率. （注：方差其中為的平均數(shù)）17．（本小題共14分） 如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：DE∥平面BCP； （Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形； （Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由.18．（本小題共13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）求在區(qū)間[0,1]上的最小值.19．（本小題共14分） 已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為（,0），斜率為I的直線與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3,2）. （I）求橢圓G的方程； （II）求的面積.20．（本小題共13分） 若數(shù)列滿足，則稱(chēng)為數(shù)列，記. （Ⅰ）寫(xiě)出一個(gè)E數(shù)列A5滿足； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011； （Ⅲ）在的E數(shù)列中，求使得=0成立得n的最小值.參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）D（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C（7）B（8）A二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9） （10）2（11）1 （12）2（13）（0，1） （14）66，7，8，三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)? 所以的最小正周期為 （Ⅱ）因?yàn)?于是，當(dāng)時(shí)，取得最大值2； 當(dāng)取得最小值—1．（16）（共13分）解（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為（Ⅱ）記甲組四名同學(xué)為A1，A2，A3，A4，他們植樹(shù)的棵數(shù)依次為9，9，11，11；乙組四名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們植樹(shù)的棵數(shù)依次為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個(gè)，它們是： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）， 用C表示：“選出的兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個(gè)，它們是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率為（17）（共14分） 證明：（Ⅰ）因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DE//PC。又因?yàn)镈E平面BCP，所以DE//平面BCP。（Ⅱ）因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四邊形DEFG為平行四邊形，又因?yàn)镻C⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形。（Ⅲ）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM=QN=EG，所以Q為滿足條件的點(diǎn).（18）（共13分） 解：（Ⅰ） 令，得． 與的情況如下：x（）（——0+↗↗ 所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）；單調(diào)遞增區(qū)間是 （Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增， 所以（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為 當(dāng)時(shí)， 由（Ⅰ）知上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0，1]上的最小值為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減， 所以在區(qū)間[0，1]上的最小值為（19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得 解得 又所以橢圓G的方程為（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為由得設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，則因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。此時(shí)方程①為解得所以所以|AB|=.此時(shí)，點(diǎn)P（—3，2）到直線AB：的距離所以△PAB的面積S=（20）（共13分） 解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5. （答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，—2，0，±1，0，—1，0都是滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列， 所以． 所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列． 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011． 充分性，由于a2000—a1