第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年7月上海交大附中夏令營數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共11小題，每小題5分，共55分。1.已知2x+y?7z=0，x?2y+4z=0(xyz≠0)，則2x+y+zx?2y+z=______．2.若|a?3?2|+b?3+3.若關(guān)于x，y的方程組x+ay+1=0bx?2y+1=0有無數(shù)組解，則(ab)4.如圖，通過畫邊長為1的正方形，就能準(zhǔn)確地把2表示在數(shù)軸上點(diǎn)A1處，記A1右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為B1.以點(diǎn)B1為圓心，A1B1為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)A2，記A2右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為B2；以點(diǎn)5.下列命題：①相等的角是對頂角；②算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有兩個(gè)，分別是0和1；③已知關(guān)于x、y的二元一次方程組x+y=1?ax?y=3a+5，不論a取什么有理數(shù)，2x+y的值始終不變；④已知正實(shí)數(shù)x的平方根是a+b和a+c，若(a+b)2x+(a+c)2x=4050，則x=45；⑤若不等式|a?1|+|a?4|≥m對一切實(shí)數(shù)a都成立，則m6.一個(gè)正整數(shù)x能寫成x=a2?b2(a,b均為正整數(shù))，則稱x為“美滿數(shù)”，a，b為x的一個(gè)美滿分解，并規(guī)定：F(x)=ab.7.已知關(guān)于x的多項(xiàng)式mx?m?1(m>0)，當(dāng)1<x≤3時(shí)，該多項(xiàng)式有2個(gè)整數(shù)值，則m的取值范圍是______．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與正方形AOBC交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A(1,3)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______．9.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=?33x+3與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∠BAO=30°，點(diǎn)D是直線l上一動點(diǎn)，將點(diǎn)D向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)E，點(diǎn)C(?1,0)10.已知拋物線y=ax2?x?1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，如果△ABC為直角三角形，則a=______．11.如圖，已知直線l與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=?82x(x<0)的圖象交于C、D兩點(diǎn).若C、D兩點(diǎn)為線段AB的三等分點(diǎn)，連接OC、OD二、解答題：本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。12.(本小題15分)

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了《圖形的相似》之后；對三角形的相似問題進(jìn)行深入探究．

(1)【感知問題】如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與A，B重合)，∠A=∠B=∠DPC=90°.易證：△DAP∽△PBC.(不需要證明)

(2)【探究問題】如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，∠A=∠B=∠DPC.求證：△DAP∽△PBC．

(3)【知識應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，AC=BC=6，AB=7.點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，連接CP，作∠CPE=∠A，PE與邊BC交于點(diǎn)E．

(i)當(dāng)CE=2EB時(shí)，求AP的長；

(ii)當(dāng)△CPE是等腰三角形時(shí)，求AP的長．

13.(本小題15分)

如圖，直線y=12x+b與x軸，y軸及直線y=?32x+5分別交于點(diǎn)A(?2,0)，B，C．

(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)M為x軸上點(diǎn)A右側(cè)一動點(diǎn)，以AB，AM為鄰邊作?ABNM，連接CM，CN．

①求CM+CN的最小值；

②在點(diǎn)M移動過程中，∠CMN14.(本小題15分)

在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在CD上．

(1)如圖1，求證：CE=CD；

(2)連接AF，作∠BCD的平分線交AF于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)M．

①如圖2，判斷點(diǎn)P是否為線段AF的中點(diǎn)，并說明理由；

②如圖3，連接PB交AE于點(diǎn)N，若DF=CF=1，求PN的長．

答案解析1.【答案】?8【解析】解：由x?2y+4z=0得x=2y?4z，

則2x+y?7z=4y?8z?7z=0中化簡得：y=3z，代入x=2y?4z中得：x=2z，

所以2x+y+zx?2y+z=2×2z+3z+z2z?2×3z+z=?83，

故答案為：?83．

2.【答案】10

【解析】解：因?yàn)閨a?3?2|+b?3+2=0，

則a?3?2=0b?3+2=0，解得a=3+3.【答案】2

【解析】解：因?yàn)閤+ay+1=0bx?2y+1=0有無數(shù)組解，

則直線重合，所以a=?2，b=1，

則(ab)2=(?2×1)2=2．

故答案為：4.【答案】2?【解析】解：畫邊長為1的正方形，能準(zhǔn)確地把2表示在數(shù)軸上點(diǎn)A1處，

記A1右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為B1，以點(diǎn)B1為圓心，A1B1為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)A2，

記A2右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為B2；以點(diǎn)B2為圓心，A2B2為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)A3，…，

