13.3.1三角形的內(nèi)角第十三章

三角形課時(shí)2直角三角形的性質(zhì)與判定1.了解直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系.2.掌握直角三角形的判定.3.會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∠C等于多少度？你用了什么知識(shí)解決的？ABC觀察這兩個(gè)直角三角形，它們兩銳角之和分別為多少？那對(duì)于任意直角三角形，這一結(jié)論是否還成立呢？知識(shí)點(diǎn)1：直角三角形兩銳角的關(guān)系如圖，

在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°

CAB直角三角形的兩個(gè)銳角互余.直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？在Rt△ACE中，

∠CAE=90°－∠AEC，在Rt△BDE中，∠DBE=90°－∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.例1

解：CDEAB

直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的兩銳角互余的本質(zhì)是三角形內(nèi)角和定理，是三角形內(nèi)角和定理的一種簡化應(yīng)用，利用這一性質(zhì)，在直角三角形中已知一銳角可求另一銳角．1.如圖，∠ACB=90°，

CD丄AB，垂足為D.∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？解：∠ACD＝∠B.理由如下：因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠ACD＋∠BCD＝90°.因?yàn)镃D⊥AB，所以∠BCD＋∠B＝90°.所以∠ACD＝∠B.ABCD2.如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F(xiàn)是BE和CD的交點(diǎn)，∠DCB＝45°.求∠ABE的度數(shù)．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°.知識(shí)點(diǎn)2：直角三角形的判定

我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余．反過來，你能得出什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論成立嗎？如何驗(yàn)證你的想法？

假設(shè)在△ABC中，∠A＋∠B=90°，由三角形內(nèi)角和定理，我們可以得到∠C=180°－（∠A＋∠B）=90°，即∠C是直角，那么△ABC是直角三角形.由三角形內(nèi)角和定理可得：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.判斷△EFP為直角三角形有兩種方法：有一角是直角或兩銳角互余，即要說明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°.如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P.試說明△EFP為直角三角形．例2

導(dǎo)引：解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP為∠BEF的平分線，F(xiàn)P為∠EFD的平分線，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)×180°＝90°.∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.∴△EFP為直角三角形．“有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形”是直角三角形的定義，據(jù)此可判定直角三角形；“有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形內(nèi)角和定理可知第三個(gè)角是直角，因此它的實(shí)質(zhì)還是直角三角形的定義．1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，則△ABC為(

)A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．以上都有可能C2.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD3.如圖，

∠C=90°，

∠1=∠2，

△ADE是直角三角形嗎？為什么？解：△ADE是直角三角形．理由如下：因?yàn)椤螩＝90°，所以∠A＋∠2＝90°.因?yàn)椤?＝∠2，所以∠A＋∠1＝90°.所以∠ADE＝180°－(∠A＋∠1)＝90°.所以△ADE是直角三角形。CABED21直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2.含30°角的直角三角板與直線l1，l2的位置關(guān)系如圖所示，已知l1∥l2，∠ACD＝∠A，則∠1＝(

)A．70° B．60°C．40° D．30°B1.如圖，AB∥DE，F(xiàn)G⊥BC于F，∠CDE＝40°，則∠FGB＝(

)A．40° B．50°C．60° D．70°B3.如圖，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC

＝80°，∠C＝70°.試判斷△ABD的形狀．解：在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C