數(shù)學(xué)蘇教版七年級下冊期末模擬真題真題(比較難)答案一、選擇題1．下列運(yùn)算正確的是（）A．（x+3）2＝x2+9 B．a(chǎn)2?a3＝a6C．（x﹣9）（x+9）＝x2﹣9 D．（a2）3＝a6答案：D解析：D【分析】直接根據(jù)完全平方公式、平方差公式，同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方計(jì)算法則求解判斷即可.【詳解】解：A、（x+3）2＝x2+6x+9，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；B、a2?a3＝a5，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；C、（x﹣9）（x+9）＝x2﹣81，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；D、（a2）3＝a6，故原題計(jì)算正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式、平方差公式，同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.2．如圖，下列說法不正確的是（）A．和是同旁內(nèi)角 B．和是內(nèi)錯(cuò)角C．和是同位角 D．和是同旁內(nèi)角答案：B解析：B【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角的概念判斷即可．【詳解】解：如圖，A．∠1和∠A是MN與AN被AM所截成的同旁內(nèi)角，說法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∠2和∠B不是內(nèi)錯(cuò)角，說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；C．∠3和∠A是MN與AC被AM所截成的同位角，說法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∠4和∠C是MN與BC被AC所截成的同旁內(nèi)角，說法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角，熟記同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角的概念是解題的關(guān)鍵．3．已知方程組和有相同的解，則的值為（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】聯(lián)立不含a與b的方程組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，進(jìn)而求出a與b的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【詳解】解：根據(jù)題意，則，由①×2+②得：11x=11，解得：x=1，把x=1代入①得：5+y=3，解得：y=2；把x=1，y=2代入，則，解得：，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．4．若，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵a＞b，∴a-b＞0，故A錯(cuò)誤；由于不能確定a與b是否同號，所以ab的符號不能確定，故B錯(cuò)誤；-a＜-b，故C錯(cuò)誤；a+1＞b+1，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練運(yùn)用不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．若關(guān)于的不等式組的解集為，則的值為（）A．-6 B．6 C．-8 D．8答案：A解析：A【分析】先用字母a，b表示出不等式組的解集2b+3＜x＜，然后再根據(jù)已知解集是-1＜x＜1，對應(yīng)得到相等關(guān)系2b+3=-1，=1，求出a，b的值再代入所求代數(shù)式中即可求解．【詳解】解：解不等式組，可得解集為：2b+3＜x＜，∵不等式組的解集為-1＜x＜1，∴2b+3=-1，=1，解得a=1，b=-2．代入．故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了一元一次不等式組的解定義，解此類題是要先用字母a，b表示出不等式組的解集，然后再根據(jù)已知解集，對應(yīng)得到相等關(guān)系，解關(guān)于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代數(shù)式中即可求解．6．下列命題:①同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②若，則；③對頂角相等；④三角形的外角和360°；⑤如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角互補(bǔ):其中真命題的個(gè)數(shù)有()個(gè)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)答案：C解析：C【解析】【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、多邊形的外角和定理等知識判斷．【詳解】①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，錯(cuò)誤，是假命題；②若|a|＝|b|，則a＝±b，故錯(cuò)誤，是假命題；③對頂角相等，正確，是真命題；④三角形的外角和為360°，正確，是真命題；⑤如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤，是假命題；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．