第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布INNOVATIVEDESIGN第4節(jié)隨機事件、頻率與概率202X/01/01匯報人：1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運算.CONTENTS目錄01知識診斷自測02考點聚焦突破03課時對點精練知識診斷自測01ZHISHIZHENDUANZICE1.樣本空間和隨機事件(1)樣本點和樣本空間把隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的______,都稱為樣本點,把由所有________組成的集合稱為樣本空間,常用Ω表示.(2)隨機事件①定義:將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件,簡稱事件.②表示:大寫字母A,B,C,….③隨機事件的極端情形:必然事件、不可能事件.結(jié)果樣本點

定義表示法圖示包含關(guān)系一般地,如果事件A發(fā)生時,事件B一定發(fā)生,則稱“A包含于B”(或“B包含A”)記作A?B(或B?A)互斥事件給定事件A,B,若事件A與B不能__________,則稱A與B互斥,記作AB=?(或A∩B=?)若A∩B=?,則A與B互斥同時發(fā)生2.事件的關(guān)系

定義表示法圖示對立事件若A∩B=?,且A∪B=Ω,則A與B對立不屬于A

定義表示法圖示并事件給定事件A,B,由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并)記作______________交事件給定事件A,B,由A與B中的______樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交)記作_______________A+B(或A∪B)公共AB(或A∩B)3.事件的運算

常用結(jié)論與微點提醒×√1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(

)(2)在大量的重復(fù)試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(

)(3)若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A),則0≤P(A)≤1.(

)(4)6張獎券中只有一張有獎,甲、乙先后各抽取一張,則甲中獎的概率小于乙中獎的概率.(

)解析隨機事件的概率是頻率的穩(wěn)定值,頻率是概率的近似值,故(1)錯誤.(4)中,甲中獎的概率與乙中獎的概率相同.√×D2.(人教A必修二P235T1原題)某人打靶時連續(xù)射擊兩次,下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是(

) A.至多一次中靶

B.兩次都中靶 C.只有一次中靶

D.兩次都沒有中靶

解析連續(xù)射擊兩次中靶的情況如下:①兩次都中靶;②只有一次中靶;③兩次都沒有中靶,故選D.C3.(北師大必修一P194A組T2改編)下列說法正確的是(

) A.互斥事件與對立事件含義相同 B.互斥事件必是對立事件 C.對立事件必是互斥事件 D.對立事件可以是互斥事件,也可以不是互斥事件

解析互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系,互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件,而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外,還要求二者之一必須有一個發(fā)生.因此,對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件未必是對立事件.0.7824.(蘇教必修二P287T16改編)全班50名學(xué)生每人拋擲20枚圖釘,最后對全班統(tǒng)計釘尖朝上的頻數(shù)為782次,由此估計釘尖朝上的概率為

.

考點聚焦突破02KAODIANJUJIAOTUPO例1(2025·泰安調(diào)研)在某屆足球賽上,a,b,c,d四支球隊進入了最后的比賽.在第一輪的兩場比賽中,a對b,c對d,然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽,這兩場比賽的負者比賽,決出第三名和第四名.比賽的一種最終可能結(jié)果記為acbd(表示a勝b,c勝d,然后a勝c,b勝d). (1)寫出比賽所有可能的結(jié)果構(gòu)成的樣本空間;

解

第一輪的兩場比賽中,當(dāng)a,c勝出時,比賽最終可能結(jié)果為acbd,acdb,

cabd,cadb;

第一輪的兩場比賽中,當(dāng)a,d勝出時,比賽最終可能結(jié)果為adbc,adcb,dabc,dacb;

第一輪的兩場比賽中,當(dāng)b,c勝出時,比賽最終可能結(jié)果為bcad,bcda,cbad,cbda;

第一輪的兩場比賽中,當(dāng)b,d勝出時,比賽最終可能結(jié)果為bdac,bdca,dbac,dbca.

