第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)地球體第二節(jié)坐標(biāo)系及高程系第三節(jié)地圖比例尺第四節(jié)地圖投影第一節(jié)地球體參考橢球面自然表面物理表面數(shù)學(xué)表面地球體大地水準(zhǔn)面測量計(jì)算的基礎(chǔ)面測量實(shí)施的基礎(chǔ)面自然面、物理面、數(shù)學(xué)面關(guān)系圖自然表面大地水準(zhǔn)面參考橢球面第二節(jié)坐標(biāo)系及高程系一、地面點(diǎn)的表示二、大地坐標(biāo)系的建立三、高程系我國采用的高程系1956年黃海高程系取1950年－1956年共7年的驗(yàn)潮資料水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為：72.289米1985年國家高程基準(zhǔn)取1953年－1979年共27年的驗(yàn)潮資料水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為：72.260米地方高程系一、地面點(diǎn)的表示1球面上的地理坐標(biāo)（經(jīng)緯度）天文經(jīng)緯度、大地經(jīng)緯度、地心經(jīng)緯度2平面上的直角坐標(biāo)

國家坐標(biāo)系、地方坐標(biāo)系3高程絕對高程（海拔）、相對高程、高差hAB=HB-HA二、大地坐標(biāo)系的建立橢球體及其定位按一定的條件將具有確定元素的地球橢球同大地體的相關(guān)位置固定下來，從而獲得大地測量計(jì)算基礎(chǔ)面和大地起算數(shù)據(jù)。橢球體定位的條件:橢球短軸與地軸相平行橢球面與大地水準(zhǔn)面充分接近大地原點(diǎn)國家水平控制網(wǎng)中推算大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)，通常該點(diǎn)為大地水準(zhǔn)面與參考橢球面的重合點(diǎn)或者誤差最小點(diǎn)。我國大地坐標(biāo)系簡介1954年北京坐標(biāo)系克拉索夫斯基橢球體、北京原點(diǎn)1980年國家大地坐標(biāo)系（西安坐標(biāo)系）采用1975年國際大地測量與地球物理聯(lián)合會推薦的參數(shù)、西安原點(diǎn)（涇陽縣永樂鎮(zhèn)）世界大地測量坐標(biāo)系WGS－84

全球定位系統(tǒng)GPS的衛(wèi)星星歷數(shù)據(jù)和定位解都是以1984年建立的世界大地測量坐標(biāo)系WGS－84作為坐標(biāo)框架，目前已被普遍采用于工程測量和定位導(dǎo)航。WGS－84坐標(biāo)系的幾何定義如下圖Z軸

X軸

指向零子午線Y軸地球質(zhì)心a=6378137=298.257223563不同的球面地理坐標(biāo)系

54—80坐標(biāo)系地形圖鄰接狀況（中間部分為兩個(gè)坐標(biāo)系鄰接“真空”帶）不同的球面地理坐標(biāo)系

GPS實(shí)測點(diǎn)與國家標(biāo)準(zhǔn)地形圖匹配狀況我國曾經(jīng)或正在采用的橢球體第三節(jié)地圖比例尺1比例尺及比例尺精度比例尺精度是指一定比例尺的地圖上0.1mm所代表的實(shí)地長度。2比例尺的表示數(shù)字比例尺文字比例尺圖解比例尺圖解比例尺復(fù)式比例尺示意圖第四節(jié)地圖投影一、地圖投影的基本問題二、簡單投影三、復(fù)雜投影四、地圖投影的選擇與辨認(rèn)常見地圖投影地圖投影學(xué)習(xí)要求1.有關(guān)地圖投影的基本概念2.常見地圖投影的經(jīng)緯網(wǎng)特征3.常見地圖投影的經(jīng)緯距變化規(guī)律4.常見地圖投影的變形規(guī)律5.判別地圖投影的一般方法一、地圖投影的基本問題1地圖投影的概念

地圖投影就是在球面與平面之間建立其經(jīng)緯度與直角坐標(biāo)函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法2地圖投影的變形3地圖投影的分類4地圖投影的命名4地圖投影的命名例:橫軸等積方位投影正軸等角割圓錐投影正軸等角切圓柱投影（墨卡托Mercator投影）3地圖投影的分類按承影面的形狀分為：方位投影（平面投影）、圓錐投影、園柱投影按變形性質(zhì)分為：等積投影、等角投影、任意投影按承影面與地軸的關(guān)系分為：正軸投影、橫軸投影、斜軸投影按承影面與地表的關(guān)系分為：切投影、割投影等積投影、等角投影、等距投影形狀不變面積不變特定方向距離不變投影分類示意圖NSNSNS

