61.線面角計(jì)算的六大應(yīng)用一．基本原理直線與平面所成角（1）定義：如圖，一條直線和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足；過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影；平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．（2）范圍：直線與平面所成的角的取值范圍是.由上述定義可知，計(jì)算線面角的關(guān)鍵點(diǎn)在于向平面做垂線，找到這個垂線段的長度，為了找到垂線并且能夠有效的計(jì)算出垂線段的長度，除了定義法之外，可以利用等體積法來計(jì)算點(diǎn)到面的距離.此外，可以利用面面垂直的性質(zhì)找到點(diǎn)到面的垂線段，這些都是計(jì)算線面角的常用方法之一，最后，再加上一個刻畫線面角性質(zhì)的三余弦定理，它也可以用來計(jì)算線面角的大小.二．計(jì)算方法與應(yīng)用應(yīng)用1.定義法應(yīng)用2.等體積法：應(yīng)用3.垂面法應(yīng)用4.三余弦定理應(yīng)用5.空間向量（本文略去）應(yīng)用6.范圍與軌跡問題（i）最小角意識線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線的所成角的最小值，即線面角是線線角的最小值，又稱最小角定理.（凌晨講數(shù)學(xué)）（ii）圓錐意識如上圖，，這里就會出現(xiàn)下面幾類范圍問題：（1）已知大小，且知長，那么射影就是一個以斜足為圓心的圓的半徑；（2）已知大小，則斜線為一個以為頂點(diǎn)的圓錐的母線（iii）坐標(biāo)意識二．典例分析：應(yīng)用1.定義法例1.(2022年高考全國甲卷)在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則()A． B．與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為解析：如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．應(yīng)用2.等體積法例2.（2022年全國甲卷）在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；（2）求與平面的所成的角的正弦值．解析：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在中，，,由等體積法得：,，設(shè)與平面所成角為則例3．如圖，四邊形為正方形，平面，∥，（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.解析：（1）連接交于，四邊形為正方形，，又平面，平面，則.又∥，四點(diǎn)共面，，且平面，于是平面.（2）//，與平面所成角就是與平面所成角.在中，可以求得，，，根據(jù)余弦定理得，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由平面知，而，因此平面，顯然平面，則點(diǎn)到平面的距離為長2，而，由，得，即，解得.

故與平面所成角的正弦值為.應(yīng)用3.垂面法例4.（2022年全國甲卷）在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；（2）求與平面的所成的角的正弦值．解析：作交于，∵平面，平面∴，∴平面面,∴面面,過點(diǎn)作面的垂線，垂足在面與面的交線上，∴直線與平面所成角，在中:∴，故直線與平面所成角的正弦.例5．如圖1，在平行四邊形ABCD中，，AD＝2，AB＝4，將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2（1）證明：BD⊥平面PAD；（2）當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．解析：（1）證明：在中，因?yàn)?，AD＝2，AB＝4，故，所以，即,在沿對角線BD將翻折過程中，始終有，故,因?yàn)槠矫鍼AD，故BD⊥平面PAD；（2）如圖，設(shè)PA的中點(diǎn)為E，連接DE,BE，因?yàn)?故,又因?yàn)?故,則二面角的平面角，由（1）知BD⊥平面PAD，平面PAD，則,故,故在中，,則,則,而,平面ABCD,故平面ABCD,而平面ABCD,故,又因?yàn)?而平面PBD,所以平面PBD,由于平面PBC,故平面PBC平面PBD,且平面PBC平面PBD=PB,故過點(diǎn)D向平面PBC作垂線，垂足F落在PB上，則,即為直線BD與平面PBC的夾角，由（1）可知,而，則,則,故直線BD與平面PBC的夾角的正弦值為.★應(yīng)用4.三余弦定理設(shè)為面上一點(diǎn)，過的斜線在面上的射影為，為面上的一條直線，則證明：如圖，過點(diǎn)作，由于，則，從而.于是，于是得證：例6.（2020年浙江卷）如圖，在三棱臺中，平面平面，，.（1）證明：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.解析：如圖所示，過點(diǎn)作于，因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上的射影一定在的平分線上，設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?，所以與平面所成角也為.由（1）知，由三余弦定理知，即，所以，從而，即直線與平面所成角的正弦值為.應(yīng)用5.線面角中的范圍與軌跡問題例7．已知直線和平面所成的角為，則直線和平面內(nèi)任意直線所成的角的取值范圍為（

）A． B．C． D．解析：根據(jù)線面角的定義，線面角是平面外的直線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角，故與內(nèi)直線所成角的最小值為，當(dāng)在內(nèi)的射影與平面內(nèi)的直線垂直時(shí)，與之所成的角為，故與內(nèi)直線所成角的范圍為.故選：D.例8．在四棱錐中，平面，，點(diǎn)M是矩形內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且，，直線與平面所成的角為．當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為（

）．A． B． C． D．解析：如圖，因?yàn)槠矫?，垂足為，則為直線與平面所成的角，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)位于底面矩形內(nèi)的以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，注意，，記點(diǎn)的軌跡為圓弧，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，三棱錐的體積最小，由AF、BF在面ABCD內(nèi)，則，三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn).因?yàn)?，所以三棱錐的外接球的表面積.故選：C例9．在四棱錐中，平面ABCD，PA＝3，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且，，直線PM與平面ABCD所成的角為，記點(diǎn)M的軌跡長度為（

）A． B． C． D．解析：由于平面，所以平面，所以，則，即是直線與平面所成角，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在矩形內(nèi)的部分，設(shè)圓與分別交于兩點(diǎn)，，所以，所以點(diǎn)的軌跡長為.故選：A例10．已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)?，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為，故選：B三．習(xí)題演練1．正四面體ABCD中異面直線AB與CD所成角為，側(cè)棱AB與底面BCD所成角為，側(cè)面ABC與底面BCD所成的銳二面角為，則（

）A． B． C． D．解析：過A作A在底面的射影O，∵是正四面體，∴O是底面的中心，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，在正四面體中，平面，平面，，又，平面，，則平面，平面，，即異面直線與所成的角為，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影為，則是側(cè)棱與底面所成的角，即，，，側(cè)面與底面所成的角為，∴，∵，，∵，∴，即，則，即.故選：A2．是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．解析：如圖，設(shè)直線在平面的射影為，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．3．已知球O的半徑為2，A，B，C為球面上的三個點(diǎn)，，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，若OP與平面ABC所成角的最大值為，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C． D．解析：記ABC外接圓圓心為，則平面ABC，故為OP與平面ABC所成的角，如圖，當(dāng)P移動到AB中點(diǎn)K時(shí)，OP的長度最小，對應(yīng)正切值最大，OP與平面ABC所成的角最大，則為OP與平面ABC所成的最大角，根據(jù)題意：，設(shè)，則，，在Rt與Rt中，有，即，求得：，故O到平面ABC的距離為，故選：A.4．如圖，在四棱錐E－ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠ABC＝∠DAB＝90°，EC＝AD＝2，AB＝BC＝1，．（1）證明：AB⊥平面ADE；（2）求直線EB與平面EAC所成的角的正弦值．證明：∵∠ABC＝∠DAB＝90°，四邊形ABCD是直角梯形，AB＝BC＝1，∴，∠CAD＝45°，∴，∴，即CD⊥DE，∵平面CDE⊥平面ABCD，平面，