如此繼續(xù)，如圖，

數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)x0記為P：x0，

則A1：2，B1：2，A1B1=2?2，

A2：4?2,B2：3,A2B2=2?1，

A3：2+2,B3：4,A35.【答案】②③④

【解析】解：對于①：對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角，故①是假命題；

對于②：算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有兩個(gè)，分別是0和1，故②是真命題．

對于③：解方程組x+y=1?ax?y=3a+5，得x=3+ay=?2?2a，則2x+y=2(3+a)+(?2?2a)=6+2a?2?2a=4，故③是真命題．

對于④：∵正實(shí)數(shù)x的平方根是a+b和a+c，

∴a+b+a+c=0，即2a+b+c=0，且(a+b)2=x，(a+c)2=x，

∵(a+b)2x+(a+c)2x=4050，

∴x2+x2=4050，即x2=2025，

∵正實(shí)數(shù)x，則x=45，故④是真命題．

對于⑤：設(shè)y=|a?1|+|a?4|，

當(dāng)a<1時(shí)，y=1?a+4?a=5?2a>3；

當(dāng)1≤a≤4時(shí)，y=a?1+4?a=3；

當(dāng)a>1時(shí)，y=a?1+a?4=2a?5>3．

6.【答案】74【解析】解：由題意設(shè)這個(gè)兩位正整數(shù)的十位數(shù)字為m，個(gè)位數(shù)字為n(m>n)，

則原數(shù)為10m+n，交換后的新數(shù)為10n+m，

因?yàn)樾聰?shù)和原數(shù)是4752的一個(gè)美滿分解，

所以4752=(10m+n)2?(10n+m)2，

即4752=[(10m+n)+(10n+m)][(10m+n)?(10n+m)]，

即4752=11×(m+n)×9(m?n)，

所以(m+n)(m?n)=48，

由題知m+n>m?n，且m+n，m?n為正整數(shù)，

當(dāng)m+n=6，m?n=8時(shí)，不滿足題意，

故F(4752)=8448=74，

當(dāng)m+n=12，m?n=4時(shí)，解得m=8，n=4，

此時(shí)原數(shù)為84，新數(shù)為48，則4752=842?482，

滿足題意，故a=84，b=48，

當(dāng)m+n=24，m?n=2時(shí)，解得m=13，n=11，

不滿足題意；

當(dāng)m+n=48，m?n=1時(shí)，解得m=492,n=472，

不滿足題意．

故答案為：77.【答案】{m|1≤m<3【解析】解：令y=mx?m?1(m>0)，則y隨著x的增大而增大，

當(dāng)x=1時(shí)，y=?1，當(dāng)x=3時(shí)，y=2m?1，

∵1<x≤3時(shí)，

∴?1<y≤2m?1，

由于多項(xiàng)式mx?m?1有2個(gè)整數(shù)值，

∴y有2個(gè)整數(shù)值0，1，

則2m?1≥12m?1<2，

解得：1≤m<32，

故答案為：{m|1≤m<32}.

令y=mx?m?1(m>0)，根據(jù)1<x≤3求得8.【答案】(0,5)

【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，過B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

則∠AFO=∠OEB=90°，

所以∠AOF+∠OAF=90°，

因?yàn)锳(1,3)，所以O(shè)F=1，AF=3，

四邊形AOBC是正方形，

所以∠AOB=90°，∠AOF+∠BOE=90°，OA=OB，

所以∠OAF=∠BOE，

在△AOF和△OBE中，∠AFO=∠OEB，∠OAF=∠BOE，OA=OB，

所以△AOF≌△OBE，

所以O(shè)F=BE=1，AF=OE=3，所以B(3,?1)，

設(shè)直線l的方程為y=kx+b，將A(1,3)，B(3,?1)代入得：

k+b=3，3k+b=?1，即k=?2，b=5，

則直線l的方程為y=?2x+5，

令x=0，則y=5，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,5)．

故答案為：(0,5)．

過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，過B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，∠AFO=∠OEB=90°，結(jié)合正方形的性質(zhì)可證明△AOF≌△OBE，得到OF=BE=1，AF=OE=3，進(jìn)而求出B(3,?1)，再求出直線l的解析式為y=?2x+5，即可求解．

本題考查待定系數(shù)法求直線方程，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．9.【答案】7【解析】解：取點(diǎn)F(1,0)，設(shè)F點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為M，

連接OM，交直線于D′，連接FM交AB于G，連接D′F，過點(diǎn)M作MS⊥x軸于S，連接FD，OD，

根據(jù)題意得DE/?/OA，且DE=OF=OC=1，

所以四邊形DEOF和四邊形DECO是平行四邊形，可得CE=OD，OE=DF，即CE+OE=OD+DF，

當(dāng)點(diǎn)D位于D′時(shí)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得D′F=D′M，

所以CE+OE=OD′+D′M，即OM=CE+OE，可得CE+OE的最小值為OM，

由題可知∠BAO=30°，由直線l：y=?33x+3，令y=0解得A(3,0)，

所以FA=2，∠GFA=60°，F(xiàn)G=12AF=1，可得FM=2FG=2，

所以FS=12FM=1,MS=3FS=3，結(jié)合OS=1+1=2，可得OM=22+(3)2=7，

綜上所述，CE+OE的最小值為7．

故答案為：7．

取點(diǎn)F(1,0)10.【答案】34【解析】解：拋物線y=ax2?x?1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，