正軸切園柱投影

橫軸割園錐投影

斜軸切方位投影1地圖投影的概念數(shù)學(xué)上的投影面1面2幾何學(xué)－－透視原理承影面燈源物體（投）影物體的形狀、燈源的位置、以及承影面的形狀都將影響投影的結(jié)果。

地圖投影地圖投影是在幾何投影的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的平面球面F（

，

）＝f（x,y）地圖投影的實(shí)質(zhì)就是球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面圖紙上。2地圖投影的變形變形是必然的－－球面不可展變形的分類長度變形(Vμ

)

:（微分線段）長度比μ（投影后與投影前之比）與1的差值（主比例尺與局部比例尺）面積變形(Vp

)：（微分圓）面積比P與1的差值角度變形：投影后與投影前角度之差ω變形的表示

變形橢圓、等變形線復(fù)式比例尺示意圖變形橢圓等變形線二、簡單投影所謂簡單投影是指繼承了幾何投影的基本特征，經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡單、變形規(guī)律亦不復(fù)雜的投影。1方位投影2圓錐投影3圓柱投影1方位投影

方位投影即平面投影。特性：從投影中心向各個(gè)方向引出的方向線投影后方位不變。平面與球面相切或相割出無變形，故稱標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)或標(biāo)準(zhǔn)線。等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。常見方位投影及其特征方位（角）的概念從北方起算順時(shí)針方向到某方向線繞過的角度稱為該方向線的方位角。

（0°－360°）OBA

從北方或南方順時(shí)針或逆時(shí)針到某方向線繞過的角度稱為該方向線的象限角。（0°－90°）BA

CDNEWSN常見方位投影及其特征（1）經(jīng)緯網(wǎng)的形狀（2）經(jīng)緯距的變化規(guī)律（3）變形規(guī)律（4）常見投影及其用途（1）經(jīng)緯網(wǎng)的形狀正軸方位投影橫軸方位投影斜軸方位投影緯線為同心圓經(jīng)線為放射直線中央經(jīng)線與赤道為互相垂直的直線，其余經(jīng)線為對稱中經(jīng)的曲線，其余緯線為對稱赤道的曲線（2）經(jīng)緯距的變化規(guī)律以正軸為例緯距心射：急劇擴(kuò)大正射：急劇縮小平射：逐漸擴(kuò)大等角即平射等積：逐漸縮小等距：相等（3）變形規(guī)律切點(diǎn)或割線無變形等變形線以投影中心為圓心呈同心圓分布。（4）常見投影及其用途正軸等積方位投影－－南北兩極圖橫軸等積方位投影－－東西半球圖斜軸等積方位投影－－水陸半球圖斜軸等距方位投影－－航空圖

等距：指從投影中心向各個(gè)方向長度變形為零。2圓錐投影（1）經(jīng)緯網(wǎng)的特征經(jīng)線為放射直線；緯線為同心圓。等距：緯距相等。等積：緯距從圖幅中央向南北逐漸縮小。等角：緯距從圖幅中央向南北逐漸擴(kuò)大。（2）變形規(guī)律切線或割線為標(biāo)準(zhǔn)線，無變形。等變形線以投影中心為圓心呈同心圓分布。正軸時(shí)等變形線平行與緯線。（3）常見圓錐投影及其用途等積割圓錐投影－－中國政區(qū)圖。標(biāo)準(zhǔn)緯線分別為25°、45°（47°）等角割圓錐投影－－小比例尺地形圖。標(biāo)準(zhǔn)緯線

1＝

N-35′

2＝

S+35′兩條邊緯與中央緯線長度變形絕對值相等。三、圓柱投影（1）經(jīng)緯網(wǎng)特征（2）常見投影的特征及其用途墨卡托投影－－正軸等角切圓柱投影經(jīng)緯網(wǎng)形狀：經(jīng)緯距變化規(guī)律：緯距從赤道向兩極急劇擴(kuò)大。特性：等角航線投影為直線用途：制作航海圖高斯－－克呂格投影即橫軸等角切（橢）圓柱投影經(jīng)緯網(wǎng)形狀：經(jīng)緯距變化規(guī)律：中央經(jīng)線上緯距相等；赤道上經(jīng)距從中央經(jīng)線向東西擴(kuò)大。特點(diǎn)：常采用分帶投影用途：我國大、中比例尺地形圖空間斜軸墨卡托(SOM)投影該投影是美國針對陸地衛(wèi)星對地面掃描圖像的需要設(shè)計(jì)的一種近似等角性質(zhì)的投影。SOM投影是使圓柱與球面相切于星下線（星下點(diǎn)的連線）而成的。由于地球的自轉(zhuǎn)，以及衛(wèi)星沿軌道運(yùn)動(dòng)，因此該投影不僅是地面點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，也是時(shí)間的函數(shù)。隨著時(shí)間的變化，圓柱與地球兩軸的關(guān)系也在發(fā)生變化。SpaceObliqueMocator簡單投影小結(jié)經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡單變形規(guī)律簡單：等變形線分別為平行直線、同心圓弧、同心圓共性明顯經(jīng)緯網(wǎng)形狀：經(jīng)緯距變化規(guī)律：等距：投影為直線的經(jīng)線上緯距相等等積：投影為直線的經(jīng)線上緯距縮小等角：投影為直線的經(jīng)線上緯距擴(kuò)大三、復(fù)雜投影在簡單投影的基礎(chǔ)上附加一些條件使其適于制作較大范圍的地圖。復(fù)雜投影的經(jīng)緯網(wǎng)形狀及其變形規(guī)律都相對較復(fù)雜。復(fù)雜投影可以分為偽投影、多圓錐投影兩大類。1.偽投影所謂偽投影一般是指在正軸簡單投影的基礎(chǔ)上，保持緯線的形狀不變，而經(jīng)線改變?yōu)閷ΨQ曲線，以滿足某種投影條件的投影。正軸方位

