京改版數(shù)學9年級上冊期中測試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題26分）一、單選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、點P是△ABC中AB邊上一點（不與A、B重合），過P作直線截△ABC使得截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線最多作（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2、如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點A的坐標為A（3，0），∠COA=60°，D為邊AB的中點，反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象經過C，D兩點，直線CD與y軸相交于點E，則點E的坐標為（

）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，5） D．（0，6）3、已知為銳角，且，則（）A． B． C． D．4、已知函數(shù)是反比例函數(shù)，圖象在第一、三象限內，則的值是（）A．3 B．-3 C． D．5、將三角形紙片（）按如圖所示的方式折疊，使點C落在邊上的點D，折痕為．已知，若以點B、D、F為頂點的三角形與相似，那么的長度是（

）A．2 B．或2 C． D．或26、對于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法錯誤的是（）A．圖象經過點（1，﹣5）B．圖象位于第二、第四象限C．當x＜0時，y隨x的增大而減小D．當x＞0時，y隨x的增大而增大二、多選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，在中，，，，將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．2、如圖，CB＝CA，∠ACB＝90°，點D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論，其中正確的結論是（）A．AC＝FG B．S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2 C．∠ABC＝∠ABF D．AD2＝FQ?AC3、如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，過點，，對稱軸為直線．則錯誤的有（

）A． B． C． D．4、如圖，二次函敗y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為﹣1、3，則下列結論中正確的有（）A．abc＜0 B．2a+b=0 C．3a+2c＞0 D．對于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b≥05、如圖所示，，，，均在正方形網格中的格點上，，分別用和表示，下列四個選項中不正確的是（）A． B． C． D．6、如圖，在△ABC中，點P為AB上一點，給出下列四個條件中能滿足△APC和△ACB相似的條件是（

）A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP·AB D．AB·CP=AP·CB7、具備下列各組條件的兩個三角形中，一定相似的是（

）A．有一個角是40°的兩個等腰三角形 B．兩個等腰直角三角形C．有一個角為100°的兩個等腰三角形 D．兩個等邊三角形第Ⅱ卷（非選擇題74分）三、填空題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AB′C′D′，則圖中陰影部分面積為___．2、《九章算術》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端D觀察水岸C，視線與井口的直徑交于點E，如果測得米，米，米，那么井深為______米．3、如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加______m.4、寫出一個滿足“當時，隨增大而減小”的二次函數(shù)解析式______．5、比較大?。篲___(填“”“”或“＞”)6、已知，則的值為_____．7、在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是_____．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、如圖，在平面直角坐標系的第一象限中，有一點A（1，2），AB∥x軸且AB＝6，點C在線段AB的垂直平分線上，且AC＝5，將拋物線y＝ax2（a＞0）的對稱軸右側的圖象記作G．（1）若G經過C點，求拋物線的解析式；（2）若G與△ABC有交點．①求a的取值范圍；②當0＜y≤8時，雙曲線經過G上一點，求k的最大值．2、某校九年級數(shù)學興趣小組的活動課題是“測量物體高度”．小組成員小明與小紅分別采用不同的方案測量同一個底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報告的部分記錄內容：課題：測量古塔的高度小明的研究報告小紅的研究報告圖示測量方案與測量數(shù)據用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為35°，再用皮尺測得測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離為30m．在點A用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向走58.8m到達點B，測出古塔頂端的仰角為45°．參考數(shù)據sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，計算古塔高度(結果精確到0.1m)30×tan35°+1.6≈22.6(m)（1）寫出小紅研究報告中“計算古塔高度”的解答過程；（2）數(shù)學老師說小紅的結果比較準確，而小明的結果與古塔的實際高度偏差較大．請你針對小明的測量方案分析測量發(fā)生偏差的原因．3、如圖，∠1=∠2=∠3,試找出圖中兩對相似三角形，并說明為什么?4、如圖，在中，是對角線、的交點，，，垂足分別為點、．（1）求證：．（2）若，，求的值．5、在等邊三角形中，，D為的中點．