7．計(jì)算，，，，，……歸納各計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，猜測的結(jié)果中個(gè)位數(shù)字是（）A．2 B．8 C．6 D．0答案：D解析：D【分析】由31-1=2，32-1=8，33-1=26，34-1=80，35-1=242，…得出末尾數(shù)字以2，8，6，0四個(gè)數(shù)字不斷循環(huán)出現(xiàn)，由此用2020除以4看得出的余數(shù)確定個(gè)位數(shù)字即可．【詳解】解：∵2020÷4=505，∴32020-1的個(gè)位數(shù)字是0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了尾數(shù)的特征，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出個(gè)位數(shù)字循環(huán)的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖，平分和，若，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】AD、CM交于點(diǎn)E，AM、BC交于點(diǎn)F，AD、BC交于點(diǎn)H，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證的外角和的外角是同角，分別可表示為與，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，，將、代入計(jì)算即可求出．【詳解】解：AD、CM交于點(diǎn)E，AM、BC交于點(diǎn)F，AD、BC交于點(diǎn)H，如圖，∵的外角和的外角是同角，∵，，∵平分和，∴，，∴，，∵在中，，在中，∴，；∵，∴，，整理得，，化簡得，將，代入，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線有關(guān)的計(jì)算，靈活運(yùn)用三角形外角性質(zhì)及角平分線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題9．計(jì)算：的結(jié)果等于__________．解析：【解析】【分析】先利用積的乘方，然后在利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可解答.【詳解】（-xy）3·（-2xy）2=（-x3y3）（4x2y2）=-x5y5【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生們的整式的計(jì)算，積的乘方和單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，學(xué)生們認(rèn)真計(jì)算即可.10．命題“銳角與鈍角互為補(bǔ)角”是___．（填“真命題”或“假命題”）解析：假命題【分析】根據(jù)補(bǔ)角進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：銳角與鈍角不一定互為補(bǔ)角，如60°與100°，原命題是假命題，故答案為：假命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式；有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．11．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是__．解析：12【分析】多邊形的外角和為360°，而多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，由此做除法得出多邊形的邊數(shù)．【詳解】∵360°÷30°=12，∴這個(gè)多邊形為十二邊形，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角．關(guān)鍵是明確多邊形的外角和為360°．12．如果多項(xiàng)式x2-mx+n能因式分解為（x+2）（x-3），則m+n的值______．解析：-5【分析】根據(jù)多項(xiàng)式x2-mx+n能因式分解為（x+2）（x-3），得出x2-mx+n=x2+x-6，即可求出m，n的值，從而得出m+n的值．【詳解】∵多項(xiàng)式x2-mx+n能因式分解為（x+2）（x-3），∴x2-mx+n=x2-x-6，∴m=1，n=-6，∴m+n=1-6=-5．故答案是：-5．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的意義，關(guān)鍵是根據(jù)因式分解的意義求出m，n的值，是一道基礎(chǔ)題．13．若是關(guān)于，的二元一次方程組（為常數(shù)）的解，則的值為__________．解析：0【分析】根據(jù)題意把代入方程組，求出a、b的值，進(jìn)而求出a+b即可．【詳解】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，∴代入得：，解得：a=-2，b=2，∴a+b=-2+2=0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的解法并得出關(guān)于a、b的方程組是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，中，，，，．點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．