第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第一頁(yè)，共38頁(yè)。（優(yōu)選）第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第二頁(yè)，共38頁(yè)。第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念與性質(zhì)1.曲線型物件的質(zhì)量:設(shè)曲線型物件是非均勻的,它的線密度是變量,且曲線型物件所占的位置在xoy面內(nèi)的一段曲線弧L上,它的端點(diǎn)為A,B,在L上任意一點(diǎn)(x,y)處,線密度為ρ(x,y),現(xiàn)在要計(jì)算這物件的質(zhì)量M.第三頁(yè)，共38頁(yè)。分割----近似代替----求和----取極限

無(wú)窮細(xì)時(shí),以均勻代替非均勻.我們分四個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行:計(jì)算思路:若構(gòu)件的線密度為常量,則構(gòu)件的質(zhì)量為M=ρL,故當(dāng)分割第四頁(yè)，共38頁(yè)。L分割為n個(gè)小段,取其中一小段Mi-1Mi來(lái)分析;(ξi,ηi)處的線密度ρ(ξi,ηi)代替小段的線密度,故得小段計(jì)算步驟:AB(ξiηi)xyo(1)分割:用L上的點(diǎn)M1,M2,…,Mn-1將(2)近似替代:當(dāng)分割無(wú)窮細(xì)時(shí),用Mi-1Mi小段上任意一點(diǎn)的質(zhì)量近似值為:第五頁(yè)，共38頁(yè)。(3)求和:整個(gè)構(gòu)件質(zhì)量近似值為(4)取極限:第六頁(yè)，共38頁(yè)。為第一型曲線積分.記為設(shè)f(x,y)定義(即函數(shù)有界,或函數(shù)連續(xù))在平面光滑曲線L上，2.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義A,B為L(zhǎng)的端點(diǎn),把L任意分成n段小弧.每一小段的長(zhǎng)度為△Si,在該小段內(nèi)取一點(diǎn)(ξi,ηi)(i=1,2..n),作乘積f(ξi,ηi)△Si，并作和式Σf(ξi,ηi)△Si.當(dāng)λ→0時(shí),這和式的極限存在,則稱該極限值為函數(shù)f(x,y)沿曲線L對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,并稱第七頁(yè)，共38頁(yè)。3.推廣:若積分弧段為空間曲線弧Γ,則函數(shù)f(x,y,z)在曲線弧被積函數(shù)積分曲線注意:以后總假定被積函數(shù)f(x,y)在積分曲線L上是連續(xù)的.Γ上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為第八頁(yè)，共38頁(yè)。4.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1線性性質(zhì)其中k1,k2為常數(shù).性質(zhì)2對(duì)積分弧段C具有可加性若曲線C分段光滑,且C=C1+C2,則第九頁(yè)，共38頁(yè)。因?yàn)?定義中的ds對(duì)應(yīng)于△Si,是每個(gè)小弧段的長(zhǎng)度,與弧段的性質(zhì)3對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與曲線的方向無(wú)關(guān)定向無(wú)關(guān).注意這一性質(zhì)和定積分不同.第十頁(yè)，共38頁(yè)。注意:若L為封閉曲線,則可記曲線積分為性質(zhì)4設(shè)在L上f(x,y)≤g(x,y),則性質(zhì)5對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分有特別地第十一頁(yè)，共38頁(yè)。oxyzM(x,y)f(x,y)C以xoy平面上的曲線C為底,變高為f(x,y)的平行于z軸的柱面對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何說(shuō)明:的側(cè)面面積S第十二頁(yè)，共38頁(yè)。二對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算公式定理設(shè)f(x,y)在曲線L上有定義且連續(xù)，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且oyxAMBLL的參數(shù)方程為則曲線積分存在,且第十三頁(yè)，共38頁(yè)。它們對(duì)應(yīng)一列單調(diào)增加的參數(shù)值α=t0<t1<....<tn-1<tn=β.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是找出曲線方程的參數(shù)方程,把參數(shù)方程代入被積函數(shù)(一代)把弧微分化為定積分(二化)進(jìn)行計(jì)算.注意：上限β要求大于下限α.證明:

假定當(dāng)參數(shù)t由α變到β時(shí),L上的點(diǎn)M(x,y)由A點(diǎn)變到B點(diǎn)的方向描出曲線L.在L上取一系列點(diǎn)A=M0,M1,M2,...Mn=B根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義,有第十四頁(yè)，共38頁(yè)。設(shè)點(diǎn)(ξi,ηi)對(duì)應(yīng)于參數(shù)值τi

，這里ti-1≤τi≤ti

，由于應(yīng)用積分中值定理,我們有于是第十五頁(yè)，共38頁(yè)。因此上式左邊的曲線積分也存在,并有由于這函數(shù)在這區(qū)域上連續(xù),所以這定積分存在,上式右端的和的極限,就是函數(shù)在區(qū)域[α,β]上的定積分,

