第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河南省安陽市滑縣部分學校高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)z=1?ii2025在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知α，β為兩個不同的平面，則α//β的必要不充分條件是(

)A.α，β平行于同一條直線 B.α，β平行于同一平面

C.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 D.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行3.在△ABC中，BD=13BC，AE=13A.49 B.23 C.434.如圖是一個古典概型的樣本空間Ω和隨機事件A，B，其中樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)n(Ω)=40，n(A)=20，n(B)=15，n(A∩B)=5，則P(A?B?A.14 B.13 C.125.在△ABC中，sinA=sinC?sinBcosB?cosC，則△ABC的形狀為(

)A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形6.已知甲、乙兩袋中均裝有若干個大小相同的紅球和白球，從甲袋中摸出一個紅球的概率是13，從乙袋中摸出一個紅球的概率是12，從兩袋中各摸出一個球，則2個球中恰有1個紅球的概率為(

)A.14 B.13 C.127.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為3，P，Q分別在B1C，C1D1上，且BA.5

B.352

C.8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，記BC邊上的高為?，若A為銳角，b=2asinB，則?aA.22 B.2+12 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數(shù)z=(1+i)(i?2)，則(

)A.復數(shù)z的虛部為?1 B.|z|=10

C.復數(shù)z的共軛復數(shù)為3?i 10.某中學高三學生有1000人，其中男生有600人，女生有400人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣方法抽取了容量為100的樣本，經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170cm，方差為28cm2；女生身高樣本均值為160cm，方差為18cm2A.男生身高的樣本容量為60 B.每個男生被抽入到樣本的可能性均為35

C.所有樣本的均值為166cm D.所有樣本的方差為11.如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，SO=OC=2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.圓錐SO的側(cè)面積為2π

B.三棱錐S?ABC體積的最大值為223

C.若AB=BC，E為線段AB上的動點，則SE+CE的最小值為22+3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.從裝有3個紅球和2個黑球的盒子中不放回地一次隨機抽取2個球(球除顏色外，其余完全相同)，則至少抽到1個黑球的概率為______．13.已知等邊△ABC的邊長為1，PC⊥平面ABC，且PC=1，則點C到平面PAB的距離為______．14.高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B，E，F(xiàn)為山的兩側(cè)共線的三點，且與山腳CD處于同一水平線上，在山頂A處測得B，E，F(xiàn)三點的俯角分別為30°，60°，45°，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現(xiàn)已測得BC，DE，EF三條線段的長度分別為4，2，3，則隧道CD的長度為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數(shù)z1=a+2i，z2=2?i，a∈R．

(1)當a=?1時，求z1?z?2的值；

(2)若z1+z16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA=45．

(1)若△ABC的面積為2，求AB?AC的值；

(2)設m=(sinB217.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AP⊥平面PCD，PA=PD=4,AB=13,∠ADC=90°．

(1)證明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)若E是棱PA的中點，且BE//平面PCD，求異面直線BE與18.(本小題17分)

某校在2025年高三二輪復習備考中，年級備課組命制了一套與數(shù)學新定義有關的專題訓練卷(滿分100分)，并對整個高三年級的學生進行了測試.現(xiàn)從全部高三年級學生的成績中隨機抽取了100名學生的成績，并將成績按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成了5組.制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學生的成績均不低于50分)．

(1)求頻率分布直方圖中的x的值：

(2)估計所抽取的100名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點值作代表)

(3)若按人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會，試求成績在[70,80)內(nèi)的至少有2人被抽到的概率．19.(本小題17分)

閱讀數(shù)學材料：“設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+∠Q3PQ4+…+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk?1PQk和平面QkPQ1為多面體答案解析1.【答案】C

【解析】解：復數(shù)z=1?ii2025=1?ii506×4?i=1?ii=(1?i)ii2=?1?i，

所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為2.【答案】C

【解析】解：對于A，若平面α，β平行于同一條直線，則平面α，β可以成[0,π2]的任意角，所以A選項錯誤；

對于B，易得“α，β平行于同一平面”是“α/?/β”的充要條件；

對于C，若α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，則平面α，β可能平行，也可能相交，

若α/?/β，則α內(nèi)一定有無數(shù)條直線與β平行，

所以“α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行”是“α/?/β”的必要不充分條件；

對于D，由面面平行的判定定理知，“α內(nèi)有兩條相交直線與β平行”是“α/?/β”的充分條件，

由面面平行的性質(zhì)知，若α/?/β，則α內(nèi)任意一條直線都與β平行，

所以α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，所以“α內(nèi)有兩條相交直線與β平行”是“α/?/β”的充要條件．