答案：C解析：【分析】當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP的值最小，利用面積法求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB=13，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP的值最小，此時(shí)：△ABC的面積=?AB?CP=?AC?BC，∴13CP=5×12，∴PC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高．15．將正三角形、正方形、正五邊形按照如圖所示的位置擺放，如果∠3=33o，那么∠1+∠2=________．答案：69o【分析】根據(jù)正三角形、正四邊形、正五邊形各內(nèi)角的度數(shù)及平角的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，正三角形的內(nèi)角是，正四邊形的內(nèi)角是，正五邊形的內(nèi)角是，，，，，，解得：．故答案解析：69o【分析】根據(jù)正三角形、正四邊形、正五邊形各內(nèi)角的度數(shù)及平角的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，正三角形的內(nèi)角是，正四邊形的內(nèi)角是，正五邊形的內(nèi)角是，，，，，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角，熟知正三角形、正四邊形、正五邊形各內(nèi)角的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．16．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AD延長線上一點(diǎn)，正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)F是線段BE的中點(diǎn)，△BFC的面積是______________cm2．答案：9【分析】先求出△BCE的面積，然后根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求出△BFC的面積．【詳解】解：∵ABCD是正方形，∴CD=CB=AB=6cm，∠ABC=90°，∴S△BCE=cm2，∵解析：9【分析】先求出△BCE的面積，然后根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求出△BFC的面積．【詳解】解：∵ABCD是正方形，∴CD=CB=AB=6cm，∠ABC=90°，∴S△BCE=cm2，∵F是線段BE的中點(diǎn)，∴S△BFC=S△BCE=9cm2．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，以及三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形是解答本題的關(guān)鍵．17．計(jì)算：（1）|﹣1|4+（﹣）﹣2×（π﹣2021）0；（2）（2x2y）2?（﹣7xy2）÷（14x4y3）；（3）20202﹣4040×2019+20192．答案：（1）；（2）；（3）1【分析】（1）先根據(jù)有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，再求出答案即可；（2）先算乘方，再根據(jù)整式的乘除法則算乘除即可；（3）先根據(jù)平方差公式進(jìn)行變形，再求解析：（1）；（2）；（3）1【分析】（1）先根據(jù)有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，再求出答案即可；（2）先算乘方，再根據(jù)整式的乘除法則算乘除即可；（3）先根據(jù)平方差公式進(jìn)行變形，再求出答案即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，平方差公式等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．18．因式分解：（1）2（x+2）2+8（x+2）+8；（2）﹣2m4+32m2．答案：（1）2（x+4）2；（2）﹣2m2（m+4）（m﹣4）【分析】（1）直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式﹣2m2，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解析：（1）2（x+4）2；（2）﹣2m2（m+4）（m﹣4）【分析】（1）直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式﹣2m2，再利用平方差公式分解因式得出答案．【詳解】解：（1）2(x+2)2+8(x+2)+8＝2[(x+2)2+4(x+2)+4]＝2(x+2+2)2＝2(x+4)2；（2）﹣2m4+32m2＝﹣2m2(m2﹣16)＝﹣2m2(m+4)(m﹣4)．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法及公式法分解因式，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式．19．解方程組：（1）（2）答案：（1）；（2）．【分析】（1）利用加減消元法解答即可；（2）利用加減消元法解答即可．【詳解】解：（1）①+②得：，解得：，把代入①得，，解得，y＝－2，∴原方程組的解為；（2解析：（1）；（2）．【分析】（1）利用加減消元法解答即可；（2）利用加減消元法解答即可．【詳解】解：（1）①+②得：，解得：，把代入①得，，解得，y＝－2，∴原方程組的解為；（2）將原方程組整理得，①×4－②×3，得：7x＝42，解得：x＝6，把x＝6代入②得：18－4y＝2，解得：y＝4，∴原方程組的解為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解二元一次方程組有代入消元法和加減消元法兩種方法，兩種方法的目的都是把方程中的一個(gè)未知數(shù)消去，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解．