公式(1)表示,計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分然后從α到β作定積分.把x,y,ds依次換成φ(t),ψ(t),時(shí),只要第十六頁(yè)，共38頁(yè)。如果曲線L的方程為y=ψ(x),此時(shí)只要把x看成參數(shù)t,同理,如果L的方程為方程(1)變?yōu)檫@樣方程(1)變?yōu)榈谑唔?yè)，共38頁(yè)。公式(1)可推廣到空間曲線Γ,設(shè)Γ的參數(shù)方程為則第十八頁(yè)，共38頁(yè)。(3)把ds寫成參變量的微分式,并把曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)中進(jìn)行計(jì)算計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是化為參變量的定積分進(jìn)行計(jì)算.其解題程序?yàn)椋?/p>

(1)畫出積分路徑的圖形;(2)把路徑L的參數(shù)式寫出來(lái):x=φ(t),y=ψ(t),α≤t≤β第十九頁(yè)，共38頁(yè)。曲線化為參數(shù)方程.注意:(1)該積分是通過(guò)曲線參數(shù)方程化為定積分計(jì)算的,因此參數(shù)的選擇很重要.一般我們利用三角公式或投影公式把1）如果L是平面曲線：若積分路徑為y=0,則f(x,y)→f(x,0),ds=dx.若積分路徑為x=0,則f(x,y)→f(0,y),ds=dy.若積分路徑為y=kx,則f(x,y)→f(x,kx),第二十頁(yè)，共38頁(yè)。曲線的參數(shù)方程,(投影曲線是從兩個(gè)空間曲面方程中消去z,2）如果L是空間曲線(兩個(gè)曲面的交線)，我們用L的投影得到只有x,y的方程,即是投影方程,再根據(jù)具體情況得到參數(shù)方程)把它代入空間曲線方程中得到z的參數(shù)表達(dá)式.第二十一頁(yè)，共38頁(yè)。(2)在計(jì)算式中,我們發(fā)現(xiàn)積分路徑L的表達(dá)式可直接代入積分式中,其原因是積分路徑是以等式的形式出現(xiàn),而二重積分是以不等式的形式出現(xiàn).(3)參數(shù)大的作為上限β,小的為下限α.第二十二頁(yè)，共38頁(yè)。1)參數(shù)式（4）曲線積分式變成定積分共有三種形式:

第二十三頁(yè)，共38頁(yè)。2)直角坐標(biāo)3)極坐標(biāo)第二十四頁(yè)，共38頁(yè)。例1計(jì)算xyao

(3)把弧微分ds變成參變量的微分式分析:(1)畫出積分路徑的圖形,見右圖.(2)寫出積分路徑的參數(shù)方程.本題是直接給出.第二十五頁(yè)，共38頁(yè)。利用公式(3)注意計(jì)算時(shí)把參數(shù)方程代入被積函數(shù)中.得：第二十六頁(yè)，共38頁(yè)。例2計(jì)算解:本題的參數(shù)方程我們選用y為參數(shù),這樣選擇計(jì)算公式(5)oxyy2=4xA(1,2)12其中積分路線C是拋物線y2=4x上自(0,0)到點(diǎn)(1,2)的一段弧.第二十七頁(yè)，共38頁(yè)。例3計(jì)算解:由于圖形對(duì)稱,我們只計(jì)算第一象限的在第一象限中,星形線的參數(shù)方程為于是aaxy-a-a其中C為星形線:第二十八頁(yè)，共38頁(yè)。利用公式直接得到:第二十九頁(yè)，共38頁(yè)。例4求曲線積分L是由x軸、y軸及x+y=1所圍成區(qū)域的邊界曲線.解：該曲線是由三段光滑線段組成，由性質(zhì)2可知011x+y=1xyABOA段：y=0，選x為參數(shù)，被積函數(shù)(x+y)=x，第三十頁(yè)，共38頁(yè)。AB段：y=1-x，選x為參數(shù)，被積函數(shù)(x+y)=1，BO段：x=0，選y為參數(shù)，被積函數(shù)(x+y)=y，第三十一頁(yè)，共38頁(yè)。例5計(jì)算(2)再把它代入上半球面的方程x2+y2+z2=4a2,得z=2asint/2.其中L是上半球面x2+y2+z2=4a2

，z≥0與柱面x2+y2=2ax的交線.分析:曲線是兩個(gè)曲面的交線,它的投影曲線為x2+y2=2ax.現(xiàn)在我們把曲線L變成參數(shù)方程:(1)把投影曲線變形為x2+y2=2ax→(x-a)2+y2=a2，此為圓方程,參數(shù)方程為x=a(1+cost)，y=asint第三十二頁(yè)，共38頁(yè)。(3)于是參數(shù)方程為所以：第三十三頁(yè)，共38頁(yè)。第三十四頁(yè)，共38頁(yè)。對(duì)稱,則其中L1為L(zhǎng)的右半平面或上半平面部分.在例3中我們使用對(duì)稱性,可以簡(jiǎn)化曲線積分的計(jì)算,現(xiàn)在我們把有關(guān)對(duì)稱的情況加以說(shuō)明:設(shè)被積函數(shù)f(x,y)在分段光滑的曲線L上連續(xù),若L關(guān)于原點(diǎn)若L關(guān)于直線x=y對(duì)稱,則：第三十五頁(yè)，共38頁(yè)。A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)xy例6求L1