連接，E，F(xiàn)分別為，的中點，將繞點C逆時針旋轉，記旋轉角為，直線和直線交于點G．（1）如圖1，線段和線段的數(shù)量關系是________________，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________________．（2）將圖1中的繞點C逆時針旋轉到圖2所示位置時，判斷（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請說明理由．（3）在（2）的條件下，當以點C，F(xiàn)，E，G為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出的長．6、已知：.（1）求代數(shù)式的值；（2）如果，求的值.-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】根據相似三角形的判定方法分析，即可做出判斷．【詳解】滿足條件的直線有4條，如圖所示：如圖1，過P作PE∥AC，則有△BPE∽△BAC；如圖2，過P作PE∥BC，則有△APE∽△ABC；如圖3，過P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，則有△APE∽△ACB；如圖4，過P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，則有△BEP∽△BAC，故選：C．【考點】本題考查了相似三角形的判定，解答的關鍵是對相似三角形的判定方法的理解與靈活運用．2、B【解析】【分析】作CE⊥x軸于點E，過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，設C的坐標為（x，x），表示出D的坐標，將C、D兩點坐標代入反比例函數(shù)的解析式，解關于x的方程求出x即可得到點C、D的坐標，進而求得直線CD的解析式，最后計算該直線與y軸交點坐標即可得出結果．【詳解】解：作CE⊥x軸于點E，則∠CEO=90°，過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，則BF=CE，DM∥BF，BF=CE，∵D為AB的中點，∴AM=FM，∴DM=BF，∵∠COA=60°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，CE=OE，∴設C的坐標為（x，x），∴AF=OE=x，CE=BF=x，OE=AF=x，DM=x，∵四邊形OABC是平行四邊形，A（3，0），∴OF=3+x，OM=3+x，即D點的坐標為(3+x，)，把C、D的坐標代入y=得：k=x?x=(3+x)?，解得：x1=2，x2=0（舍去），∴C（2，2），D（4，），設直線CD解析式為：y=ax+b，則，解得，∴直線CD解析式為：，∴當x=0時，，∴點E的坐標為(0，)．故選：B．【考點】本題主要考查了平行四邊形的性質、運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及含度角的直角三角形的性質．根據反比例函數(shù)圖象經過C、D兩點，得出關于x的方程是解決問題的關鍵．3、A【解析】【分析】根據特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】∵為銳角，且，∴．故選A．【考點】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡單題目．4、A【解析】【分析】根據反比例函數(shù)的定義建立關于m的一元二次方程，再根據反比例函數(shù)的性質解答．【詳解】∵函數(shù)是反比例函數(shù)，∴m2-10=-1，解得，m2=9，∴m=±3，當m=3時，m-2＞0，圖象位于一、三象限；當m=-3時，m-2＜0，圖象位于二、四象限；故選A．【考點】本題考查了反比例函數(shù)的定義和性質，對于反比例函數(shù)y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內．5、B【解析】【分析】分兩種情況：若或若，再根據相似三角形的性質解題【詳解】∵沿折疊后點C和點D重合，∴，設，則，以點B、D、F為頂點的三角形與相似，分兩種情況：①若，則，即，解得；②若，則，即，解得．綜上，的長為或2，故選：B．【考點】本題考查相似三角形的性質，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．6、C【解析】【分析】根據題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：反比例函數(shù)y＝﹣，A、當x＝1時，y＝﹣＝﹣5，圖像經過點（1，-5），故選項A不符合題意；B、∵k＝﹣5＜0，故該函數(shù)圖象位于第二、四象限，故選項B不符合題意；C、當x＜0時，y隨x的增大而增大，故選項C符合題意；D、當x＞0時，y隨x的增大而增大，故選項D不符合題意；故選C．【考點】本題考查的是反比例函數(shù)的性質，熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．二、多選題1、CD【解析】【分析】根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．【詳解】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；C、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確．D、，兩三角形對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確；故選：．【考點】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．2、ABCD【解析】【分析】根據正方形的性質及垂直的定義證明△CAD≌△GFA，即可判斷A選項；證明四邊形CBFG是矩形，由此判斷B選項；根據矩形的性質及等腰直角三角形的性質即可判斷C選項；證明△CAD∽△EFQ，即可判斷D選項．【詳解】解：∵四邊形ADEF為正方形，∴，∴，∵FG⊥CA，∴，∴，∴，∴△CAD≌△GFA，∴AC=FG，故A選項正確；∵，∴GF∥BC，∵CB＝CA，CA=GF，∴GF=BC，∴四邊形CBFG是平行四邊形，∵，∴四邊形CBFG是矩形，∴S△FAB：S四邊形CBFG＝1：2，故B選項正確；∵四邊形CBFG是矩形，∴，∵CB＝CA，∠ACB＝90°，∴，∴，故C選項正確；∵四邊形ADEF為正方形，∴，AD=EF，∴，∵四邊形CBFG是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴△CAD∽△EFQ，∴，∵AD=EF，∴AD2＝FQ?AC，故D選項正確；故選：ABCD．