20．定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相伴方程”，例如：方程的解為，不等式組的解集為.因?yàn)椋苑Q方程為不等式組，的“相伴方程”．（1）下列方程是不等式組的“相伴方程”的是______；（填序號）①；②；③．（2）若關(guān)于的方程是不等式組的“相伴方程”，求的取值范圍；（3）若方程，都是關(guān)于的不等式組的“相伴方程”，其中，求的取值范圍．答案：（1）①②；（2）取值范圍為；（3）的取值范圍為．【分析】（1）先求出不等式和每個(gè)方程的解，然后根據(jù)“相伴方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）先求出不等式的解集，然后把k當(dāng)做常數(shù)，求出方程的解，然解析：（1）①②；（2）取值范圍為；（3）的取值范圍為．【分析】（1）先求出不等式和每個(gè)方程的解，然后根據(jù)“相伴方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）先求出不等式的解集，然后把k當(dāng)做常數(shù)，求出方程的解，然后代入不等式組的解集中求解即可；（3）分別求出方程的解和不等式組的解集，然后根據(jù)“相伴方程”的定義求解即可.【詳解】解：（1）解不等式，得，∴不等式的解集為，解方程①得；解方程②得解方程③得∴“相伴方程”是①②；（2）∵不等式組為解得，∵方程為，解得，根據(jù)題意可得，，解得：，故取值范圍為.（3）∵方程為，，解得：，.∵不等式組為當(dāng)時(shí)，不等式組為此時(shí)不等式組解集為，不符合題意，舍；當(dāng)時(shí)，不等式組解集為，∴根據(jù)題意可得解得，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.三、解答題21．如圖，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，AF∥BC，∠1＝∠2，求證：DE∥AC．請將證明過程補(bǔ)充完整，并在括號內(nèi)填寫推理的依據(jù)：證明：AF∥BC（已知），∴＝，（）∵∠1＝∠2（已知）．∴＝，（）∴DE∥AC．（）答案：∠1；∠C；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠2；∠C；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠1＝∠C，再根據(jù)等量代換即可得出∠2＝∠C，進(jìn)而得到DE∥AC．【詳解】證解析：∠1；∠C；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠2；∠C；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠1＝∠C，再根據(jù)等量代換即可得出∠2＝∠C，進(jìn)而得到DE∥AC．【詳解】證明：∵AF∥BC，∴∠1＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠C（等量代換），∴DE∥AC（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：∠1；∠C；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠2；∠C；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是要明確平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．22．某地葡萄豐收，準(zhǔn)備將已經(jīng)采摘下來的11400公斤葡萄運(yùn)送杭州，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型共選擇，每輛車運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如表表示（假設(shè)每輛車均滿載）車型甲乙丙汽車運(yùn)載量（公斤/輛）600800900汽車運(yùn)費(fèi)（元/輛）500600700（1）若全部葡萄都用甲、乙兩種車型來運(yùn)，需運(yùn)費(fèi)8700元，則需甲、乙兩種車型各幾輛？（2）為了節(jié)省運(yùn)費(fèi)，現(xiàn)打算用甲、乙、丙三種車型都參與運(yùn)送，已知它們的總輛數(shù)為15輛，你能分別求出這三種車型的輛數(shù)嗎？怎樣安排運(yùn)費(fèi)最?。看鸢福海?）甲3輛，乙12輛；（2）有三種方案，具體見解析，甲4輛，乙9輛，丙2輛最省錢．【分析】（1）設(shè)需要甲x輛，乙y輛，根據(jù)運(yùn)送11400公斤和需運(yùn)費(fèi)8700元，可列出方程組求解．（2）設(shè)需要解析：（1）甲3輛，乙12輛；（2）有三種方案，具體見解析，甲4輛，乙9輛，丙2輛最省錢．【分析】（1）設(shè)需要甲x輛，乙y輛，根據(jù)運(yùn)送11400公斤和需運(yùn)費(fèi)8700元，可列出方程組求解．（2）設(shè)需要甲x輛，乙y輛，則丙（15﹣x﹣y）輛，根據(jù)甲汽車運(yùn)載量+乙汽車運(yùn)載量+丙汽車運(yùn)載量=11400，列方程，化簡后，根據(jù)甲、乙、丙三種車型都參與運(yùn)送，即x＞0，y＞0，15﹣x﹣y＞0，解不等式即可求出x的范圍，進(jìn)而得出方案．計(jì)算出每種方案需要的運(yùn)費(fèi)，比較即可得出運(yùn)費(fèi)最省的方案．【詳解】（1）設(shè)需要甲x輛，乙y輛，根據(jù)題意得：解得：．答：甲3輛，乙12輛；（2）設(shè)需要甲x輛，乙y輛，則丙（15﹣x﹣y）輛，根據(jù)題意得：600x+800y+900（15﹣x﹣y）=11400化簡得：y=21﹣3x．