第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年四川省瀘州市江陽(yáng)區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=ex，則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為(

)A.x?y+1=0 B.x?y?1=0 C.y?1=0 D.x?1=02.已知(1?x)5=a0A.16 B.332 C.?16 D.3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且anA.2 B.32 C.1 D.14.已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是(

)A.B.

C.D.5.已知函數(shù)f(x)=x(x?c)2在x=2處有極小值，則實(shí)數(shù)c的值為(

)A.2 B.2或6 C.6 D.4或66.現(xiàn)將《論語》、《孟子》、《大學(xué)》、《中庸》、《詩(shī)經(jīng)》5本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人組，每人至少分得1本，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是(

)A.50 B.80 C.120 D.1507.月相是指天文學(xué)中對(duì)于地球上看到的月球被太陽(yáng)照亮部分的稱呼.1854年，愛爾蘭學(xué)者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為{an}，其將滿月等分成240份，ai(1≤i≤15且i∈N?)表示第i天月球被太陽(yáng)照亮部分所占滿月的份數(shù).例如，第1天月球被太陽(yáng)照亮部分占滿月的5240，即a1=5；第15天為滿月，即a15=240.已知{an}的第1項(xiàng)到第5項(xiàng)是公比為A.40 B.80 C.96 D.1128.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就在楊輝三角中，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……則此數(shù)列的前46項(xiàng)和為(

)A.4080 B.2060 C.2048 D.2037二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.甲、乙、丙等5人排成一列，下列說法正確的有(

)A.若甲和乙相鄰，共有48種排法 B.若甲不排第一個(gè)，共有96種排法

C.若甲與丙不相鄰，共有36種排法 D.若甲在乙的前面，共有60種排法10.下列說法正確的是(

)A.若a=5+26，b=5?26，則a，b的等比中項(xiàng)為±1

B.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q，Sn為其前n項(xiàng)的和，則“q=12”是“a3=32，S3=92”的充要條件

C.若等比數(shù)列{an11.定義：在區(qū)間I上，若函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)，且y=xf(x)是增函數(shù)，則稱y=f(x)在區(qū)間I上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得(

)A.f(x)=1x在(0,+∞)上是“弱減函數(shù)”

B.f(x)=xex在(1,2)上是“弱減函數(shù)”

C.若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱減函數(shù)”，則m≥e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%，學(xué)生自由選擇座位，先到者先選，甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的14,113.某容積為128π的一個(gè)圓柱形封閉鐵皮容器，為使制作一個(gè)此容器時(shí)消耗材料最少(材料厚度不計(jì)).該容器底面半徑應(yīng)設(shè)計(jì)為______．14.關(guān)于x的不等式xeax+bx?lnx≥1(a>0)恒成立，則b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(2x+13x)n展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比為34．

(1)求n的值；

(2)16.(本小題15分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=30，a5=10．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{17.(本小題15分)

設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①，有兩根x1，x2，則方程可變形為a(x?x1)(x?x2)=0，展開得ax2?a(x1+x2)+ax1x2=0②，比較①②可以得到x1+x2=?bax1x2=ca，這表明，任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.這就是我們熟知的一元二次方程的韋達(dá)定理．

設(shè)方程ax3+bx218.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=35，且滿足2anan+1+an+1=3an．

(1)求證：數(shù)列{1an?1}為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{1an}前n項(xiàng)和為Sn19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=?cosx，g(x)=x22?1,x∈[0,+∞)．

(1)判斷g(x)≥f(x)是否成立，并給出理由；

(2)①證明：當(dāng)0<m<n<π2時(shí)，sinm?sinnm?n>cosn；

答案解析1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(x)=ex，所以f′(x)=ex，

所以f(0)=1，f′(0)=1，

所以所求切線方程為y=x+1，即為x?y+1=0．

故選：A．2.【答案】C

【解析】解：設(shè)f(x)=(1?x)5，

則f(1)?f(?1)=2(a1+a3+a5)=?32，

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，S7?S4a4+a8=4.【答案】B

【解析】解：由導(dǎo)數(shù)的圖象可得，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的值在[?1,0]上的逐漸增大，

