桑植縣賀龍中學(xué)集體備課電子教案高一年級數(shù)學(xué)備課組（總第課時）主備人：劉毅時間：年月日課題1.2應(yīng)用舉例距離和高度問題第課時教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能(1)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離、高度的實際問題；(2)掌握解三角形應(yīng)用題的基本步驟和基本方法；(3)培養(yǎng)運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力．2．過程與方法(1)經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的過程，體會數(shù)學(xué)建模思想；(2)能夠從數(shù)學(xué)角度去思考問題，體驗解決問題方法策略的多樣性；(3)體驗合作學(xué)習(xí)的過程，能在小組合作探究中清楚地表述自己的觀點，善于傾聽和評估不同意見．3．情感、態(tài)度與價值觀(1)意識到數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的重要作用，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；(2)在探究合作過程中，增加探究意識與合作意識，增強(qiáng)與人交流的意識；(3)通過課外實習(xí)活動，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．教學(xué)重點1.實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；2．解斜三角形的方法．教學(xué)難點實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定．教學(xué)方法講練結(jié)合教學(xué)過程：步驟、內(nèi)容、教學(xué)活動【探究新知】基線的概念1.定義：在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線．2．性質(zhì)：在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高測量中的有關(guān)概念1.坡角坡面與水平面的夾角，如圖1－2－1所示，α為坡角．圖1－2－12．坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝eq\f(h,l)＝tanα，如圖1－2－1所示．3．仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角(如圖1－2－2所示)．圖1－2－24．鉛直平面：鉛直平面是指水平面垂直的平面．【例題講解】求兩點間可視但不可到達(dá)的距離問題圖1－2－3如圖1－2－3，在河岸邊有一點A，河對岸有一點B，要測量A，B兩點的距離，先在岸邊取基線AC，測得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B兩點間的距離．【思路探究】(1)AC的對角∠ABC是多少度？(2)能用正弦定理求出AB的長度嗎？【自主解答】在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°則B＝180°－(A＋C)＝60°，由正弦定理，得AB＝ACeq\f(sinC,sinB)＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6))．即A，B兩點間的距離為20(3eq\r(2)＋eq\r(6))m.如圖所示，設(shè)A(可到達(dá))，B(不可到達(dá))是地面上兩點，要測量A，B兩點之間的距離，步驟是：(1)取基線AC(盡量長)，且使AB，AC不共線；(2)測量AC，∠BAC，∠BCA；(3)用正弦定理解△ABC，得AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(ACsinC,sin180°－A－C).圖1－2－4如圖1－2－4，為了開鑿隧道，要測量隧道上D，E間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點C，測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，又測得A，B兩點到隧道口的距離AD＝80m，BE＝40m(A，D，E，B在一條直線上)，計算隧道DE的長．(精確到1m)【解】在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝.∴AB＝200eq\r(7)(m)．∴DE＝AB－AD－BE＝200eq\r(7)－120≈409(m)．∴隧道DE的長約為409m.求不可到達(dá)兩點之間的距離問題圖1－2－5在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3)a,2)的軍事基地C和D測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖1－2－5所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離．【思路探究】本題的未知量可以看成測量兩點不可到達(dá)的距離的量，因此可以解三次三角形．法一：分別由解△ADC和△BDC得AD和BD，再解△ABD得AB；也可采用法二：分別由解△ADC和△BDC得AC和BC，再解△ABC得AB.【自主解答】法一∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°.∵eq\f(DB,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，∴DB＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a.在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋(eq\f(3＋\r(3),4)a)2－2×eq\f(\r(3),2)a·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)a，∴藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離為eq\f(\r(6),4)a.法二同法一，得AD＝DC＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∴eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(6),4)a·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)a，∴藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離為eq\f(\r(6),4)a.如圖所示，不可到達(dá)的A，B是地面上兩點，要測量A，B兩點之間的距離，步驟是：(1)取基線CD；(2)測量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；(3)在△ACD中，解三角形得AC，在△BCD中，解三角形得BC；(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB).圖1－2－6本例若改為下面的敘述，試解答之．如圖1－2－6，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距eq\r(3)km的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．【解】在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝eq\r(3).在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，則在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(eq\r(3))2＋(eq\f(\r(6)＋\r(2),2))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5).故兩目標(biāo)A，B之間的距離為eq\r(5)km.求底部不可到達(dá)的物體的高度問題圖1－2－7如圖1－2－7，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D，測得CD＝200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.【思路探究】(1)由在C點和D點的仰角如何用塔高表示出線段BC、BD的長度？(2)在△BCD中，已知CD、∠CBD，又用塔高表示了BC、BD，如何建立關(guān)于塔高的方程？(3)怎樣求得塔高AB?【自主解答】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若設(shè)AB＝h，則BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)．即塔高AB＝200米．1．解答本題的關(guān)鍵是用仰角與塔高分別表示BC、BD的長度．在△BCD中用余弦定理建立了關(guān)于塔高的方程，進(jìn)而求得塔高．2．測量高度時需要注意的問題：①在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角．如圖所示：②要根據(jù)題意正確畫出圖形，同時空間圖形和平面圖形要區(qū)分開，然后通過解三角形求解．甲、乙兩樓相距200m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是多少？【解】如圖所示，AD為乙樓高，BC為甲樓高．在△ABC中，BC＝200×tan60°＝200eq\r(3)，AC＝200÷sin30°＝400，由題意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，∴△ACD為等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×(－eq\f(1,2))＝3AD2，AD2＝eq\f(4002,3)，AD＝eq\f(400\r(3),3).答：甲樓高為200eq\r(3)m，乙樓高為eq\f(400\r(3),3)m.測量高度問題(12分)某人從塔AB的正東C處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米后到達(dá)D處，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高．【思路點撥】解答時可以先依據(jù)題意畫出圖形，著重思考何時仰角最大，要突破這一難點，可轉(zhuǎn)化為沿途觀測點何處距塔底B距離最?。疽?guī)范解答】根據(jù)題意畫出示意圖，且BE⊥CD.在△BDC中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.3分由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠DCB)，∴BD＝eq\f(40sin30°,sin135°)＝20eq\r(2).6分在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝DBsin15°＝20eq\r(2)·eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝10(eq\r(3)－1).9分在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝eq\f(10,3)(3－eq\r(3))(米)．故所求的塔高為eq\f(10,3)(3－eq\r(3))米.12分本題與立體幾何中的邊角有關(guān)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出空間圖形，確定最大仰角的位置是解題的難點，實際上，在AB一定時，仰角要最大，需B到測試點的距離最小，所以測試點是過B向CD作垂線的垂足位置．鞏固練習(xí)：1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°【解析】根據(jù)仰角和俯角的概念可知α＝β.【答案】B圖1－2－82．測量從一個可到達(dá)的點A到一個不可到達(dá)的點B之間的距離問題．(如圖1－2－8所示)時，選取了可到達(dá)的一點C作出△ABC，其中基線為()A．AB B．ACC．BC D．△ABC【解析】由基線的定義可知，AC為基線．【答案】B3．一樹的樹干被臺風(fēng)吹斷，折斷部分與殘存樹干成30°角，樹干底部與樹尖著地處相距5m，則樹干原來的高度為________．【解析】如圖，AB為殘存樹干，BC為折斷部分，在Rt△ABC中，已知AC＝5，∠ABC＝30°，∴AB＝5eq\r(3)，BC＝10.∴樹干原來的高度為AB＋BC＝(10＋5eq\r(3))m.【答案】(10＋5eq\r(3))m圖1－2－94．如圖1－2－9，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A，B兩點的距離．【解】∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝180°－45°－105°＝