考研17年數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)是f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的（）條件。

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

2.極限lim(x→0)(sinx/x)的值為（）。

A.1

B.0

C.-1

D.不存在

3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的極值點(diǎn)為（）。

A.x=1

B.x=-1

C.x=0

D.x=2

4.不定積分∫(x^2+1)/xdx的結(jié)果為（）。

A.x^2+x+C

B.x^2/2+ln|x|+C

C.x^3/3+x+C

D.x^2/2+C

5.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)的斂散性為（）。

A.收斂

B.發(fā)散

C.條件收斂

D.絕對(duì)收斂

6.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)的值為（）。

A.-2

B.2

C.-5

D.5

7.向量場(chǎng)F(x,y)=(x,y)的旋度旋(F)在點(diǎn)(1,1)處的值為（）。

A.0

B.1

C.-1

D.2

8.微分方程y''-4y=0的通解為（）。

A.y=C1e^2x+C2e^-2x

B.y=C1x+C2

C.y=C1cos(2x)+C2sin(2x)

D.y=e^x(C1cos(2x)+C2sin(2x))

9.曲線y=x^3在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為（）。

A.1

B.3

C.2

D.0

10.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)是定積分∫[atob]f(x)dx存在的（）條件。

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在x→0時(shí)等價(jià)于x的有（）。

A.sin(x)

B.tan(x)

C.ln(1+x)

D.e^x-1

2.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f'(x0)的值為（）。

A.0

B.1

C.-1

D.任意實(shí)數(shù)

3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）。

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(1/n^3)

4.下列矩陣中，可逆的有（）。

A.[[1,0],[0,1]]

B.[[1,2],[2,4]]

C.[[3,0],[0,3]]

D.[[0,1],[1,0]]

5.下列微分方程中，線性微分方程的有（）。

A.y''+y'-2y=0

B.y''-y=x

C.y''+y=sin(x)

D.y'+y^2=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值為。

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值為。

3.不定積分∫(1/x)dx的結(jié)果為。

4.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/(n+1))的斂散性為。

5.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的逆矩陣A^(-1)為。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/xdx。

3.計(jì)算定積分∫[0toπ]sin(x)dx。

4.解微分方程y'-y=e^x。

5.計(jì)算矩陣A=[[2,1],[1,3]]的特征值和特征向量。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A充分不必要。函數(shù)可導(dǎo)必定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)，例如絕對(duì)值函數(shù)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。

2.A1。當(dāng)x→0時(shí)，sinx/x趨于1（重要極限）。

3.Ax=1。f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(1)=-6<0，故x=1為極大值點(diǎn)。

4.Bx^2/2+ln|x|+C。∫xdx=x^2/2，∫1/xdx=ln|x|，所以原式=x^2/2+ln|x|+C。

5.A收斂。p=2>1的p級(jí)數(shù)收斂。

6.A-2。det(A)=1×4-2×3=-2。

7.A0。旋(F)=?Q/?x-?P/?y=1-1=0，所以旋度處處為0。

8.Ay=C1e^2x+C2e^-2x。特征方程r^2-4=0，r=±2，通解為指數(shù)函數(shù)線性組合。

9.B3。y'=3x^2，在x=1處y'=3。

10.C充要。連續(xù)是定積分存在的必要充分條件。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABCD。這些函數(shù)在x→0時(shí)都等價(jià)于x（利用泰勒展開或洛必達(dá)法則可得）。

2.A0。根據(jù)費(fèi)馬定理，可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0。

3.BCD。p級(jí)數(shù)p=2,3>1收斂；交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件收斂；p=1發(fā)散。

4.AC。行列式分別為1和-9非零，故可逆；B行列式為0不可逆；D行列式為-1非零可逆。

5.AB。線性微分方程形式為y^n+a_ny^m+a_{n-1}y^m+...+a_0=0，A為常系數(shù)線性齊次，B為線性非齊次。

三、填空題答案及解析

1.4。分子分母同除x-2得x+2，極限為4。

2.8。f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-1)=5,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2，最大值為8。

3.ln|x|+C。基本積分公式。

4.發(fā)散。發(fā)散，因?yàn)?/(n+1)與1/n等價(jià)且p=1發(fā)散。

5.[[3/5,-2/5],[-1/5,1/5]]。通過初等行變換或公式A^(-1)=1/det(A)adj(A)求解。

四、計(jì)算題解答過程

1.解：原式=lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2

=lim(x→0)(e^x-1)/2x(洛必達(dá))

=lim(x→0)e^x/2=1/2

（注：也可用泰勒展開e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)）

2.解：原式=∫xdx+∫2xdx+∫1/xdx

=x^2/2+x^2+ln|x|+C

（注：也可寫成x^2+2x+ln|x|+C）

3.解：原式=-cos(x)[0toπ]

=-cos(π)-(-cos(0))

=1+1=2

4.解：y'-y=e^x

y=e^(∫1dx)[∫e^(∫-1dx)e^xdx+C]

=e^x(∫e^-xe^xdx+C)

=e^x(x+C)

（注：也可用常數(shù)變易法）

5.解：det(λI-A)=0

[[λ-2,-1],[-1,λ-3]]=(λ-2)(λ-3)+1=λ^2-5λ+7=0

λ=(5±√2i)/2

對(duì)應(yīng)(5+√2i)/2的特征向量：

[[(5+√2i)/2-2,-1],[-1,(5+√2i)/2-3]]v=0

解得v1=1,v2=(5-√2i)/2

對(duì)應(yīng)(5-√2i)/2的特征向量：

[[(5-√2i)/2-2,-1],[-1,(5-√2i)/2-3]]v=0

解得v2=1,v2=(5+√2i)/2

知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)

一、極限與連續(xù)

1.極限計(jì)算：洛必達(dá)法則、泰勒展開、重要極限

2.連續(xù)性判斷：介值定理、零點(diǎn)定理

3.間斷點(diǎn)分類：可去、跳躍、無窮、振蕩間斷點(diǎn)

二、一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)計(jì)算：基本公式、四則運(yùn)算法則、鏈?zhǔn)椒▌t

2.微分中值定理：羅爾、拉格朗日、柯西

3.極值與最值：第一二階導(dǎo)數(shù)判別法

4.凹凸性與拐點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化

三、一元函數(shù)積分學(xué)

1.不定積分計(jì)算：基本公式、換元積分、分部積分

2.定積分計(jì)算：牛頓萊布尼茨公式、換元積分法

3.定積分應(yīng)用：面積、旋轉(zhuǎn)體體積、弧長(zhǎng)

4.級(jí)數(shù)斂散性：p級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、比值判別法

四、常微分方程

1.一階微分方程：可分離變量、齊次、一階線性

2.可降階的高階方程

3.線性微分方程：解的結(jié)構(gòu)、特征方程法

4.常系數(shù)微分方程

五、線性代數(shù)

1.矩陣運(yùn)算：加法、乘法、轉(zhuǎn)置、逆矩陣

2.行列式計(jì)算：展開式、行變換法

3.線性方程組：克萊姆法則、高斯消元法

4.特征值與特征向量：定義、計(jì)算、性質(zhì)

題型考察知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

選擇題：考察基礎(chǔ)概念辨析能力

示例：極限題考察對(duì)重要極限、洛必達(dá)法則等工具的掌握程度

多項(xiàng)選擇題：考察綜合分析能力

示例：級(jí)