82.焦點三角形的內(nèi)切圓與應(yīng)用一．基本原理1.橢圓中，假設(shè)焦點的內(nèi)切圓半徑為，則.2.（★高頻考點）雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.證明：設(shè)內(nèi)切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標(biāo)為，所以點的橫坐標(biāo)為定值a.3.設(shè)焦點在軸的橢圓中，的內(nèi)切圓圓心為，且與相切于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為.則有如下性質(zhì):（1）.（2），其中為橢圓的離心率.（3）設(shè)直線的斜率分別為,則.（證明見下面例題1）4.注意到內(nèi)心是三角形角平分線的交點，我們也可以利用向量關(guān)系來刻畫內(nèi)心：（2）三角形三條角平分線的交點.內(nèi)心為（2）內(nèi)心性質(zhì).是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P點的軌跡一定通過的內(nèi)心證明：因為是向量的單位向量設(shè)與方向上的單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知一定過內(nèi)心.二．典例分析例1．已知，分別是橢圓：的左、右焦點，為第一象限內(nèi)橢圓上一點，的內(nèi)心為點，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)，，則，易知，故，則由橢圓的定義可得．設(shè)A，，分別為的內(nèi)切圓與邊，，的切點，則，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)知，，，因此，得，解得．在中，，解得，因此，故.故選：D．例2.（多選題）已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于、兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，圓的面積為，圓的面積為，則（

）A．的取值范圍是 B．直線與軸垂直C．若，則 D．的取值范圍是解析：對于A選項，在雙曲線中，，，，所以，、，若直線軸，此時與雙曲線的右支交于兩點，此時；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，由題意可得，解得或，因為，此時，綜上所述，的取值范圍是，A錯；對于B選項，設(shè)圓分別切、、于點、、，設(shè)點，由切線長定理可得，，，所以，，可得，即點，故點為雙曲線的右頂點，同理可知，圓切與點，且軸，軸，故軸，B對；對于C選項，連接、，則，即，因為，所以，，所以，，且，所以，，則，又因為，所以，，此時，、關(guān)于軸對稱，所以，為等腰直角三角形，則，故，即軸，此時，直線的方程為，聯(lián)立，可得，故，C對；對于D選項，，所以，，故，則，則，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由C選項可知，，則，所以，，D對.故選：BCD.例3．（多選題）已知雙曲線的左右焦點分別為，左頂點為，點是的右支上一點，則（

）A．的最小值為8B．若直線與交于另一點，則的最小值為6C．為定值D．若為的內(nèi)心，則為定值解析：對A，得，所以，所以，當(dāng)為雙曲線右支與軸交點時，取等號，即的最小值為8，故A正確；對B，若直線經(jīng)過，當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，與雙曲線的兩個交點為，此時，故B錯誤；對C，因為，所以，，兩式相加得，，所以，故C正確；對D，設(shè)為的內(nèi)心，，，，，在雙曲線上，,為定值，D正確，故選：ACD．例4．（★考頻壓軸考題）已知分別為雙曲線的左右焦點，過且斜率為的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為．若，則_______.解析：如圖，記的內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在邊上的切點分別為，易知兩點橫坐標(biāo)相等，，由，即，得，即，記點的橫坐標(biāo)為，則，則，得．記的內(nèi)切圓圓心為，同理得內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸，設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，同理，在中，，所以，即，所以．故答案為：.例5．（上題遷移到橢圓中）已知橢圓：的左、右焦點分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點且交C于A，B兩點（點A在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率__________.解析：如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)的面積為，的面積為，因為，所以，即，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，由韋達(dá)定理得：，，又，即化簡可得，即，即時，有.故答案為：三．習(xí)題演練1．設(shè)，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【詳解】如下圖所示，設(shè)切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．2．已知雙曲線，的左右焦點記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【詳解】令雙曲線的半焦距為c，則，由對稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點分別為A，B，C，令點，如圖，由切線長定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A3．已知橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點且交于兩點（點在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（

）A． B．C． D．【詳解】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)△的面積為，的面積為，因為，所以，即①，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，所以②，③，聯(lián)立①②③得，，整理得，所以．故選：D

4．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過右焦點的直線交該雙曲線的右支于，兩點(點位于第一象限)，的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，且滿足，則直線的斜率為_________【詳解】設(shè)圓與的三邊的切點分別為，，，如圖令，，，根據(jù)雙曲線的定義可得可得，由此可知，在中，軸于，同理軸于，∴軸.過圓心作的垂線，垂足為.易知直線的傾斜角與大小相等.不妨設(shè)，，則，，所以根據(jù)勾股定理，，所以.故答案為：5．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過右焦點且傾斜角為直線l與該雙曲線交于M，N兩點（點M位于第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，則為_________.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓為圓，與三邊的切點分別為，如圖所示，設(shè)，，，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由此可知，在中，軸于點，同理可得軸于點，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因為，所以，∴，即，∴，即故答案為：.6．已知橢圓的左右焦點，分別是雙曲線的左右頂點，且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P是第一象限內(nèi)上的一點，、的延長線分別交于點、，設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，求的最大值．【詳解】（1）橢圓的左右焦點分別為，，而雙曲線的頂點分別為，，所以．又橢圓上頂點為，而雙曲線的一條漸近線為，則有，解得：．故，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，直線的方程為：，將其代入橢圓的方程可得，整理可得，則，得，，故．當(dāng)時，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，同理，可得，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，若軸時，易知，，，此時，綜上，的最大值為.7．如圖，橢圓的左右焦點分別為，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點，的延長線分別交橢圓C于點．(1)若軸，求的值；(2)若，求的面積及點P的坐標(biāo)；(3)求的最大值．【