高三數(shù)學數(shù)學等差數(shù)列多選題專項訓練的專項培優(yōu)練習題(及答案一、等差數(shù)列多選題1．朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設首項即第一層的根數(shù)為，公差為，設一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因為，所以為200的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗證可知滿足題意.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3與a9的等比中項，則下列選項正確的是（）A．a(chǎn)1=22 B．d=－2C．當n=10或n=11時，Sn取得最大值 D．當Sn>0時，n的最大值為21解析：BC【分析】分別運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，可判斷A，B；由配方法，結(jié)合n為正整數(shù)，可判斷C；由Sn>0解不等式可判斷D．【詳解】由公差，可得，即，①由a7是a3與a9的等比中項，可得，即，化簡得，②由①②解得，故A錯，B對；由，可得或時，取最大值，C對；由Sn>0，解得，可得的最大值為，D錯；故選：BC【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．設等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，則（）A． B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．時，的最小值為13 D．數(shù)列中最小項為第7項解析：ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時，，時，，又，可得出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號，的單調(diào)性可判斷D；【詳解】由已知得，，又，所以，故A正確；由，解得，又，當時，，時，，又，所以時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B不正確；由于，而，所以時，的最小值為13，故C選項正確；當時，，時，，當時，，時，，所以當時，，，，時，為遞增數(shù)列，為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項為第7項，故D正確；【點睛】本題考查等差數(shù)列的公差，項的符號，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最值項，屬于較難題.4．下列命題正確的是（）A．給出數(shù)列的有限項就可以唯一確定這個數(shù)列的通項公式B．若等差數(shù)列的公差，則是遞增數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則可能成等差數(shù)列D．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列解析：BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項的正誤.【詳解】A選項：給出數(shù)列的有限項不一定可以確定通項公式；B選項：由等差數(shù)列性質(zhì)知，必是遞增數(shù)列；C選項：時，是等差數(shù)列，而a=1，b=2，c=3時不成立；D選項：數(shù)列是等差數(shù)列公差為，所以也是等差數(shù)列；故選：BCD【點睛】本題考查了等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷選項的正誤，屬于基礎(chǔ)題.5．已知無窮等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．D．當時，解析：AD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可以求，，即可求公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷四個選項是否正確.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以等差數(shù)列公差，所以是遞減數(shù)列，故最大，選項A正確；選項不正確；，所以，故選項C不正確；當時，，即，故選項D正確；故選：AD【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和，屬于基礎(chǔ)題.6．是等差數(shù)列，公差為d，前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．解析：ABD【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前項和公式，及題中的條件，可選出答案.【詳解】由，可得，故B正確；由，可得，由，可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確；又，所以，故C不正確；又因為等差數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，所以，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的增減性及前項和的性質(zhì)，本題要從題中條件入手，結(jié)合公式，及，對選項逐個分析，可判斷選項是否正確.考查學生的運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.7．（多選題）在數(shù)列中，若，（，，為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”．下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列解析：BCD【分析】根據(jù)定義以及舉特殊數(shù)列來判斷各選項中結(jié)論的正誤.【詳解】對于A選項，取，則不是常數(shù)，則不是等方差數(shù)列，A選項中的結(jié)論錯誤；對于B選項，為常數(shù)，則是等方差數(shù)列，B選項中的結(jié)論正確；對于C選項，若是等方差數(shù)列，則存在常數(shù)，使得，則數(shù)列為等差數(shù)列，所以，則數(shù)列（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列，C選項中的結(jié)論正確；對于D選項，若數(shù)列為等差數(shù)列，設其公差為，則存在，使得，則，由于數(shù)列也為等方差數(shù)列，所以，存在實數(shù)，使得，則對任意的恒成立，則，得，此時，數(shù)列為常數(shù)列，D選項正確.故選BCD.【點睛】本題考查數(shù)列中的新定義，解題時要充分利用題中的定義進行判斷，也可以結(jié)合特殊數(shù)列來判斷命題不成立，考查邏輯推理能力，屬于中等題.8．等差數(shù)列的前n項和記為，若，，則（）A． B．C． D．當且僅當時，解析：AB【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及可分析出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列中，所以，又，所以，所以，，故AB正確，C錯誤；因為，故D錯誤，故選：AB【點睛】關(guān)鍵點睛：本題突破口在于由得到，結(jié)合，進而得到，考查學生邏輯推理能力.9．已知數(shù)列滿足：，當時，，則關(guān)于數(shù)列說法正確的是（）A． B．數(shù)列為遞增數(shù)列C．數(shù)列為周期數(shù)列 D．解析：ABD【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合選項可得結(jié)果.