江蘇省昆山市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編重點(diǎn)解析考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、如圖，在中，，，，平分交于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．2、有一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為（）A．5 B． C． D．5或3、下列各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，54、在中，，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．5、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC為邊作正方形，這兩個(gè)正方形的面積和為（

）A．5 B．9 C．16 D．256、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．67、如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，則斜邊AB的長(zhǎng)是（

）A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為_____尺．2、在一棵樹的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹高_(dá)______米.3、如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，那么四邊形ABCD的面積是___________．4、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是__．5、如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．6、《九章算術(shù)》中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：如圖，設(shè)甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據(jù)勾股定理可列得方程為______．7、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點(diǎn)D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結(jié)DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．8、圖①所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為_____cm．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、勾股定理的證明方法是多樣的，其中“面積法”是常用的方法．小麗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來(lái)證明勾股定理．請(qǐng)寫出勾股定理的內(nèi)容，并利用給定的圖形進(jìn)行證明．2、2020年春季“新冠肺炎”在武漢全面爆發(fā)，蔓延全國(guó)，危及到人民生命安全，為了積極響應(yīng)國(guó)家防控政策，雙流區(qū)某鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行宣傳防控措施，如圖，筆直公路的一側(cè)點(diǎn)處有一村莊，村莊到公路的距離為600米，假設(shè)宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛時(shí)：（1）請(qǐng)問(wèn)村莊能否聽到宣傳，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是200米/分鐘，那么村莊總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？3、一架云梯長(zhǎng)25m，如圖所示斜靠在一而墻上，梯子底端C離墻7m．（1）這個(gè)梯子的頂端A距地面有多高?（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了多少米?4、湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)煽镁坝^樹之間的距離，他們?cè)谂cAB垂直的BC方向上取點(diǎn)C，測(cè)得米，米．求：（1）兩棵景觀樹之間的距離；（2）點(diǎn)B到直線AC的距離．5、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡(jiǎn)整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時(shí)，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長(zhǎng)，如圖，填寫下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ356、（1）如圖１是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式；（2）伽菲爾德（1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請(qǐng)你嘗試證明過(guò)程．說(shuō)明：．7、如圖，將RtABC紙片沿AD折疊，使直角頂點(diǎn)C與AB邊上的點(diǎn)E重合，若AB＝10cm，AC＝6cm，求線段BD的長(zhǎng)．-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線段長(zhǎng)度．【詳解】在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求，此時(shí)，作CH⊥AB于H點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)即為CE+EG的最小值，此時(shí)，，∴CH==，即：CE+EF的最小值為，故選：D．【考點(diǎn)】本題考查了角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問(wèn)題，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】分4是直角邊、4是斜邊兩種情況考慮，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)4是直角邊時(shí)，斜邊==5；當(dāng)4是斜邊時(shí)，另一條直角邊=；故選：D．【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．3、D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，看較小的兩邊的平方和是否等于最大的邊的平方即可進(jìn)行判斷.【詳解】A、42+72≠82，故不能構(gòu)成直角三角形；B、22+22≠22，故不能構(gòu)成直角三角形；C、2+2=4，故不能構(gòu)成三角形，不能構(gòu)成直角三角形；D、52+122=132，故能構(gòu)成直角三角形，故選D．【考點(diǎn)】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，即若三角形的三邊符合a2+b2=c2，則此三角形是直角三角形．4、A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．5、D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，即兩個(gè)正方形的面積和為25故選：D【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．7、D【解析】【分析】根據(jù)正方形的面積可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根據(jù)勾股定理即可得到AB2，從而可以求得AB的值．