故選：C．

要判斷是否為α/?/β的必要不充分條件，就要依據(jù)的是α/?/β能推出該條件，但該條件不能推出α/?/β3.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，BD=13BC，AE=13AD，

根據(jù)向量的運算法則，可得EB=EA+AB=?13AD+AB=?13(AB+BD)+4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，若n(Ω)=40，n(A)=20，n(B)=15，n(A∩B)=5，

則n(A∪B)=n(A)+n(B)?n(A∩B)=30，

故n(A?B?)=n(Ω)?n(A∪B)=40?30=10，

則P(A?B?)=n(5.【答案】A

【解析】解：∵sinA=sinC?sinBcosB?cosC，A+B+C=π，

∴sinAcosB?sinAcosC=sin(A+B)?sin(A+C)，

∴sinAcosB?sinAcosC=sinAcosB+cosAsinB?sinAcosC?cosAsinC，

∴cosA(sinB?sinC)=0，∴cosA=0或sinB?sinC=0，

又由sinA=sinC?sinBcosB?cosC可知，sinC?sinB≠0，∴cosA=0，

∴A=π2，∴△ABC為直角三角形．故A正確．6.【答案】C

【解析】解：設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件A1，“從乙袋中摸出一個紅球”為事件A2，

則P(A1)=13，P(A2)=12，且A1，A2相互獨立，

則7.【答案】B

【解析】解：如圖，延長BP交CC1于點R，

則CRB1B=CPB1P=13，

即R為CC1的一個三等分點，

連接QR，取A1B1的中點為H，連接BH，QH，則BH/?/QR，

所以B，H，Q，R四點共面，

故梯形QRBH即為截面圖形，

顯然BH為最長邊，且BH=B1B2+8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知，b=2asinB，由正弦定理得sinB=2sinAsinB，

又sinB>0，則sinA=22，因為A為銳角，所以cosA=22，

由余弦定理可知a2=b2+c2?2bccosA=b2+c2?2bc(?)，

由等面積法可知12bcsinA=12a?，即29.【答案】AB

【解析】解：復數(shù)z=(1+i)(i?2)=i?2+i2?2i=?3?i，

復數(shù)z的虛部為?1，故A正確；

|z|=(?3)2+(?1)2=9+1=10，故B正確；

z的共軛復數(shù)為?3+i，故C10.【答案】ACD

【解析】解：對于選項A，應抽取男生600×1001000=60人，故A正確；

對于選項B，每個男生被抽入到樣本的可能性均為1001000=110，故B錯誤；

對于選項C，樣本中男生為60人，女生為40人，

所以所有樣本的均值為60100×170+40100×160=166cm，故C正確；

對于選項D，所有樣本的方差為s2=60×[28+(170?166)2]+40×[18+(160?166)11.【答案】BCD

【解析】解：對于A：由條件可知，圓錐的母線長SC=SO2+OC2=2，圓錐SO的側(cè)面積為π×2×2=22π，故A錯誤；

對于B：當OB是△ABC的高時，△ABC的面積最大，則三棱錐S?ABC的體積最大，體積的最大值是13×12×22×2×2=223，故B正確；

對于C：若AB=BC，則△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，SA=SB=2，

所以△SAB是等邊三角形，如圖，將△SAB沿AB翻折，使S，A，B，C四點共面，

當S，E，C三點共線時，SE+EC的最小值是SC，

在△SBC中，SB=BC=2，∠SBC=60°+90°=150°，

由余弦定理可知，SC=SB2+BC2?2SB?BC?cos∠SBC=4+4?2×2×2×(?32)=8+43=212.【答案】710【解析】解：根據(jù)題意，設3個紅球分別為A，B，C，2個黑球分別為a，b，A=“選出的2個球中至少有1個黑球”，

從裝有3個紅球和2個黑球的盒子中不放回地一次隨機抽取2個球，則Ω={(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，