∵x＞0，y=21﹣3x＞0，15﹣x﹣y=2x－6＞0，解得：3＜x＜7．∵x為整數(shù)，∴x=4，5，6．因此方案有三種：方案①：甲4輛，乙9輛，丙2輛；方案②：甲5輛，乙6輛，丙4輛；方案③：甲6輛，乙3輛，丙6輛；則運(yùn)費(fèi)分別為：①4×500+9×600+2×700=8800（元）．②5×500+6×600+4×700=8900（元）；③6×500+3×600+6×700=9000（元）．故第一種方案運(yùn)費(fèi)最省，為8800元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組與二元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，建立方程或方程組解決問題．23．媽媽去超市買牙刷和牙膏，已知購買4個(gè)牙刷和2個(gè)牙膏需付68元；購買10個(gè)牙刷和7個(gè)牙膏需付210元．（1）求牙刷和牙膏的單價(jià)；（2）正好趕上“向陽”“富強(qiáng)”兩個(gè)超市打折優(yōu)惠，兩個(gè)超市的每個(gè)物品的原價(jià)均相同．“向陽”超市：牙刷打九折，牙膏打八折；“富強(qiáng)”超市：每購買滿10個(gè)牙膏送3個(gè)牙刷．如果媽媽打算買13個(gè)牙膏和18個(gè)牙刷，那么去哪家超市比較劃算？并說明理由．答案：（1）牙刷的單價(jià)為7元，牙膏的單價(jià)為20元；（2）去“向陽”超市比較劃算．理由見解析．【分析】（1）設(shè)牙刷的單價(jià)為x元，牙膏的單價(jià)為y元，根據(jù)“購買4個(gè)牙刷和2個(gè)牙膏需付68元；購買10個(gè)牙刷和解析：（1）牙刷的單價(jià)為7元，牙膏的單價(jià)為20元；（2）去“向陽”超市比較劃算．理由見解析．【分析】（1）設(shè)牙刷的單價(jià)為x元，牙膏的單價(jià)為y元，根據(jù)“購買4個(gè)牙刷和2個(gè)牙膏需付68元；購買10個(gè)牙刷和7個(gè)牙膏需付210元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出牙刷和牙膏的單價(jià)；（2）利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合兩超市的優(yōu)惠政策，即可分別求出去兩超市購買所需費(fèi)用，比較后即可得出去“向陽”超市比較劃算．【詳解】解：（1）設(shè)牙刷的單價(jià)為x元，牙膏的單價(jià)為y元，依題意得解得所以牙刷的單價(jià)為元，牙膏的單價(jià)為元；（2）去“向陽”超市比較劃算.理由如下：“向陽”超市：（元），“富強(qiáng)”超市：（元），因?yàn)樵?，所以去“向陽”超市比較劃算．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算．24．小明在學(xué)習(xí)過程中，對教材中的一個(gè)有趣問題做如下探究：（習(xí)題回顧）已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn).求證：；（變式思考）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長線于點(diǎn)，其反向延長線與邊的延長線交于點(diǎn)，則與還相等嗎？說明理由；（探究延伸）如圖3，在中，上存在一點(diǎn)，使得，的平分線交于點(diǎn).的外角的平分線所在直線與的延長線交于點(diǎn).直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.答案：[習(xí)題回顧]證明見解析；[變式思考]相等，證明見解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解析：[習(xí)題回顧]證明見解析；[變式思考]相等，證明見解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明；[變式思考]根據(jù)角平分線的定義和對頂角相等可得∠CAE=∠DAF、再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等角的余角相等即可得出=；[探究延伸]根據(jù)角平分線的定義可得∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CEF=∠CFE，由此可證∠M+∠CFE=90°．【詳解】[習(xí)題回顧]證明：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD，∵AE是角平分線，∴∠CAF=∠DAF，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；[變式思考]相等，理由如下：證明：∵AF為∠BAG的角平分線，∴∠GAF=∠DAF，∵∠CAE=∠GAF，∴∠CAE=∠DAF，∵CD為AB邊上的高，∠ACB=90°,∴∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，∴∠CEF=∠CFE；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明：∵C、A、G三點(diǎn)共線

AE、AN為角平分線，∴∠EAN=90°，又∵∠GAN=∠CAM，∴∠M+∠CEF=90°，∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的有關(guān)證明，等角或同角的余角相等．在本題中用的比較多的是利用等角或同角的余角相等證明角相等和三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，理解并掌握是解決此題的關(guān)鍵．25．模型規(guī)律：如圖1，延長交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角