偽方位正軸圓錐

偽圓錐正軸圓柱

偽圓柱（1）偽圓錐投影－－彭納投影投影條件：

P＝1，即面積變形為零

n＝1，即所有緯線的長度變形為零

m0＝1，即中央經(jīng)線的長度變形為零經(jīng)緯網(wǎng)特征及其變形情況：用途：小比例尺大洲圖（2）偽圓柱投影之一桑生投影－－正弦曲線等積偽圓柱投影投影條件：

P＝1，即面積變形為零

n＝1，即所有緯線的長度變形為零

m0＝1，即中央經(jīng)線的長度變形為零經(jīng)緯網(wǎng)特征及其變形規(guī)律：用途：赤道附近小比例尺圖（如非洲、南美洲）（3）偽圓柱投影之二摩爾威特投影－－橢圓曲線等積偽圓柱投影投影條件：

P＝1，即面積變形為零全球投影在與地球表面積相等的橢圓內(nèi)，橢圓的長半軸a=2√2R，短半徑b=√2R。經(jīng)緯網(wǎng)特征及其變形規(guī)律：用途：世界地圖、半球圖（4）偽圓柱投影之三古德投影－－為了減少遠(yuǎn)離中央經(jīng)線部分的變形，美國地理學(xué)家古德提出：在整個(gè)制圖區(qū)域幾個(gè)主要部分中央都設(shè)置一條中央經(jīng)線，分別進(jìn)行投影，則全圖就分成幾瓣，個(gè)瓣沿赤道連接起來。古又稱分瓣投影。經(jīng)緯網(wǎng)特征：用途：世界地圖2.多圓錐投影狹義的多圓錐投影是指用多個(gè)不同錐頂角的圓錐與地球相切，并獲得若干以各標(biāo)準(zhǔn)緯線為中心的投影帶，然后將這些投影帶沿著某一經(jīng)線連接起來。由于圓錐頂點(diǎn)不是一個(gè)，所以緯線投影為同軸圓弧。廣義的多圓錐投影即指緯線為同軸圓弧的投影。多圓錐投影的構(gòu)成1.普通多圓錐投影投影條件：m0=1，n=1變形情況：屬于任意投影，中央經(jīng)線是一條沒有變形的線，離開中央經(jīng)線愈遠(yuǎn)變形愈大。經(jīng)緯網(wǎng)特征：用途：地球儀2.等差分緯線多圓錐投影該投影是中國地圖出版社于1963年設(shè)計(jì)的一種任意性質(zhì)的，不等分緯線的多圓錐投影。經(jīng)緯網(wǎng)特征及變形情況：用途：世界地圖復(fù)雜投影小結(jié)復(fù)雜投影偽投影多圓錐投影彭納投影（偽園錐）桑生投影（正弦曲線偽圓柱）摩爾威特投影（橢圓曲線偽圓柱）普通多圓錐投影等差分緯線多圓錐投影等分緯線不等分緯線大洲圖世界圖地球儀世界圖四、地圖投影的選擇與辨認(rèn)1.地圖投影的選擇（1）選擇投影的一般原則經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡單制圖區(qū)域內(nèi)變形較小，且分布均勻

選擇合適的投影中心、中央經(jīng)線、標(biāo)準(zhǔn)緯線前蘇聯(lián)科學(xué)家契比雪夫說過：能使制圖區(qū)域邊界保持同一長度比的投影是最合適的投影。（2）影響投影選擇的基本因素（2）影響投影選擇的基本因素地圖內(nèi)容及其用途制圖區(qū)域大小制圖區(qū)形狀和地理位置其它因素：出版方式、資料情況等2.地圖投