則比賽所有可能的結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為Ω={acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,

adcb,dabc,dacb,bcad,bcda,cbad,cbda,bdac,bdca,dbac,dbca}.考點一隨機事件與樣本空間(2)設(shè)事件A表示“a隊獲得冠軍”,寫出A包含的所有可能結(jié)果;解A包含的所有可能結(jié)果為acbd,acdb,adbc,adcb.(3)設(shè)事件B表示“a隊進入冠亞軍決賽”,寫出B包含的所有可能結(jié)果.解B包含的所有可能結(jié)果為acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,adcb,dabc,dacb.確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件.(2)根據(jù)題意,按一定的次序列出問題的答案.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的,按規(guī)律去寫,要做到既不重復(fù)也不遺漏.思維建模訓(xùn)練1(1)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個,現(xiàn)在有放回地隨機摸3次,每次摸取一個,觀察摸出球的顏色,則此隨機試驗的樣本點個數(shù)為(

) A.5

B.6 C.7

D.8

解析因為是有放回地隨機摸3次,所以隨機試驗的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(黑,紅,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)}.共8個.D(2)在1,2,3,…,10這十個數(shù)字中,任取三個不同的數(shù)字,那么“這三個數(shù)字的和大于5”這一事件是

.(填“必然事件”或“不可能事件”)

解析從1,2,3,…,10這十個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字,那么這三個數(shù)字和的最小值為1+2+3=6,∴事件“這三個數(shù)字的和大于5”一定會發(fā)生,∴由必然事件的定義可以得知該事件是必然事件.必然事件ABD例2(1)(多選)(2025·太原調(diào)研)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,定義以下事件:D1=“點數(shù)大于2”,D2=“點數(shù)不大于2”,D3=“點數(shù)大于3”,D3=“點數(shù)為4”,則下列結(jié)論正確的是(

) A.D3?D1

B.D4?D3 C.D1∪D3=D3

D.D1∩D2=?

解析

D1={3,4,5,6},D2={1,2},D3={4,5,6},D4={4},

根據(jù)集合運算,顯然A,B,D正確.考點二事件的關(guān)系與運算(2)從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取兩球,下列情況中是互斥而不對立的兩個事件的是(

)A.至少有一個紅球;至少有一個白球 B.恰有一個紅球;都是白球C.至少有一個紅球;都是白球 D.至多有一個紅球;都是紅球解析對于A,“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球,“至少有一個白球”可能為一個白球、一個紅球,故兩事件可能同時發(fā)生,所以不是互斥事件;對于B,“恰有一個紅球”,則另一個必是白球,與“都是白球”是互斥事件,而任取兩球還可能都是紅球,故兩事件不是對立事件;對于C,“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白,與“都是白球”顯然是對立事件;對于D,“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白,與“都是紅球”是對立事件.B1.利用事件間運算的定義,列出同一條件下的試驗所有的樣本點,分析并利用這些樣本點進行事件間的運算.2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件.思維建模訓(xùn)練2(1)(多選)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機},事件B={兩彈都沒擊中飛機},事件C={恰有一彈擊中飛機},事件D={至少有一彈擊中飛機},則下列關(guān)系正確的是(

) A.A∩D=? B.B∩D=? C.A∪C=D

D.A∪B=B∪D

解析

“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中、第二枚沒中或第一枚沒中、第二枚擊中, “至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況,一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故A∩D≠?,B∩D=?,A∪C=D,A∪B≠B∪D.BC(2)(多選)口袋里裝有1紅,2白,3黃共6個除顏色外完全相同的小球,從中取出兩個球,事件A=“取出的兩個球同色”,B=“取出的兩個球中至少有一個黃球”,C=“取出的兩個球至少有一個白球”,D=“取出的兩個球不同色”,E=“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷正確的是(