(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)}，共10個樣本點，

A={(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)}，共7個，

故P(A)=710．

故答案為：710．

利用列舉法可得總樣本空間為10個，符合的有713.【答案】21【解析】解：如圖，因為PC⊥平面ABC，所以PC為三棱錐P?ABC的高，

則VP?ABC=13S△ABC?PC=13×34×1×1=312，

由PC⊥平面ABC，AC?平面ABC，得PC⊥AC，

在直角△PCA中，PA=1+1=2，同理PB=2，

則等腰△PAB的底邊AB上的高為PA2?(AB2)2=14.【答案】6【解析】解：過A作AM⊥BF于M，如圖所示，

設AM=x，

在等腰直角△AMF中，F(xiàn)M=AM=x，

在Rt△AME中，EM=33AM=33x，

而FM=DF+DM=5+DM，EM=DE+DM=2+DM，

所以x=5+DM，33x=2+DM，

解得x=9+332，DM=33?12，

在Rt△ABM中，BM=3AM=3x=93+92，

所以CM=BM?4=93+1215.【答案】?4+3i；

a=?2；

(?4,1)．

【解析】(1)當a=?1時，可得z1=?1+2i，z?=2+i，則z1?z2?=(?1+2i)(2+i)=?4+3i；

(2)因為z1+z2=a+2+i為純虛數(shù)，所以a+2=0，即a=?2；

(3)z1z2=a+2i2?i=(a+2i)(2+i)(2?i)(2+i)=2a?2+(a+4)i5=2a?25+a+45i，16.【答案】163；

?31【解析】(1)由題意可得sinA=1?cos2A=35，

由于S△ABC=12bcsinA=12?bc?35=2，解得bc=203，

可得AB?AC=cbcosA=203×45=163；

(2)因為m=(sinB2,cosB)，n=(1,2cosB2)，且m//17.【答案】證明見解析；

23．【解析】(1)證明：因為AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，

所以AP⊥CD，

因為∠ADC=90°，所以AD⊥CD，

又AP∩AD=A，AP，AD?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

因為CD?平面ABCD，

所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2)取AD中點F，連接EF，BF，

因為AP⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AP⊥PD，

因為PA=PD=4，

所以AD=PA2+PD2=42，AF=22，

因為F為AD中點，E為AP中點，

所以EF/?/PD，

所以∠BEF(或其補角)為BE與PD所成的角，

又EF?平面PCD，PD?平面PCD，

所以EF/?/平面PCD，

又因為BE//平面PCD，EF∩BE=E，EF，BE?平面BEF，

所以平面BEF/?/平面PCD，

又平面BEF∩平面ABCD=BF，平面PCD∩平面ABCD=CD，

所以CD/?/BF，

又CD⊥平面PAD，所以BF⊥平面PAD，

因為EF?平面PAD，所以BF⊥EF，

則BF=AB2?AF2=5,EF=12PD=2，

BE=EF2+BF2=3，

所以cos∠BEF=EFBE=23，

所以異面直線BE與PD所成角的余弦值為23．

(1)由AP⊥平面PCD得AP⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD18.【答案】0.03；

平均數(shù)為74；中位數(shù)為2203；

12【解析】(1)由頻率分布直方圖可得(0.01+x+x+0.02+0.01)×10=1，解得x=0.03；

(2)所抽取的100名學生成績的平均數(shù)為：

x?=(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74；

由圖可得前兩組的頻率為0.1+0.3=0.4<0.5，前三組為0.4+0.3=0.7>0.5，

所以中位數(shù)在[70,80)之間，設為a，

則0.4+(a?70)×0.03=0.5，解得a=2203；

(3)易得后三組學生人數(shù)分別為30，20，10，所以抽取人數(shù)分別3，2，1，

記成績在[70,80)這組的3名學生分別為a，b，c，成績在[80,90)這組的2名學生分別為d，e，成績在[90,100]這組的1名學生為f，

則從中任抽取3人的所有可能結(jié)果為(a,b,c)、(a,b,d)、(a,b,e)、(a,b,f)、(a,c,d)、(a,c,e)、(a,c,f)、

(a,d,e)、(a,d,f)、(a,e,f)、(b,c,d)、(b,c,e)、(b,c,f)、(b,d,e)、(b,d,f)、

(b,e,f)、(c,d,e)、(c,d,f)、(c,e,f)、(d,e,f)，共20種，

其中[70,80)至少有2人被抽到包含10