2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專(zhuān)題106講》含答案27.min，max函數(shù)與最值嵌套27.Max，min函數(shù)在高考中的應(yīng)用一．基本命題原理.是我們?cè)谥袑W(xué)階段常見(jiàn)的兩個(gè)函數(shù)，雖未出現(xiàn)在課本單獨(dú)的章節(jié)予以講解，但在新教材的例題中已經(jīng)見(jiàn)其身影.這兩個(gè)函數(shù)可以與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考察學(xué)生的分類(lèi)討論能力，也可在聯(lián)賽中和不等式題目結(jié)合，著重考察對(duì)不等式結(jié)構(gòu)的感知與把握.然而，尚有很多學(xué)生對(duì)這兩類(lèi)函數(shù)不知所措.特別是在九省聯(lián)考后，由于命題人選用其打造了九省聯(lián)考的14題，所以近兩個(gè)月以來(lái)相關(guān)題目層出不窮.因此，本文針對(duì)上述現(xiàn)象，選擇合適的題目，展示處理此類(lèi)函數(shù)時(shí)的分類(lèi)討論思想和基本處理方法.二．基本命題手法（凌晨講數(shù)學(xué)）在處理含函數(shù)的問(wèn)題中，核心思想任然是去掉這個(gè)符號(hào)，基于問(wèn)題呈現(xiàn)的不同方式，我將其總結(jié)為兩個(gè)具體的方面.1.單個(gè)最值符號(hào)問(wèn)題，此時(shí)我們可以通過(guò)分類(lèi)討論去掉，即：，所以就轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大小關(guān)系的比較.（1）之間通過(guò)代數(shù)關(guān)系作差比較大?。唬?）借助函數(shù)圖像，作圖后實(shí)現(xiàn)大小比較.利用數(shù)形結(jié)合，這也是新教材中相關(guān)例題的處理方法對(duì)于雙重最值分類(lèi)討論去符號(hào)就變得復(fù)雜，此時(shí)可以有兩個(gè)方法：（1）借助該函數(shù)的最值性去掉該符號(hào).（2）探尋幾何意義（切比雪夫最佳逼近）二．典例分析★1.利用最值性去符號(hào)例1.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為_(kāi)________．解析：設(shè),，則①，②，③，所以由②+③可得④，由①+④可得：⑤，當(dāng)時(shí)，代入⑤可得：.當(dāng)且僅當(dāng)取到.由①+④得,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)解得時(shí),等號(hào)成立.綜上.故的最小值為.例2.（2021四川預(yù)賽）設(shè)，，則的最小值為_(kāi)____..解析：，故，當(dāng)且僅當(dāng)取到.注.此題中，要使用函數(shù)的基本定義，即最大值或最小值來(lái)去掉符號(hào)轉(zhuǎn)化為普通的不等式求值.（凌晨講數(shù)學(xué)）例3．以表示數(shù)集中最大（小）的數(shù).設(shè)，已知，則________解析：由，得，設(shè)，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以.例4．定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．解析：設(shè)，則，得，設(shè)，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A★2.分類(lèi)討論取符號(hào)例5.已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)，則，令函數(shù)，由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)，恒有，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖1，

觀察圖象知，當(dāng)，即時(shí)，直線與（凌晨講數(shù)學(xué)）函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).如圖2，直線過(guò)點(diǎn)，它與的圖象交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，

圖1圖2當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A例6．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知函數(shù)（1）當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解析：（1）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得．因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線．（2）當(dāng)時(shí)，，從而，∴在無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（?。┤艋颍瑒t在無(wú)零點(diǎn)，故在單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在無(wú)零點(diǎn)．（ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=．①若，即＜，（凌晨講數(shù)學(xué)）在無(wú)零點(diǎn)．②若=0，即，則在有唯一零點(diǎn)；③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．例7.記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________．解析：依題意，畫(huà)出符合題意的函數(shù)圖象，由圖可知，當(dāng)取到最大值時(shí)滿(mǎn)足，解得，故的最大值為.故答案為：.例8．用表示中的最小數(shù)．已知函數(shù)，則的最大值為(

)A． B． C． D．ln2解析：∵，∴，根據(jù)導(dǎo)數(shù)易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；由題意令，即，解得；作出圖象：

