1/32025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（全國通用）數(shù)學(xué)?全解全析第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，則（）。.A． B．C． D．【答案】C【分析】分別求出集合,再根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】由題意，得,所以.故選：C.2．在某次全市高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了6名同學(xué)的第一個(gè)解答題的得分情況如下：7，10，5，8，4，2，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和分位數(shù)分別為（）。A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出平均數(shù)和分位數(shù)即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由小到大排列這組數(shù)據(jù)：2，4，5，7，8，10，而，則30%分位數(shù)為4.故選：D3．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）。A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)模的定義求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再判斷其所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故D正確.故選：D.4．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：，且＝2，那么＝（）。A．2 B．10 C．11 D．56【答案】A【分析】令，可得，再利用求解即可.【詳解】中，令，即，所以，故選：A.5．已知，則（）。A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】由已知，結(jié)合輔助公式求出，再代入求解即可.【詳解】，故，可得，代入計(jì)算可得.故選：C.6．已知函數(shù)，若，則（）。A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性，再借助，然后通過數(shù)形結(jié)合，即可作出判斷.【詳解】求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)，，當(dāng)時(shí)，，可作出圖象：所以當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象可知，，所以恒有，故B正確，由于，，所以，故C錯(cuò)誤，故選：B.7．工匠們要用一球體雕刻出一正三棱臺(tái)，正三棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在該球體的球面上，且要求雕刻出的棱臺(tái)的側(cè)棱長為，上、下底面邊長分別為和，則所用球體的半徑為（）。A．7 B． C． D．【答案】D【分析】先利用直角三角形的邊角關(guān)系求得正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑分別為．設(shè)球心到正三棱臺(tái)上、下底面的距離分別為，球的半徑為，則．設(shè)正三棱臺(tái)的高為，得，然后根據(jù)，列出方程求解得到球的半徑．【詳解】如圖，設(shè)正三棱臺(tái)上、下底面所在圓面的半徑分別為，則，．設(shè)球心到正三棱臺(tái)上、下底面的距離分別為，球的半徑為，則．設(shè)正三棱臺(tái)的高為，由棱臺(tái)的側(cè)棱長為，得或，即或，解得．故選：D．8．已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）。A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再結(jié)合余弦定理得到，進(jìn)而得到，最后構(gòu)建齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)闉闄E圓的上頂點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，故，解得，設(shè)，，則，，由余弦定理有，即，解得，因?yàn)?，所以，化簡得，即，整理得，解得，故B正確.故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，則（）。A． B．C． D．【答案】BD【分析】先根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用正弦定理求出與的關(guān)系，進(jìn)而判斷與的關(guān)系，最后根據(jù)余弦定理求出與的關(guān)系，即可判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，是三角形?nèi)角，則.所以，已知，由正弦定理可得：，又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，且，那么?若，又，則，這與矛盾，所以，故選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤.由余弦定理可得：，即，即，得，則或.因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤.故選：BD.10．已知雙曲線的漸近線與圓相切，，為的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的左支上，則（

）。A． B．為直角三角形C．周長的最小值為 D．的最小值為2【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程及直線與圓相切求出即可判斷A；根據(jù)雙曲線的關(guān)系求出，可得，進(jìn)而結(jié)合勾股定理判斷B；結(jié)合雙曲線的定義可得周長為，結(jié)合三角形的幾何性質(zhì)求解判斷C；設(shè)，，，進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)求解判斷D.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，由圓，圓心為，半徑為，因?yàn)闈u近線與圓相切，所以，解得，故A錯(cuò)誤；而，則，即，所以，則，則，即，所以為直角三角形，故B正確；周長為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，則周長的最小值為，故C正確；設(shè)，，，則，即，所以，則時(shí)，取得最小值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為弧度）后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（）。A．，函數(shù)都為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B．若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則C．若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D．當(dāng)或時(shí)，函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”【答案】BCD【分析】對(duì)A，舉例說明即可；對(duì)BCD，設(shè)將旋轉(zhuǎn)后得出方程，則只需與原函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)即可，然后逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】對(duì)A：當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)與軸重合，此時(shí)個(gè)對(duì)應(yīng)多個(gè)值，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：將旋轉(zhuǎn)后所得直線為，則只需與原函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)；令，，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，故B正確；對(duì)C：令，當(dāng)在定義域內(nèi)僅有唯一解時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)解，故滿足題意；當(dāng)時(shí)，的判別式，對(duì)任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意；故，故C正確；對(duì)D：若是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，當(dāng)僅有唯一解時(shí)，即，令，，令，則當(dāng)時(shí)，方程為，得，僅有唯一解，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闀r(shí)，，，所以可得先減后增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極大值也是最大值，即，則；綜上得存在時(shí)，是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（3）證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分．