【詳解】得，∴，即數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，得，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列為遞增數(shù)列，所以易知ABD正確，故選：ABD.【點睛】本題主要考查了通過遞推式得出數(shù)列的通項公式，通過通項公式研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.10．已知等差數(shù)列的前n項和為且則（）A． B．當且僅當n=7時，取得最大值C． D．滿足的n的最大值為12解析：ACD【分析】由題可得，，，求出可判斷A；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B；求出可判斷C；令，解出即可判斷D.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得，，，且，對于A，，故A正確；對于B，的對稱軸為，開口向下，故或7時，取得最大值，故B錯誤；對于C，，，故，故C正確；對于D，令，解得，故n的最大值為12，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：由于等差數(shù)列是關(guān)于的二次函數(shù)，當與異號時，在對稱軸或離對稱軸最近的正整數(shù)時取最值；當與同號時，在取最值.11．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，記該數(shù)列為，則的通項公式為（）A．B．且C．D．解析：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，再驗證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，數(shù)列遞推公式的應用，本題運算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．12．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．當且僅當時，取得最大值解析：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進而計算即可得答案.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當且僅當或時，取得最大值.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本計算，前項和的最值問題，是中檔題.等差數(shù)列前項和的最值得求解常見一下兩種情況：（1）當時，有最大值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；（2）當時，有最小值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；13．黃金螺旋線又名等角螺線，是自然界最美的鬼斧神工．在一個黃金矩形（寬長比約等于0.618）里先以寬為邊長做正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長做正方形，如此循環(huán)下去，再在每個正方形里畫出一段四分之一圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”．達·芬奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個曲線．現(xiàn)將每一段黃金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形半徑設為an(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再將扇形面積設為bn(n∈N*)，則（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021 B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a(chǎn)12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 D．a(chǎn)2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0解析：ABD【分析】對于A，由題意得bn＝an2，然后化簡4(b2020－b2019)可得結(jié)果；對于B，利用累加法求解即可；對于C，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，兩邊同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，然后累加求解；對于D，由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化簡可得結(jié)果【詳解】由題意得bn＝an2，則4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，則選項A正確；又數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，則選項B正確；數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，兩邊同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，則a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，則選項C錯誤；由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，則選項D正確；故選：ABD.【點睛】此題考查數(shù)列的遞推式的應用，考查累加法的應用，考查計算能力，屬于中檔題14．已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．C． D．解析：ACD【分析】先計算出數(shù)列的前幾項，判斷AC，然后再尋找規(guī)律判斷BD．【詳解】由題意，，A正確，，C正確；，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，B錯；，D正確．故選：ACD．【點睛】本題考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的項與和，解題關(guān)鍵是求出數(shù)列的前幾項后歸納出數(shù)列的性質(zhì)：周期性，然后利用周期函數(shù)的定義求解．15．設數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．解析：ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設，則，所以當時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；,所以因此，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)列性質(zhì)的綜合應用，屬于難題.16．題目文件丟失！17．題目文件丟失！18．已知數(shù)列滿足：，當時，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A． B．數(shù)列為遞增數(shù)列C． D．數(shù)列為周期數(shù)列解析：ABC【分析】由，變形得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，然后逐項判斷.【詳解】當時，由，得，即，又，所以是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故C正確；所以