則的最大值為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值為．故選：C．三．習(xí)題演練1．已知函數(shù)（），.記表示中的最小者，設(shè)函數(shù)（），若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.解析：當(dāng)時(shí)，，則，則在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，若，則，，則不是的實(shí)數(shù)解，若，則，因此，則是的實(shí)數(shù)解；（凌晨講數(shù)學(xué)）當(dāng)時(shí)，，則只需討論在區(qū)間的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，由，得，即問(wèn)題等價(jià)于與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由于，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合在區(qū)間上的圖象知，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：2．以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為_(kāi)________.解析：令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，若，則，即，，則,故,則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，如取時(shí)可滿(mǎn)足等號(hào)成立，（凌晨講數(shù)學(xué)）綜上可知的最小值為，故答案為：3.保值區(qū)間背景下的導(dǎo)數(shù)（函數(shù)）壓軸一．基本原理1.保值(倍值)區(qū)間的定義:對(duì)于區(qū)間,若函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí),其值域也為,則稱(chēng)該區(qū)間為的保值區(qū)間;若時(shí),其值域?yàn)?則稱(chēng)為“倍值函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的“倍值區(qū)間”.2.一般解法（1）函數(shù)在在區(qū)間上一定是單調(diào)遞增的，值域是．則由方程組，得到是方程在函數(shù)定義域內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，然后利用函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的判斷方法進(jìn)行處理；（2）函數(shù)在在區(qū)間上一定是單調(diào)遞減的，值域是．則由方程組，得到是方程在函數(shù)定義域內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，然后利用函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的判斷方法進(jìn)行處理.二．典例分析例1．設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故，故在區(qū)間上遞增，又∵，故在上單調(diào)遞增．∴在上的值域?yàn)椋帧呱系闹涤蚴?，故，，存在區(qū)間滿(mǎn)足題意，等價(jià)于方程在上至少有兩個(gè)不等正根，分離參數(shù)得，令，則題意等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線的圖象至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．，得，由得，當(dāng)?shù)?，得在遞減，在遞增，又∵當(dāng)時(shí)，，趨近于時(shí)，趨近于．∴題意等價(jià)于，∵，，，故選：B．例2．對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則稱(chēng)為倍值函數(shù)．若是倍值函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：∵，定義域?yàn)椋瘮?shù)在上為增函數(shù)，∴由題意有，，，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴，令，則，由得，由得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在處取得極大值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)方程有兩個(gè)不同的解，∴的取值范圍為，故選：C．例3．函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖陂]區(qū)間，使得函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足：在上是單調(diào)函數(shù)且在上的值域?yàn)?，則稱(chēng)區(qū)間為的“倍值區(qū)間”.現(xiàn)有如下四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④.那么上述四個(gè)函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①為增函數(shù)，若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，即無(wú)零點(diǎn)，所以不存在“倍值區(qū)間”，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②在上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則，所以，解得.所以函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，故②正確；對(duì)于③函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，所以在定義域上存在兩個(gè)零點(diǎn)，方程有解，其中，，所以函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，故③正確；對(duì)于④，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，故在上不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”，故④錯(cuò)誤；故選：B例4．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿(mǎn)足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋ㄆ渲?，則稱(chēng)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.（1）證明：函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”；（2）若存在，使函數(shù)為上的“倍縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋@然有，所以函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的“倍縮函數(shù)”，則函數(shù)在上的值域?yàn)?，于是得，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，因此，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）常數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋⑶?，假定存在?shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，由，及知，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，即，若，即，則函數(shù)在區(qū)間上的值域中有數(shù)0，矛盾，若，即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，有，即，整理得，顯然無(wú)解，若，即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，有，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根且，而方程，于是得方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，從而，解得，而，即有，解方程得：，所以當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”，，當(dāng)時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.例5.（2025屆蘇錫常鎮(zhèn)高三一模）我們把稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度．若函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且存在，使得，則稱(chēng)為的自映射區(qū)間．已知函數(shù)，．（1）若，任取的一個(gè)自映射區(qū)間，求其區(qū)間的長(zhǎng)度的概率；（2）若存在自映射區(qū)間，①求的取值范圍；②求證：，且的長(zhǎng)度．解析：（1）因?yàn)楹愠闪?，則在上單調(diào)遞增，若存在自映射區(qū)間，則，即方程，即至少有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解．則的解集為，所以區(qū)間的選擇共有種．若，共有6種選擇，所以區(qū)間的長(zhǎng)度的概率為．（