第一章集合與函數(shù)概念1.1集合1.1.1集合的含義與表示第1課時(shí)集合的含義1.元素與集合(1)定義與表示:必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是集合?什么是元素?元素與集合有著怎樣的關(guān)系?2.常見的數(shù)集有哪些?它們用什么符號(hào)表示?名稱定義表示元素把研究的_____統(tǒng)稱為元素小寫_____字母a,b,c,…集合一些元素組成的_____叫做集合大寫_____字母A,B,C,…對(duì)象拉丁總體拉丁(2)集合相等:指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的.(3)集合中元素的特性:確定性、互異性和無序性.【思考】(1)集合中的“研究對(duì)象”所指的就是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式嗎?提示:集合中的“研究對(duì)象”所指的范圍非常廣泛,可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式,也可以是現(xiàn)實(shí)生活中的各種各樣的事物或人等.(2)“很瘦的人”能構(gòu)成集合嗎?為什么?提示:“很瘦的人”不能構(gòu)成集合.因?yàn)樗鼪]有確定的標(biāo)準(zhǔn).如果給定一個(gè)集合A,一個(gè)研究對(duì)象a是不是這個(gè)集合中的元素就確定了.2.元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素,就說a_____集合Aa___Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A的元素,就說a_______集合Aa__Aa不屬于集合A屬于不屬于∈?【思考】元素與集合之間有第三種關(guān)系嗎?提示:對(duì)于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言,只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果.3.常見的數(shù)集及表示符號(hào)數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)__N*或N+Z__RNQ【思考】N與N+(或N*)有何區(qū)別?提示:N+(或N*)是所有正整數(shù)組成的集合,而N是由0和所有的正整數(shù)組成的集合,所以N比N+(或N*)多一個(gè)元素0.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素. (

)(2)好聽的歌能組成一個(gè)集合. (

)(3)高一(1)班所有姓氏構(gòu)成的集合. (

)(4)含有1,2,3三個(gè)元素的集合有6個(gè). (

)提示:(1)×.集合中的元素是互不相同的.(2)×.好聽的歌是不確定的,所以好聽的歌不能組成一個(gè)集合.(3)√.高一(1)班的姓氏是確定的,所以能構(gòu)成集合.(4)×.因?yàn)榧现械脑貪M足無序性,故含有1,2,3三個(gè)元素的集合只有1個(gè).2.(教材二次開發(fā):P3思考)下列各項(xiàng)中,不能組成集合的是 (

)A.所有的援助武漢新型冠狀病毒疫情的醫(yī)護(hù)人員B.所有的老人C.不等于0的數(shù)D.我國古代四大發(fā)明【解析】選B.“老人”無明確的標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于某個(gè)人是否“老”無法客觀地判斷,因此“所有的老人”不能組成集合.3.用“∈”或“?”填空:________N;-3________Z;________Q;

0________N*;________R.

【解析】由N,Z,Q,R,N*所表示的數(shù)集以及各個(gè)實(shí)數(shù)值,即可得出結(jié)論,依次填寫?,∈,?,?,∈.答案:?∈?

?∈關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一元素與集合的相關(guān)概念(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.下列能構(gòu)成集合的是 (

)A.中央電視臺(tái)著名節(jié)目主持人B.我市跑得快的汽車C.上海市所有的中學(xué)生D.香港的高樓2.以下元素的全體不能構(gòu)成集合的是 (

)A.我班的所有班委會(huì)成員B.周長為10cm的三角形C.方程x2-1=0的實(shí)數(shù)解D.地球上的小河流3.集合P中含有兩個(gè)元素分別為1和4,集合Q中含有兩個(gè)元素1和a2,若P與Q相等,則a=________.

4.判斷下列說法是否正確?并說明理由.(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個(gè)集合.(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合.(3)1,0.5,組成的集合含有四個(gè)元素.(4)接近于0的數(shù)的全體組成一個(gè)集合.【解析】1.選C.A,B,D中研究的對(duì)象不確定,因此不能構(gòu)成集合.2.選D.在A中,我班的班委會(huì)成員具有確定性,能構(gòu)成集合;在B中,周長為10cm的三角形具有確定性,能構(gòu)成集合;在C中,方程x2-1=0的實(shí)數(shù)解為x=±1,能構(gòu)成集合;在D中,地球上的小河流不確定,因此不能構(gòu)成集合.3.由題意,得a2=4,a=±2.答案:±24.(1)中的對(duì)象是確定的,互異的,所以可構(gòu)成一個(gè)集合,故(1)正確;(2)和(4)中的“高科技”“接近于0”都是標(biāo)準(zhǔn)不確定的,所以不能構(gòu)成集合,故(2)(4)錯(cuò)誤;由于0.5=,所以1,0.5,組成的集合含有三個(gè)元素,故(3)錯(cuò)誤.【解題策略】1.一組對(duì)象能構(gòu)成集合的兩個(gè)條件(1)能找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn),使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象,都能確定它是不是給定集合的元素.(2)任何兩個(gè)對(duì)象都是不同的.2.集合相等的注意點(diǎn)若兩個(gè)集合相等,則這兩個(gè)集合的元素相同,但是要注意其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法正確的個(gè)數(shù)為 (

)(1)所有的等腰三角形構(gòu)成一個(gè)集合.(2)倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合.(3)質(zhì)數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合.(4)由2,3,4,3,6,2構(gòu)成含有6個(gè)元素的集合.A.1

B.2

C.3

D.4【解析】選C.(1)正確.(2)正確,若=a,則a2=1,所以a=±1,構(gòu)成的集合為{1,-1}.(3)正確,任何一個(gè)質(zhì)數(shù)都在此集合中,不是質(zhì)數(shù)的都不在.(4)不正確,集合中的元素具有互異性,構(gòu)成的集合為{2,3,4,6},含有4個(gè)元素.類型二元素與集合的關(guān)系(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成,則有 (

)A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.-1?A2.由不超過5的實(shí)數(shù)組成集合A,a=,則 (

)A.a∈A B.a2∈AC.?A D.a+1?A3.已知集合A含有三個(gè)元素1,0,x,若x2∈A,則實(shí)數(shù)x=________.