由拋物線y=ax2?x?1的對稱性知，CA=CB，又△ABC為直角三角形，

則∠ACB=90°，設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，C(x0,y0)，則|x1?x2|=2|y0|，

由x111.【答案】6【解析】解：設(shè)點(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=?82x的圖象上，則(?y,?x)也滿足?x=?82?y，

即點(diǎn)(?y,?x)也在函數(shù)y=?82x的圖象上，所以函數(shù)y=?82x的圖象關(guān)于直線y=?x對稱，

設(shè)AB：y=kx+b，(k>0,b>0)，則A(0,b)，B(?bk,0)，

因?yàn)镃，D是線段AB的三等分點(diǎn)，所以C(?b3k,2b3)，D(?2b3k,b3)，

聯(lián)立y=?82x(x<0)與AB：y=kx+b，(k>0,b>0)，得kx+b=?82x，

即kx2+bx+82=0，12.【答案】證明見解析；

證明見解析；

(i)AP=3或AP=4；(ii)AP=137或AP=1【解析】(1)證明：因?yàn)椤螪PB=∠A+∠ADP，因此∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP，

又因?yàn)椤螦=∠DPC，因此∠ADP=∠CPB，又因?yàn)椤螦=∠B，

因此△DAP∽△PBC；

(2)證明：因?yàn)椤螦+∠ADP=∠DPB=∠DPC+∠CPB，∠A=∠DPC，

因此∠ADP=∠CPB，又因?yàn)椤螦=∠B，因此△DAP∽△PBC；

(3)(i)因?yàn)椤螦+∠ACP=∠CPB=∠CPE+∠EPB，∠A=∠CPE，

因此∠ACP=∠EPB，又AC=BC=6，因此∠A=∠B，因此△CAP∽△PBE；

因此ACAP=PBBE，因?yàn)镃E=2EB，因此EB=2，因此AP?PB=EB?AC=2×6=12，

又因?yàn)锳B=7，因此AP?(7?AP)=12，解得AP=3或AP=4；

(ii)當(dāng)CP=CE時(shí)，∠CPE=∠CEP，

又因?yàn)椤螩EP>∠B，∠CPE=∠A=∠B，因此CP=CE不成立；

當(dāng)CP=PE時(shí)，結(jié)合(i)可得△CAP?△PBC，因此PB=AC=6，

又AB=7，因此AP=AB?PB=7?6=1；

當(dāng)EC=EP時(shí)，∠CPE=∠ECP，

又因?yàn)椤螩PE=∠B，因此∠B=∠ECP，因此PC=PB，

又因?yàn)椤鰿AP∽△PBE，因此ACBP=APBE=PCEP，

又因?yàn)锳P=AB?BP=7?BP，EP=CE=BC?BE=6?BE，

因此6BP=7?BPBE=PB6?BE，設(shè)BP=x，BE=y，

則6x=7?xy=x6?y，解得x=367，即BP=367，

因此AP=AB?BP=7?367=13.【答案】點(diǎn)B(0,1)，C(2,2)；

①13；②能，M(【解析】接：(1)由直線y=12x+b過點(diǎn)A(?2,0)，得0=12×(?2)+b，解得b=1，

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，

由y=?32x+5y=12x+1，解得x=2y=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(2,2)．

(2)①由(1)得點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，即BC=AB，

由?ABNM，得MN//AC，MN=AB=BC，連接BM，則四邊形BMNC是平行四邊形，

于是BM=CN，令點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為B′，連接MB′，CB′，

因此CM+CN=CM+MB=CM+MB′≥CB′，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，M，B′三點(diǎn)共線時(shí)取等號，

而B′(0,?1)，過C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則CD=2，DB′=3，CB′=CD2+B′D2=13，

所以CM+CN的最小值為13．

②在點(diǎn)M移動過程中，∠CMN能等于45°，理由如下：

當(dāng)∠CMN=45°時(shí)，過C作CQ⊥CM交MN的延長線于點(diǎn)Q，過C作直線EF/?/x軸，

過M，Q作直線EF的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則△CMQ為等腰直角三角形，CM=CQ，

由∠ECM+∠EMC=90°，∠ECM+∠FCQ=90°，得∠EMC=∠FCQ，

則Rt△ECM≌Rt△FCQ，CF=EM=2，設(shè)M(m,0)，則FQ=CE=2?m，

則點(diǎn)Q(4,m)，由MN//AC，得直線MN方程為y=12x?12m，

因此m=12×4?12m14.【答案】證明見解析；

①點(diǎn)P為線段AF的中點(diǎn)，理由見解析，②5【解析】(1)證明：根據(jù)題意可知AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，

因?yàn)閷⒕€段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，

所以AE=EF，∠AEF=90°，

所以∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEF，

所以∠BAE=∠CEF，

所以△ABE≌△ECF，

所以AB=CE，

所