)A.A與D為對立事件

B.B與C是互斥事件C.C與E是對立事件

D.P(C∪E)=1解析當(dāng)取出的兩個球為一黃一白時,B與C都發(fā)生,B不正確;當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時,事件C與E都發(fā)生,C不正確;顯然A與D是對立事件,A正確;C∪E為必然事件,P(C∪E)=1,D正確.AD例3如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時間(分鐘)10~2020~3030~4040~5050~60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164考點三頻率與概率

(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;解選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時間(分鐘)10~2020~3030~4040~5050~60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.解設(shè)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)>P(A2),∴甲應(yīng)選擇L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B1)<P(B2),∴乙應(yīng)選擇L2.1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.思維建模投籃次數(shù)8101520304050進球次數(shù)681217253240進球頻率

(1)計算表中進球的頻率;

訓(xùn)練3(2025·佛山模擬)某籃球運動員在同一條件下進行投籃練習(xí),結(jié)果如表所示:(2)這位運動員投籃一次,進球的概率約是多少?解隨著投籃次數(shù)的增加,進球次數(shù)的頻率接近0.8,故這位運動員投籃一次,進球的概率約是0.8.(3)這位運動員進球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投中8次嗎?解若這位運動員投籃10次,不一定會投進8次.因為進球的概率是0.8是通過大量重復(fù)實驗得到的,而投籃10次是隨機的,所以不一定會投進8次,也可能都不進,也可能都進.課時對點精練03KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.從6個籃球、2個排球中任選3個球,則下列事件中,是必然事件的為(

) A.3個都是籃球

B.至少有1個是排球

C.3個都是排球

D.至少有1個是籃球

解析

A,B是隨機事件,C是不可能事件,D是必然事件.D

C

D4.拋擲一枚骰子,“向上的點數(shù)是1或2”為事件A,“向上的點數(shù)是2或3”為事件B,則(

) A.A?B B.A=B C.A+B表示向上的點數(shù)是1或2或3 D.AB表示向上的點數(shù)是1或2或3

解析由題意,可知A={1,2},B={2,3},

則AB={2},A+B={1,2,3},

∴A+B表示向上的點數(shù)是1或2或3.C5.(2025·蘭州質(zhì)檢)打靶3次,事件Ai表示“擊中i次”,其中i=0,1,2,3,那么A=A1∪A2∪A3表示(

) A.全部擊中 B.至少擊中1次 C.至少擊中2次 D.以上均不正確

解析由題意可得,事件A1,A2,A3是彼此互斥事件,且A0∪A1∪A2∪A3為必然事件,A=A1∪A2∪A3表示的是打靶至少擊中一次.B

B

C8.某超市計劃按月訂購一種冷飲,根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25℃,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)內(nèi),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃,需求量為100瓶.為了確定6月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表:B用最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1,則x=(

)A.100 B.300 C.400

D.600最高氣溫[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)45253818

二、多選題9.(2025·武漢段考)從5名女生和4名男生中任選兩個人參加某項活動,有如下隨機事件:A=“至少有1名女生”,B=“至少有1名男生”,C=“恰有1名男生”,D=“兩名都是女生”,E=“恰有1名女生”,下列結(jié)論正確的是(

) A.C=E B.A=B C.D∩E≠? D.B與D互為對立事件AD解析對于A,“恰有1名男生”與“恰有1名女生”是同一個事件,即C=E,A正確;對于B,事件A=“至少有1名女生”包含“1名女生和1名男生”、“兩名女生”兩種情況,事件B=“至少有1名男生“包含”“1名男生和1名女生”、“兩名男生”兩種情況,故A≠B,B錯誤;對于C,事件D=“兩名都是女生”,事件E=“恰有1名女生”=“1名女生,1名男生”兩個事件互斥,故D∩E=?,C錯誤;對于D,樣本空間Ω={“兩名女生”、“1名女生,1名男生”、“兩名男生”},故B與D互為對立事件,D正確.序號n=20n=100n=500頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.52410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.50610.利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗,在重復(fù)次數(shù)為20,100,500的試驗中各取5組,得到事件A=“一個正面朝上,一個反面朝上”發(fā)生的頻數(shù)和頻率表如下:根據(jù)以上信息,下面說法正確的有(