12．將編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球，則至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是.【答案】【分析】利用排列組合，先求出將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中的放法數(shù)，再求出至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的放法數(shù)，再利用古典概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，共有種放法，恰有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有種放法，4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的有1種放法，所以至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是，故答案為：13．若向量與不共線也不垂直，且，則.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求夾角即可.【詳解】由題意可得：，故：，即向量與的夾角為.故答案為：14．一條直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，則的值為．【答案】-2【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線方程，對(duì)照系數(shù)得到，聯(lián)立得到，故.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即；在點(diǎn)處的切線方程為：，即，由已知，由得，故，故，解得，所以，因此．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)已知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為.已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量得到方程組，計(jì)算出首項(xiàng)和公差，從而得到，，求出兩個(gè)通項(xiàng)公式；（2），利用錯(cuò)位相減法求和，得到答案.【詳解】（1）由題意知，解得或，當(dāng)時(shí)，，，故，；當(dāng)時(shí)，，，故，，所以或；（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，兩式相減得，故.16．（15分）為測(cè)試甲、乙兩個(gè)AI（人工智能）模型解決數(shù)學(xué)問題的能力，某同學(xué)準(zhǔn)備了5道數(shù)學(xué)題讓甲、乙同時(shí)進(jìn)行解答，每道題甲答對(duì)的概率均為，乙答對(duì)的概率均為，且每次解答是否正確相互獨(dú)立.(1)若已知前兩題中甲至少答對(duì)了1題，求前兩題甲都答對(duì)的概率；(2)設(shè)甲、乙均答對(duì)的題數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用條件概率公式列式計(jì)算.（2）求出每道題甲、乙均答對(duì)的概率，及的所有可能值，并求求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【詳解】（1）設(shè)事件“前兩題中甲至少答對(duì)了1題”為，事件“前兩題甲都答對(duì)”為，依題意，，，所以.則在前兩題中甲至少答對(duì)了1題的條件下，前兩題甲都答對(duì)的概率為.（2）依題意，每道題甲、乙均答對(duì)的概率為，的所有可能值為，，即，，1，2，3，4，5，，，，，，，所以的分布列為012345數(shù)學(xué)期望.17．（15分）已知四棱錐中，二面角為直二面角，，，M為棱上一點(diǎn).(1)證明：；(2)若M為中點(diǎn)，求二面角的正弦值；(3)若平面，點(diǎn)N在平面上，若直線與平面所成角為，求的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)和判斷證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)S作于點(diǎn)O，連接，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)注出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出相關(guān)平面的法向量，應(yīng)用向量法求二面角的余弦值，即可得；（3）根據(jù)已知易得M與O點(diǎn)重合，設(shè)，p，，根據(jù)已知線面角，應(yīng)用向量法列方程求得，進(jìn)而有，結(jié)合及模長的坐標(biāo)運(yùn)算求最值.【詳解】（1）由，得，二面角為直二面角，即平面平面，而平面平面，平面，故平面.因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，，故平面，又平面，?（2）過點(diǎn)S作于點(diǎn)O，連接，由，得.又，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以，即，故，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量的，則令，則，，故為平面的一個(gè)法向量，則，二面角的正弦值為.（3）若平面，平面，平面平面，則，由（2）知，故M與O點(diǎn)重合，因?yàn)镹在平面上，設(shè)，p，，，則，因?yàn)?，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，故為平面的一個(gè)法向量，故，整理得，又，故，由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最小值為.18．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在C上且在第一象限，，的面積為2.(1)求C的方程.(2)A，B是C上異于M的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MA與MB的斜率之積為1，證明：直線AB過定點(diǎn).(3)點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，分別過M，N作C的兩條切線，這兩條切線的交點(diǎn)G恰好在x軸上，，過S作C的切線，切點(diǎn)為R（異于點(diǎn)M），且與線段GN交于點(diǎn)T，求面積的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)8【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的面積列式求得的面積，根據(jù)焦半徑公式得，代入拋物線方程求得，即可得解；（2）設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，利用兩點(diǎn)式斜率公式結(jié)合列式化簡得，即可求解直線AB過定點(diǎn)；（3）利用判別式法求出直線GM的方程為，直線，且，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立韋達(dá)定理求得，即可得直線，與直線聯(lián)立求得，從而利用兩點(diǎn)距離公式求得，利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到直線的距離為，進(jìn)而求得，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最值即可.【詳解】（1）設(shè)，則的面積為，所以，根據(jù)拋物線的定義，得，所以，所以，解得，即C的方程為.（2）由（1）知，設(shè)，，直線AB的方程為，則且，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，同理，又因?yàn)椋?，整理得，所以，即，所以，即直線AB過定點(diǎn)；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)直線GM的方程為，由可得，則，解得，所以直線GM的方程為，且，同理可得直線，設(shè)，因?yàn)?，所以即，由得，設(shè)直線，由可得，由，可得或，當(dāng)時(shí)，直線，與直線GM的方程一樣，舍去，故，所以直線，即，與直線聯(lián)立求得，點(diǎn)到直線的距離為，又，所以的面積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取到最大值為8.19．（17分）(1)證明：在上恒成立.(2)若，證明：函數(shù)在上恰有1個(gè)零點(diǎn).(3)試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，從而可證不等式；（2）利用導(dǎo)數(shù)可證的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（3）利用指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化可將原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，后者可利用導(dǎo)數(shù)得其在上的單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）證明：令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立.（2）證明：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.由（1