【考點】此題考查矩形的判定及性質，等腰直角三角形的性質，正方形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，熟記各知識點并熟練應用解決問題是解題的關鍵．3、BD【解析】【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸x=?1可得2a+b的符號；再由根的判別式可得，根據二次函數(shù)的對稱性進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：A、由拋物線的開口向下知a<0，與y軸的交點在y軸的正半軸上，知c>0，∵對稱軸為直線，得2a=b，∴a、b同號，即b<0，∴abc>0；故本選項正確，不符合題意；B、∵對稱軸為，得2a=b，∴2a+b=4a，且a≠0，∴2a+b≠0；故本選項錯誤，符合題意；C、從圖象知，該函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，所以根的判別式，即；故本選項正確，不符合題意；D、∵?3<x1<?2，∴根據二次函數(shù)圖象的對稱性，知當x=1時，y<0；又由A知，2a=b，∴a+b+c<0；∴b+b+c<0，即3b+2c<0；故本選項錯誤，符合題意．故選：BD．【考點】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，熟練運用對稱軸的范圍求2a與b的關系，二次函數(shù)與方程及不等式之間的關系是解決本題的關鍵．4、BD【解析】【分析】由拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線與x軸的交點問題和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1，即-=1，所以b=-2a＜0，利用拋物線與y軸的交點位置得到c＜0，則可對A進行判斷；利用b=-2a可對B進行判斷；由于x=-1時，y=0，所以a-b+c=0，則c=-3a，3a+2c=-3a＜0，于是可對C進行判斷；根據二次函數(shù)性質，x=1時，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，于是可對D進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線與x軸的交點的坐標分別為（-1，0），（3，0），∴拋物線的對稱軸為直線x=1，即-=1，∴b=-2a＜0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以A錯誤；∵b=-2a，∴2a+b=0，所以B正確；∵x=-1時，y=0，∴a-b+c=0，即a+2a+c=0，∴c=-3a，∴3a+2c=3a-6a=-3a＜0，所以C錯誤；∵x=1時，y的值最小，∴對于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，即ax2-a+bx-b≥0，所以D正確．故選：BD．【考點】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍；利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．5、ABD【解析】【分析】利用勾股定理先求解再分別求解，從而可得答案.【詳解】解：由勾股定理得：所以：，，，，故A，B，D符合題意，C不符合題意；故選：ABD【考點】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義及計算，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.6、ABC【解析】【分析】根據相似三角形的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：A、∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，故選項A符合題意；B、∵∠APC=∠ACB，∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，故選項B符合題意；C、∵AC2=AP·AB，∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，故選項C符合題意；D、AB·CP=AP·CB不是兩個對應邊成比例，不能證明△APC和△ACB相似，故選項D不符合條件，故選：ABC．【考點】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關鍵．7、BCD【解析】【分析】根據相似三角形的判定方法一一判斷即可．【詳解】A.有一個角是40°的兩個等腰三角形，當40°的角為等腰三角形的底角，當40°的角為等腰三角形頂角，兩個三角形內角分別為40°、40°、100°和40°、70°、70°，則兩三角形不相似，故選項A不合題意B.等腰直角三角形的內角均為45°，45°，90°，根據三角形相似判定方法等腰直角三角形有兩組角對應相等，兩個三角形相似，一定相似，故選項B符合題意；C.∵100°＞90°，∴100°的角只能是等腰三角形的頂角，另兩個角分別為40°，40°，根據三角形相似判定定理，有兩組角對應相等的三角形相似，故選項C符合題意；D.∵等邊三角形的內角都是60°，根據三角形相似判定定理，兩個等邊三角形有兩個角對應相等，兩個三角形相似，故選項D符合題意．故選:BCD．【考點】考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形判定的4種方法是解題的關鍵．三、填空題1、【解析】【分析】設B′C′與CD的交點為E，連接AE，利用“HL”證明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根據全等三角形對應角相等∠DAE=∠B′AE，再根據旋轉角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根據陰影部分的面積=正方形ABCD的面積-四邊形ADEB′的面積，列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，設與的交點為，連接，在和中，，，，∵旋轉角為30°，，，，∴陰影部分的面積=，故答案為：．