故函數(shù)f(x)在[?1,0]上增長(zhǎng)速度逐漸變大，故函數(shù)f(x)的圖象是下凹型的．

導(dǎo)函數(shù)f′(x)的值在[0,1]上的逐漸減小，

故函數(shù)f(x)在[0,1]上增長(zhǎng)速度逐漸變小，圖象是上凸型的，

故選B．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得出所選的選項(xiàng)．

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件，是中檔題，本題解題的關(guān)鍵是函數(shù)在這一點(diǎn)取得極值，則函數(shù)在這一點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)等于0，注意這個(gè)條件的應(yīng)用．

根據(jù)函數(shù)在x=2處有極小值，得到f′(2)=0，解出關(guān)于c的方程，再驗(yàn)證是否為極小值即可．【解答】

解：∵函數(shù)f(x)=x(x?c)2，

∴f′(x)=3x2?4cx+c2，

又f(x)=x(x?c)2在x=2處有極值，

∴f′(2)=12?8c+c2=0，

解得c=2或6，

又由函數(shù)在x=2處有極小值，故c=26.【答案】D

【解析】解：將《論語》、《孟子》、《大學(xué)》、《中庸》、《詩(shī)經(jīng)》5本不同的書籍分發(fā)給甲、乙、丙3人組，每人至少分得1本，

則將5本書分為1，1，3或1，2，2三組，

共有C51C41A22+C52C32A22=10+15=25組，

則分給甲乙丙3人，共有25A33=150種．

7.【答案】B

【解析】解：依題意，有a5=a1q4=5q4，a15=a5+10d=5q4+10d=240，

q=1時(shí)，d不是正整數(shù)；q=2時(shí)，d=16；

q≥3時(shí)，5q4≥405，d不是正整數(shù)．

所以q=2，d=16，8.【答案】D

【解析】解：楊輝三角的第n行的和為2n?1，(n=1,2,……)，

故前n行的和為Sn=1?2n1?2=2n?1，

每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，…，可看成以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

則Tn=n(n+1)2，

當(dāng)n=11時(shí)，T11=11×122=66，去除兩端的1可得66?21=45，9.【答案】ABD

【解析】解：甲、乙、丙等5人排成一列，

對(duì)于A：若甲和乙相鄰，利用捆綁法可得不同的排法有A22?A44=48種，故A正確；

對(duì)于B：5人全排列有A55=120種排法，又甲排第一個(gè)有A44=24種排法，則若甲不排第一個(gè)共有96種排法，故B正確；

對(duì)于C：現(xiàn)將除甲丙之外的三人進(jìn)行全排列有A33=6種排法，再將甲丙進(jìn)行插空，則不同的排法有6×A42=72種排法，故C錯(cuò)誤；10.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于A，若a=5+26，b=5?26，則a，b的等比中項(xiàng)為±(5+26)×(5?26)=±1，故A正確；

對(duì)于B，由a3=32，S3=92，可得a1q2=32，a1+a1q+a1q2=92，解得q=1或q=?12，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若等比數(shù)列{an}的公比為?1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得前n項(xiàng)和Sn=0，

則Sn，S2n?Sn11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查了由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及已知單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題，考查新定義問題，屬于中檔題．

利用“弱減函數(shù)”的概念逐項(xiàng)分析即得．【解答】

解：對(duì)于A，y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減，y=xf(x)=1不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，f(x)=xex,f′(x)=1?xex在(1,2)上f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

y=xf(x)=x2ex,y′=2x?x2ex=x(2?x)ex>0，

∴y=xf(x)在(1,2)單調(diào)遞增，故B正確；

對(duì)于C，若f(x)=lnxx在(m,+∞)單調(diào)遞減，由f′(x)=1?lnxx2=0，得x=e，

當(dāng)f′x<0，x>e，f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

∴m≥e，又∵y=xf(x)=lnx在(0,+∞)單調(diào)遞增，∴m≥e滿足，故C正確；

對(duì)于D，f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上單調(diào)遞減，

f′(x)=?sinx+2kx≤0在x∈(0,π2)上恒成立?2k≤(sinxx)min，

令?(x)=sinxx,?′(x)=xcosx?sinx12.【答案】13【解析】解：設(shè)事件B=“任選一名學(xué)生是藝術(shù)生”，A1=“所選學(xué)生來自甲班”，A2=“所選學(xué)生來自乙班”A3=“所選學(xué)生來自丙班”，