4.已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的數(shù)組成的,判斷是不是集合A中的元素?【解析】1.選C.很明顯3,1不滿足不等式,而0,-1滿足不等式.2.選A.a==4<5,所以a∈A.a+1<+1=5,所以a+1∈A,a2=所以a2?A,

所以∈A.3.因?yàn)閤2∈A,所以x2=1,或x2=0,或x2=x,所以x=±1,或x=0.當(dāng)x=0或x=1時(shí)不滿足集合中元素的互異性,所以x=-1.答案:-14.是.因?yàn)?此時(shí)m=2,n=1,滿足集合A中數(shù)的構(gòu)成形式.所以是集合A中的元素.【解題策略】判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法.①使用前提:集合中的元素是直接給出的;②判斷方法:首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成,然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.(2)推理法.①使用前提:對(duì)于某些不便直接表示的集合;②判斷方法:首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.設(shè)A是方程x2-ax-5=0的解組成的集合,且-5∈A,則實(shí)數(shù)a的值為 (

)A.-4 B.4 C.1 D.-1【解析】選A.因?yàn)?5∈A,所以(-5)2-a×(-5)-5=0,所以a=-4.2.已知集合A中元素x滿足-≤x≤,且x∈N*,則必有 (

)A.-1∈A B.0∈A C.∈A D.1∈A【解析】選D.x∈N*,且-≤x≤,所以x=1,2.所以1∈A.類型三集合中元素的特性(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)角度1依據(jù)元素的特性求參數(shù)值

【典例】已知集合A含有兩個(gè)元素a-3和2a-1,(1)若-3∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.(2)若a∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.【思路導(dǎo)引】(1)從-3∈A,列方程求a的值,再檢驗(yàn)元素的互異性.(2)從a∈A,列方程求a的值,再檢驗(yàn)元素的互異性.【解析】(1)因?yàn)?3∈A,所以a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,則a=0.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-3,-1,符合題意.若2a-1=-3,則a=-1.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-4,-3,符合題意.綜上所述,滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或-1.(2)因?yàn)閍∈A,所以a-3=a或2a-1=a.當(dāng)a-3=a時(shí),有-3=0,不成立.當(dāng)2a-1=a時(shí),有a=1,此時(shí)A中有兩個(gè)元素-2,1,符合題意.綜上知a=1.【變式探究】若本例(1)-3∈A改為-3?A,試求a的取值范圍.【解析】因?yàn)?3?A,所以-3≠a-3,且-3≠2a-1,且a-3≠2a-1.解得:a≠0,且a≠-1,且a≠-2.所以a的取值范圍為a≠0,且a≠-1,且a≠-2.角度2依據(jù)元素的特性求集合中的元素

【典例】若a,b∈R,且a≠0,b≠0,則的可能取值所組成的集合中元素的個(gè)數(shù)為________.

【思路導(dǎo)引】從與,可分類討論a與b的正負(fù)值,求解.【解析】當(dāng)a,b同正時(shí),=1+1=2.當(dāng)a,b同負(fù)時(shí),=-1-1=-2.當(dāng)a,b異號(hào)時(shí),=0.所以的可能取值所組成的集合中元素共有3個(gè).答案:3【解題策略】1.根據(jù)集合中元素的特性求值的三個(gè)步驟2.依據(jù)元素的特性求集合中的元素的兩點(diǎn)注意一點(diǎn)是解決含有字母的問題,常用到分類討論的思想,在進(jìn)行分類討論時(shí),務(wù)必明確分類標(biāo)準(zhǔn).二點(diǎn)要注意集合中元素的互異性,忽視互異性往往會(huì)產(chǎn)生不合條件的解的情形.【題組訓(xùn)練】1.用“book”中的字母構(gòu)成的集合中元素個(gè)數(shù)為 (

)A.1 B.2 C.3 D.42.若集合M中的三個(gè)元素是△ABC的三邊長,則△ABC一定不是 (

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形3.設(shè)集合A中含有三個(gè)元素3,x,x2-2x.(1)求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足的條件.(2)若-2∈A,求實(shí)數(shù)x.【解析】1.選C.由集合中元素的互異性可知,該集合中共有“b”“o”“k”三個(gè)元素.2.選D.由集合中元素的互異性可知,集合中的任何兩個(gè)元素都不相同,所以△ABC一定不是等腰三角形.3.(1)由集合中元素的互異性可知,x≠3,且x≠x2-2x,x2-2x≠3.解之得x≠-1且x≠0,且x≠3.(2)因?yàn)?2∈A,所以x=-2或x2-2x=-2.由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x=-2.【拓展延伸】集合中元素的特性的主要作用(1)確定性的主要作用是判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合,只有這種對(duì)象具有確定性時(shí)才能構(gòu)成集合.(2)無序性的主要作用是驗(yàn)證集合相等與否.當(dāng)兩個(gè)集合相等時(shí),其元素不一定依次對(duì)應(yīng)相等,只要元素完全一致即可.(3)互