考研前最后一套數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必存在

A.最大值和最小值

B.極值

C.導(dǎo)數(shù)

D.不連續(xù)點(diǎn)

2.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=ln(1+x)

3.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是

A.2

B.0

C.-2

D.8

4.若lim(x→2)(x^2+ax+b)/(x^2-x-2)=2，則a和b的值分別為

A.a=2,b=2

B.a=-2,b=2

C.a=2,b=-2

D.a=-2,b=-2

5.下列積分中，收斂的是

A.∫(1to∞)1/x^2dx

B.∫(1to∞)1/xdx

C.∫(0to1)1/sqrt(x)dx

D.∫(1to∞)e^xdx

6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，且f''(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.凹向下

D.凹向上

7.下列級數(shù)中，收斂的是

A.∑(n=1to∞)1/n

B.∑(n=1to∞)1/n^2

C.∑(n=1to∞)n^2

D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

8.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必存在

A.原函數(shù)

B.導(dǎo)數(shù)

C.極值

D.不連續(xù)點(diǎn)

9.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=sec(x)

10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間I上

A.必有最大值

B.必有最小值

C.必?zé)o極值

D.必有駐點(diǎn)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=e^x

E.f(x)=ln(1+x)

2.下列級數(shù)中，絕對收斂的是

A.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

B.∑(n=1to∞)1/n^2

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

D.∑(n=1to∞)1/n

E.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^3

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,∞)上連續(xù)的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=1/x

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=cos(x)

E.f(x)=tan(x)

4.下列積分中，收斂的是

A.∫(0to1)1/sqrt(x)dx

B.∫(1to∞)1/x^2dx

C.∫(1to∞)1/xdx

D.∫(1to∞)e^-xdx

E.∫(1to∞)1/x^3dx

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，且f''(x)>0，則下列說法正確的是

A.f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增

B.f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減

C.f(x)在區(qū)間I上凹向上

D.f(x)在區(qū)間I上凹向下

E.f(x)在區(qū)間I上必存在極值

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f'(0)=3，則lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=_______。

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=1處的極值是_______。

3.若lim(x→2)(x^2+ax+b)/(x^2-4)=2，則a=_______，b=_______。

4.級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n^p收斂的條件是p_______。

5.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間(-∞,∞)上的原函數(shù)是_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(3x)-3sin(x))/x^3。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx。

4.計(jì)算定積分∫(0to1)x*e^xdx。

5.判斷級數(shù)∑(n=1to∞)(n+1)/n^3的收斂性。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：根據(jù)極值定理，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必存在最大值和最小值。

2.A

解析：f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

3.D

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=2，f(1)=-2，f(-2)=-2，f(2)=8，故最大值為8。

4.B

解析：分子分母同時除以(x-2)，得lim(x→2)(x+2+a)/(x+1)=2，解得a=-2，再代入原式得b=2。

5.A

解析：∫(1to∞)1/x^2dx=-1/x|_(1)^∞=1，收斂。

6.D

解析：f''(x)>0表示函數(shù)凹向上。

7.B

解析：p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂，這里p=2>1。

8.A

解析：根據(jù)原函數(shù)的定義，連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。

9.A

解析：f'(0)=lim(x→0)(sin(x)/x)=1，故可導(dǎo)。

10.A

解析：單調(diào)遞增函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D,E

解析：sin(x),cos(x),e^x,ln(1+x)在x=0處都可導(dǎo)，tan(x)在x=0處不可導(dǎo)。

2.B,C,E

解析：p-級數(shù)當(dāng)p>1時絕對收斂，這里p=2,3>1；交錯級數(shù)當(dāng)絕對值單調(diào)遞減且趨于0時收斂，這里(-1)^n/n^2,(-1)^n/n^3滿足條件。

3.A,C,D

解析：x^2,sin(x),cos(x)在區(qū)間(-∞,∞)上連續(xù)，1/x,tan(x)在x=0處不連續(xù)。

4.A,B,D,E

解析：∫(0to1)1/sqrt(x)dx=2sqrt(x)|_(0)^1=2，收斂；∫(1to∞)1/x^2dx=-1/x|_(1)^∞=1，收斂；∫(1to∞)e^-xdx=-e^-x|_(1)^∞=1，收斂；∫(1to∞)1/x^3dx=-1/(2x^2)|_(1)^∞=1/2，收斂。

5.C

解析：f''(x)>0表示函數(shù)凹向上。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=f'(0)=3。

2.2

解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(1)=-2，f(-1)=2，故在x=1處取得極大值2。

3.a=-2,b=2

解析：分子分母同時除以(x-2)，得lim(x→2)(x+2+a)/(x+1)=2，解得a=-2，再代入原式得b=2。

4.p>1

解析：p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂。

5.e^x+C

解析：e^x的導(dǎo)數(shù)是e^x，故原函數(shù)是e^x+C。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解析：lim(x→0)(sin(3x)-3sin(x))/x^3=lim(x→0)[(sin(3x)/x-(3sin(x)/x))/(x^2)]=lim(x→0)[(3cos(3x)-3cos(x))/(x^2)]=lim(x→0)[(9sin(3x)-3sin(x))/(2x)]=lim(x→0)[(27cos(3x)-3cos(x))/2]=12。

2.解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-1)=-5，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，故最大值為2，最小值為-5。

3.解析：∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx=∫(x+1)dx=x+(1/2)x^2+C。

4.解析：∫(0to1)x*e^xdx=∫xde^x=x*e^x|_(0)^1-∫e^xdx=e-(e-1)=1。

5.解析：級數(shù)∑(n=1to∞)(n+1)/n^3=∑(n=1to∞)(1/n^2+1/n^3)，p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂，這里p=2,3>1，故級數(shù)收斂。

知識點(diǎn)總結(jié)

函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、級數(shù)的收斂性是本試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的主要知識點(diǎn)。

各題型所考察學(xué)生的知識點(diǎn)詳解及示例

選擇題：考察學(xué)生對基本概念和定