由題可知：P(A1)=14，P(A2)=14，P(A3)=12，P(B|13.【答案】4

【解析】解：如圖所示，

設(shè)圓柱的高為?，底面半徑為r．

∵128π=πr2??，

∴S=2πr2+2πr??=2πr2+2πr?128r2=2πr2+π256r，

所以S′=4πr?π256r2，

令S′=0，則當(dāng)r=32564=4，

當(dāng)0<r<4時(shí)，S′<0，S單調(diào)遞減；當(dāng)r>4時(shí)，S′>0，S單調(diào)遞增，

所以當(dāng)r=4時(shí)，14.【答案】?1

【解析】解：令f(x)=ex?x?1，則f′(x)=ex?1，

當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，

所以函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)≥f(0)=0，所以ex≥x+1，

由xeax+bx?lnx≥1得e(ax+lnx)≥?bx+lnx+1(a>0)，

而ax+lnx∈R，令ax+lnx+1≥?bx+lnx+1(a>0)，則a+b≥0，

所以ba≥?1，

若a+b<0，如圖作出函數(shù)y=?ax(a>0)，y=lnx的圖象，

由函數(shù)圖象可知，方程ax+lnx=0有唯一實(shí)數(shù)根x0∈(0,1)，即ax0+lnx0=0，

由xeax+bx?lnx≥1(a>0)，得eax+lnx+lnx≥?bx+lnx+1，

即eax+lnx?(ax+lnx)≥1?(a+b)x，

當(dāng)x=x0時(shí)，e0?0≥1?(a+b)x0，即(a+b)x0≥0，

又15.【答案】(1)依題意，(2x+13x)n展開式的通項(xiàng)公式Tk+1=2n?kCnkxn?4k3,k≤n,k∈N，顯然第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn2，第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)系數(shù)為Cn3，

因此Cn2Cn3=n(n?1)2×1n(n?1)(n?2)3×2×1=34，解得n=6，

所以n的值為6．

(2)【解析】(1)直接利用二項(xiàng)式的系數(shù)的關(guān)系，建立方程，進(jìn)一步求出結(jié)果；

(2)利用二項(xiàng)式的展開式求出展開式的有理項(xiàng)．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，有理項(xiàng)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.【答案】an=2n；

2201【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5=30，a5=10，

可得5a1+10d=30，即a1+2d=6，又a1+4d=10，

解得a1=d=2，

則an=2+2(n?1)=2n17.【答案】證明見解析；

(i)證明見解析；(ii)(?∞,14【解析】(1)證明：∵方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)有三個(gè)根x1，x2，x3，

∴方程ax3+bx2+cx+d=0，即為a(x?x1)(x?x2)(x?x3)=0，

即ax3?a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x?ax1x2x3=0，

∴b=?a(x1+x2+x3)c=a(x1x2+x2x3+x3x1)d=?ax1x2x3，∴x1+x2+x3=?bax1x2+x18.【答案】證明見解答；

Sn=n+1?(13【解析】(1)證明：由a1=35，且滿足2anan+1+an+1=3an，

可得an+1=3an2an+1，

即有1an+1?1=1+2an3an?1=1?an3an=13(1an?1)，

可得數(shù)列{1an?1}是首項(xiàng)為53?1=23，公比為13的等比數(shù)列；

(2)由(1)可得1an?1=2×(13)n，即1an=1+2×(13)n，

則S19.【答案】(1)解：g(x)≥f(x)成立，理由如下：

令?(x)=g(x