【詳解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故選：D．【考點(diǎn)】本題考查正方形的面積、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確正方形的面積是邊長(zhǎng)的平方．二、填空題1、13【解析】【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（尺，答：蘆葦長(zhǎng)13尺．故答案為：13．【考點(diǎn)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．2、【解析】【分析】由題意知AD＋DB＝BC＋CA，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，樹高CD＝(5＋x)米即可．【詳解】解：由題意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故樹高為CD＝5＋x＝7.5（米），答：樹高為7.5米．故答案為：7.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．3、+24【解析】【分析】連結(jié)BD，可求出BD=6，再根據(jù)勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，兩個(gè)三角形面積相加即可．【詳解】解：連結(jié)BD，∵，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四邊形ABCD的面積是=S△ABD+S△BDC=+24故答案為：+24．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．4、2.5【解析】【分析】首先先過(guò)點(diǎn)D作AB的垂直線段DE，根據(jù)勾股定理把BC求出,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DC，再根據(jù)ABC的面積等于ACD的面積加上ABD的面積，把CD求出，最后BD的長(zhǎng)度即可求出．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E，在ABC中，C=，AB=5，AC=3，∴，∵AD平分BAC，∴DE=DC，∵，即，解得CD=1.5，∴BD=4-CD=4-1.5=2.5，故答案為：2.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)定理，正確作出輔助線，根據(jù)面積相等把CD求出是解題的關(guān)鍵．5、49【解析】【分析】根據(jù)正方形A，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，求解即可求出答案．【詳解】如圖對(duì)所給圖形進(jìn)行標(biāo)注：因?yàn)樗械娜切味际侵苯侨切?，所有的四邊形都是正方形，所以正方形A的面積，正方形B的面積，正方形C的面積，正方形D的面積．因?yàn)?，，所以正方形A，B，C，D的面積和．故答案為：49．【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)，面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．6、【解析】【分析】設(shè)甲、乙二人出發(fā)后相遇的時(shí)間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)x秒二人在C處相遇，這時(shí)乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形．7、5【解析】【分析】根據(jù)角度轉(zhuǎn)換，得到三角形ADE是直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理計(jì)算出DE的長(zhǎng).【詳解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【考點(diǎn)】本題主要考查到運(yùn)用勾股定理求長(zhǎng)度，說(shuō)明三角形ADE是直角三角形是解題的關(guān)鍵.8、（3+3）．【解析】【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】如圖所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形，在Rt△BCD中，CD==6cm，∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（3+3）cm．故答案為（3+3）．【考點(diǎn)】本題考查了平面展開-最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解題.三、解答題1、見解析【解析】【分析】多邊形的面積可以等于邊長(zhǎng)為c的正方形面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也可以等于兩個(gè)直角梯形的面積和，由此得證．【詳解】解：若直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，則，如圖，這個(gè)多邊形的面積為整理得ab+c2=，故．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理的證明，正確掌握多邊形的面積的計(jì)算方法及勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2、（1）村莊能聽到宣傳，理由見解析；（2）村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【解析】【分析】（1）直接比較村莊到公路的距離和廣播宣傳距離即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理運(yùn)算出廣播影響村莊的路程，再除以速度即可得到時(shí)間．【詳解】解：（1）村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊到公路的距離為600米1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到點(diǎn)開始影響村莊，行駛點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的影響，則米，米，∴（米），∴米，∴影響村莊的時(shí)間為：（分鐘），∴村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【考點(diǎn)】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，勾股定理，仔細(xì)審題獲取相關(guān)信息合理作出圖形是解題的關(guān)鍵．3、（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）先求出BD，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）由題意可知：，；，在中，由勾股定理得：，∴，因此，這個(gè)梯子的頂端距地面有高．（2）由圖可知：AD=4m，，在中，由勾股定理得：，∴，∴．答：梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了．【考點(diǎn)】此題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意在直角三角形中，利用勾股定理進(jìn)行求解．4、（1）A，B兩點(diǎn)間的距離是40米；（2）點(diǎn)B到直線AC的距離是24米．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)三角形面積公式解答即可．【詳解】（1）因?yàn)槭侵苯侨切?，所以由勾股定理，得．因?yàn)槊?，，所以．因?yàn)?，所以米．即A，B兩點(diǎn)間的距離是40米．（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D．因?yàn)?，所以．所以（米），即點(diǎn)B到直線AC的距離是24米．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題