【考點】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形判定與性質，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，從而求出∠DAE=30°是解題的關鍵，也是本題的難點．2、7【解析】【分析】由題意易得，則有，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵米，米，米，∴，解得米，故井深AC為7米．【考點】本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．3、【解析】【分析】根據已知建立平面直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【詳解】建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為通過以上條件可設頂點式，其中可通過代入A點坐標代入到拋物線解析式得出：所以拋物線解析式為當水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：當時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線與拋物線相交的兩點之間的距離，可以通過把代入拋物線解析式得出：解得：

所以水面寬度增加到米，比原先的寬度當然是增加了故答案是：【考點】考查了二次函數(shù)的應用，根據已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關鍵．4、（答案不唯一）【解析】【分析】先根據二次函數(shù)的圖象和性質取對稱軸x=2，設拋物線的解析式為y=a(x-2)2，由于在拋物線對稱軸的右邊，y隨x增大而減小，得出a<0，于是去a=-1，即可解答．【詳解】解：設拋物線的解析式為y=a(x-2)2，∵在拋物線對稱軸的右邊，y隨x增大而減小，∴a<0，符合上述條件的二次函數(shù)均可，可取a=-1，則y=-(x-2)2．故答案為：y=-(x-2)2．【考點】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質．5、【解析】【分析】根據三角函數(shù)的性質得，即可比較它們的大小關系．【詳解】∵∴故答案為：<．【考點】本題考查了三角函數(shù)值大小比較的問題，掌握三角函數(shù)的性質是解題的關鍵．6、1【解析】【分析】由比例的性質，設，則，，，然后代入計算，即可得到答案．【詳解】解：根據題意，設，∴，，，∴，故答案為：1．【考點】本題考查了比例的性質，解題的關鍵是掌握比例的性質進行解題．7、5【解析】【分析】根據相似三角形的性質確定兩直角邊的比值為1：2，以及6×6網格圖形中，最長線段為6，進行嘗試，可確定、、為邊的這樣一組三角形滿足條件．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴AB=，AC：BC=1：2，∴與Rt△ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2，若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網格圖形中，最長線段為6，但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4，在圖中嘗試，可畫出DE=，EF=2，DF=5的三角形，∵===，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF=∠C=90°，∴此時△DEF的面積為：×2÷2=10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為：5．故答案為：5．【考點】本題考查了作圖-應用與設計、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．四、解答題1、（1）；（2）①，②k的最大值為112．【解析】【分析】（1）如圖1中，作CH⊥AB于H．求出點C坐標即可解決問題；（2）①當拋物線經過點A時，a＝2，當拋物線經過點B時，2＝49a，可得a＝，由此即可解決問題；②由題意當a＝時，y＝x2，當y＝8時，8＝x2，因為x＞0，推出x＝14，由題意當反比例函數(shù)y＝經過點（14，8）時k的值最大；【詳解】解：（1）如圖1中，作CH⊥AB于H．∵CA＝CB＝5，CH⊥AB，∴AH＝HB＝3，在Rt△ACH中，CH＝＝4，∴C（4，6），∵拋物線y＝ax2（a＞0）經過C點，∴6＝16a，∴a＝，∴拋物線的解析式為y＝x2．（2）①∵A（1，2），B（7，2），當拋物線經過點A時，a＝2，當拋物線經過點B時，2＝49a，∴a＝，∵若G與△ABC有交點，∴≤a≤2．②由題意當a＝時，y＝x2，當y＝8時，8＝x2，∴x＞0，∴x＝14，∴當反比例函數(shù)y＝經過點（14，8）時k的值最大，此時k＝112，∴k的最大值為112．【考點】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用特殊點解決問題，屬于中考壓軸題．2、（1）見解析，古塔的高度為26.8m；（2）小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，應該測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離【解析】【分析】（1）設，根據等腰直角三角形的性質可得，然后利用正切函數(shù)得出，求解，結合圖形求解即可得出；（2）對比小紅的測量方法，結合題意：用皮尺測得測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離即可得出誤差較大的原因．【詳解】解：(1)設，在中，∵，∴，在中，∴，∴，∴，即m，∴m，答：古塔的高度為26.8m．(2)原因：小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，應該測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離．【考點】題目主要考查利用正切函數(shù)解三角形的應用，理解題意，依據正切函數(shù)列出方程是解題關鍵．3、△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由見解析.【解析】【分析】根據兩個三角形的兩組角對應相等，那么這兩個三角形互為相似三角形證明