2025年誘導(dǎo)公式試題難題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。---一、選擇題（每題3分，共15分）1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為\((4,\frac{\pi}{3})\)，則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為：A.\((2,2\sqrt{3})\)B.\((-2,2\sqrt{3})\)C.\((2\sqrt{3},2)\)D.\((-2\sqrt{3},2)\)2.若\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且\(\alpha\)和\(\beta\)都是銳角，則\(\cos(\alpha+\beta)\)的值是：A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)3.函數(shù)\(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})\cos(x-\frac{\pi}{4})\)的最小正周期是：A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)4.在極坐標(biāo)系中，曲線\(r=2\cos(\theta)\)和\(r=2\sin(\theta)\)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：A.1B.2C.3D.45.若\(\tan(\alpha)=2\)，\(\tan(\beta)=\frac{1}{3}\)，則\(\tan(2\alpha-\beta)\)的值是：A.1B.-1C.2D.-2---二、填空題（每題4分，共20分）1.若\(\sin(\alpha)=\frac{3}{5}\)，\(\cos(\beta)=\frac{12}{13}\)，且\(\alpha\)在第二象限，\(\beta\)在第一象限，則\(\cos(\alpha-\beta)\)的值是________。2.若\(\sin(3\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\sin(\theta)\)的一個(gè)可能值是________。3.函數(shù)\(g(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\)的圖像關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{4}\)對(duì)稱，則\(g(x)\)的一個(gè)周期是________。4.在極坐標(biāo)系中，曲線\(r=\frac{4}{1-2\cos(\theta)}\)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是________。5.若\(\tan(\alpha)=3\)，則\(\frac{\sin(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}\)的值是________。---三、解答題（共65分）1.（10分）已知\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}\)，\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)和\(\beta\)都是銳角，求\(\sin(2\alpha)\)的值。2.（10分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為\((5,\frac{\pi}{6})\)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)為\((4,\frac{\pi}{3})\)。求點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離。3.（10分）函數(shù)\(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})\cos(x-\frac{\pi}{3})\)。求：(1)函數(shù)的最小正周期；(2)函數(shù)在區(qū)間\([0,2\pi]\)上的最大值和最小值。4.（10分）在極坐標(biāo)系中，曲線\(r=2\cos(\theta)\)和直線\(r\sin(\theta)=1\)相交，求交點(diǎn)的極坐標(biāo)。5.（10分）若\(\tan(\alpha)=\frac{1}{2}\)，\(\tan(\beta)=\frac{1}{3}\)，求\(\cos(2\alpha+2\beta)\)的值。6.（15分）已知函數(shù)\(g(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)+2\sin(x)\cos(x)\)。(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的最大值和最小值；(3)求函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{4},0)\)對(duì)稱的另一個(gè)對(duì)稱中心。---答案與解析選擇題1.D解析：點(diǎn)P的極坐標(biāo)為\((4,\frac{\pi}{3})\)，則直角坐標(biāo)為\((4\cos(\frac{\pi}{3}),4\sin(\frac{\pi}{3}))=(2,2\sqrt{3})\)。2.B解析：\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，利用和差角公式：\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\]\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\]解得\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。3.A解析：\(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}(\sin(2x))\)，最小正周期為\(\pi\)。4.B解析：曲線\(r=2\cos(\theta)\)和\(r=2\sin(\theta)\)的交點(diǎn)滿足：\[2\cos(\theta)=2\sin(\theta)\implies\theta=\frac{\pi}{4}\]代入得交點(diǎn)為\((\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\)，另一個(gè)交點(diǎn)為\((-\sqrt{2},\frac{5\pi}{4})\)。5.A解析：\(\tan(2\alpha-\beta)=\frac{\tan(2\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(2\alpha)\tan(\beta)}\)，其中\(zhòng)(\tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}=\frac{4}{3}\)，代入得\(\tan(2\alpha-\beta)=1\)。填空題1.\(\frac{33}{65}\)解析：\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{33}{65}\)。2.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)或\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)解析：\(\sin(3\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\implies3\theta=\frac{\pi}{3}+2k\pi\)或\(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\)，解得\(\theta=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\)或\(\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}\)，\(\sin(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)或\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。3.\(\pi\)解析：\(g(x)=\cos(2x)\)，周期為\(\pi\)。4.2解析：曲線為圓錐曲線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為\(2\)。5.3解析：\(\frac{\sin(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}=\frac{2\tan(\alpha)}{2\sin^2(\alpha)}=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}=3\)。解答題1.解：\[\sin(2\alpha)=\sin((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta))=\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\]已知\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}\)，\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}\)，代入得：\[\sin(2\alpha)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}+\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\]由于\(\cos(\alpha+\beta)=\pm\frac{4}{5}\)，\(\sin(\alpha-\beta)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)，最終解得\(\sin(2\alpha)=\frac{3}{10}+\frac{4\sqrt{3}}{10}=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}\)。2.解：點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為\((5\cos(\frac{\pi}{6}),5\sin(\frac{\pi}{6}))=(\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2})\)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為\((4\cos(\frac{\pi}{3}),4\sin(\frac{\pi}{3}))=(2,2\sqrt{3})\)，距離為：\[\sqrt{(\frac{5\sqrt{3}}{2}-2)^2+(\frac{5}{2}-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\frac{5\sqrt{3}-4}{2})^2+(\frac{5-4\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{(\frac{5\sqrt{3}-4}{2})^2+(\frac{5-4\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{7}\]3.解：(1)\(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})\cos(x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}(\sin(2x))\)，最小正周期為\(\pi\)。(2)在區(qū)間\([0,2\pi]\)上，\(\sin(2x)\)的最大值為1，最小值為-1，故\(f(x)\)的最大值為\(\frac{1}{2}\)，最小值為-\(\frac{1}{2}\)。4.解：直線方程為\(r=\frac{1}{\sin(\theta)}\)，代入曲線方程得：\[\frac{1}{\sin(\theta)}=2\cos(\theta)\implies\sin(\theta)=2\cos(\theta)\sin(\theta)\implies\sin(\theta)(1-2\cos(\theta))=0\]解得\(\theta=0\)或\(\theta=\frac{\pi}{3}\)，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為\((1,0)\)和\((1,\frac{\pi}{3})\)。5.解：\(\tan(2\alpha+2\beta)=\frac{\tan(2\alpha)+\tan(2\beta)}{1-\tan(2\alpha)\tan(2\beta)}\)，其中\(zhòng)(\tan(2\alpha)=\frac{4}{3}\)，\(\tan(2\beta)=\frac{3}{4}\)，代入得：\[\tan(2\alpha+2\beta)=\frac{\frac{4}{3}+\frac{3}{4}}{1-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{12}}{0}\implies\text{不存在}\]由于計(jì)算錯(cuò)誤，重新計(jì)算：