)A.試驗次數(shù)相同時,頻率可能不同,說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性B.試驗次數(shù)較少時,頻率波動較大;試驗次數(shù)較多時,頻率波動較小,所以試驗次數(shù)越少越好C.隨機事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值附近D.我們要得到某事件發(fā)生的概率,只需要做一次隨機試驗,得到事件發(fā)生的頻率即為概率AC解析試驗次數(shù)相同時,頻率可能不同,說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性,故A正確;試驗次數(shù)較少時,頻率波動較大,試驗次數(shù)較多時,頻率波動較小,所以試驗次數(shù)越多越好,B錯誤;隨機事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值附近,此固定值就是概率,C正確;我們要得到某事件發(fā)生的概率,需要進行多次試驗才能得到概率的估計值,故D錯誤.11.(2025·重慶診斷)小張上班從家到公司開車有兩條線路,所需時間(分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化,其概率分布如表所示:BD所需時間(分鐘)30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說法正確的是(

)A.任選一條線路,“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件B.從所需的平均時間看,線路一比線路二更節(jié)省時間C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司,小張應(yīng)該走線路一D.若小張上、下班走不同線路,則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.08解析“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件,A錯誤;線路一所需的平均時間為30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39(分鐘),線路二所需的平均時間為30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40(分鐘),所以B正確;線路一所需時間小于45分鐘概率為0.7,線路二所需時間小于45分鐘概率為0.8,小張應(yīng)選線路二,故C錯誤;所需時間之和大于100分鐘則線路一,線路二的時間可以為(上班線路一50,下班線路二60),(上班線路一60,下班線路二60),(上班線路一60,下班線路二50),(上班線路二60,下班線路一50),(上班線路二60,下班線路一60),(上班線路二50,下班線路一60),共6種情況,概率為0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1+0.1×0.2+0.1×0.1+0.1×0.1=0.08,故D正確.三、填空題12.籠子中有4只雞和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,記錄剩下動物的腳數(shù).則該試驗的樣本空間Ω=

.

{0,2,4,6,8}解析最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余雞的只數(shù)最多4只,最少0只,所以剩余動物的腳數(shù)可能是8,6,4,2,0.

污染指數(shù)T3060100110130140概率P其中污染指數(shù)T≤50時,空氣質(zhì)量為優(yōu);50<T≤100時,空氣質(zhì)量為良;100<T≤150時,空氣質(zhì)量為輕微污染,則該城市2024年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為

.

13.某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如表所示:14.(2025·石家莊質(zhì)檢)為了解某中學(xué)學(xué)生遵守《中華人民共和國道路交通安全法》的情況,調(diào)查部門在該校進行了如下的隨機調(diào)查,向被調(diào)查者提出兩個問題:

(1)你的學(xué)號是奇數(shù)嗎?(2)在過路口時你是否闖過紅燈?要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第一個問題,否則就回答第二個問題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題,只需回答“是”或“不是”,因為只有調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題,所以都如實地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的1200人(學(xué)號從1至1200)中有366人回答了“是”.由此可以估計這1200人中闖過紅燈的人數(shù)是

.

132

四、解答題15.(2025·湖州調(diào)考)在試驗E:“連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子2次,觀察每次擲出的點數(shù)”中,事件A表示隨機事件“第一次擲出的點數(shù)為1”,事件Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示隨機事件“第一次擲出的點數(shù)為1,第二次擲出的點數(shù)為j”,事件B表示隨機事件“兩次擲出的點數(shù)之和為6”,事件C表示隨機事件“第二次擲出的點數(shù)比第一次的大3”. (1)試用樣本點表示事件A∩B與A∪B;

解由題意可知試驗E的樣本空間為{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.解因為事件A表示隨機事件“第一次擲出的點數(shù)為1”,所以滿足條件的樣本點有(1,1),(1,2)