2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講》含答案37.代數(shù)學(xué)基本定理及應(yīng)用37.代數(shù)學(xué)基本定理及應(yīng)用一．基本原理1.三次方程根與系數(shù)得關(guān)系（1）已知實系數(shù)多項式有三個根,設(shè)為（2）由三次方程根與系數(shù)的關(guān)系：2.復(fù)系數(shù)多項式的個復(fù)根為,則證明：由多項式的因式分解定理知道于是比較系數(shù)可以得到韋達(dá)定理.（注意：或者用排列組合方法亦可證明）.3.★一個非常重要的技巧：先猜（看）根，再分解.很多題目中（特別是多項式），命題人往往都會給到一個看得出來的零點，此時我們就可以做這樣的因式分解，舉個例子：求的零點.可以發(fā)現(xiàn)是方程的一個實數(shù)根,所以是多項式的一個因式,因此,設(shè)1),又通過展開整理,所以.對比系數(shù)可得：,解得.綜上所述,原式，故而求得的零點.（凌晨講數(shù)學(xué)）二．典例分析例1．已知函數(shù)有兩個零點，則可設(shè)，由，所以，，這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也稱韋達(dá)定理，設(shè)多項式函數(shù)，根據(jù)代數(shù)基本定理可知方程有個根，則（

）A． B． C． D．解析：由題意知：，；，.故選：C.例2．（多選題）代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它在代數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用．由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）．若，記為方程的一個虛數(shù)根，則（

）A． B．C． D．解析：令，得或，由，得，所以，則，所以是的兩個復(fù)數(shù)根，對于A，因為為方程的一個虛數(shù)根，即滿足，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，因為與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故C正確；對于D，由，得，若，則，若，則，綜上：，故D正確.故選：ACD.例3．（多選題）早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究過程中得到一個代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程至少有一個復(fù)數(shù)根請借助代數(shù)基本定理解決下面問題：設(shè)實系數(shù)一元四次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．解析：由題設(shè)知：，∴，∴∴，.故選：AC例4．我們把（其中）稱為一元次多項式方程.代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程（即為實數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個復(fù)數(shù)根；由此推得，任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計算）.那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為個一元一次多項式的積.即，其中，為方程的根.進(jìn)一步可以推出：在實系數(shù)范圍內(nèi)（即為實數(shù)），方程有實數(shù)根，則多項式必可分解因式.例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，.（1）在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程：；（2）設(shè)，其中，且.（i）分解因式：；（ii）記點是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點最近的交點.求證：當(dāng)時，.解析：（1）觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，即有解得，即，令，則，即該方程的根為：、；（2）（i）觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，則有，即，即；（ii）令，即，即，設(shè)，由，有，故函數(shù)必有兩個不同零點，設(shè)，且，則，故，又，故，則方程的根有，且，故的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點最近的交點的橫坐標(biāo)為，即.例5．函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的對稱中心為，求函數(shù)的解析式．（2）由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集中可以分解為個一次因式的乘積．進(jìn)而，一元次多項式方程有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）．如設(shè)實系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述推理方法可得實系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系．①若，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，當(dāng)時，求的最大值；②若，函數(shù)的零點分別為，求的值.解析：（1）由為奇函數(shù)，則恒成立.即，整理得：恒成立，故，解得，故.（凌晨講數(shù)學(xué)）（2）①若，則，由題有的三個實根為.設(shè)，展開得，故，則，又，故，綜上：當(dāng)時，的最大值為；②時，，由有，同時除以得，令，，，由題知是方程的三個根，則，展開得，，則.例6．材料一：我們可以發(fā)現(xiàn)這樣一個現(xiàn)象：隨機(jī)生成的一元多項式，在復(fù)數(shù)集中最終都可以分解成一次因式的乘積，且一次因式的個數(shù)（包括重復(fù)因式）就是被分解的多項式的次數(shù).事實上，數(shù)學(xué)中有如下定理：代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程至少有一個復(fù)數(shù)根.材料二：由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集中可以分解為個一次因式的乘積.進(jìn)而，一元次多項式方程有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）.下面我們從代數(shù)基本定理出發(fā)，看看一元多項式方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系.設(shè)實系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，容易得到，設(shè)實系數(shù)一一元三次方程①，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，可以得到，方程①可變形為，展開得：②，比較①②可以得到根與系數(shù)之間的關(guān)系：，閱讀以上材料，利用材料中的方法及學(xué)過的知識解決下列問題：（1）對于方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，求的值；（2）如果實系數(shù)一元四次方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，試找到根與系數(shù)之間的關(guān)系；（3）已知函數(shù)，對于方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，當(dāng)時，求的最大值.（凌晨講數(shù)學(xué)）解析：（1）由閱讀材料可知：，且有：；（2）由材料可知：一元四次方程可改寫為展開得：，故可得：（3）由題有的三個實根為.設(shè)，展開得，故，則，又，故，綜上：當(dāng)時，的最大值為-3；下面我們來討論代數(shù)學(xué)基本定理與因式分解技巧在三次函數(shù)中的應(yīng)用，就以兩道高考真題為例.例7．（2020年全國3卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線與軸垂直．（1）求．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．解析：（1）因為，由題意，，即：，則．（2）（方法1.導(dǎo)數(shù)討論）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，即或.當(dāng)時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點的絕對值都不大于1.（方法2.三次方程因式分解）設(shè)是的一個零點，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時，），進(jìn)而有，所以的所有零點的絕對值均不大于1．例8.（2021年新高考2卷）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（凌晨講數(shù)學(xué)）（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．解析：（1）.（2）（方法1.求導(dǎo)討論）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當(dāng)時，.（方法2.因式分解）注意到為函數(shù)的一個零點,那么，令則二次函數(shù)的對稱軸為.注意到當(dāng)時,,則的正實根,所以.當(dāng)時,,則的正實根,所以.意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于38.平面向量一輪備考策略研究一．基礎(chǔ)款，送分題例1．（2023年新高考1卷高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．解析：因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．例2．（2023年新高考2卷高考真題）已知向量，滿足，，則__________．解析：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.例3．（2023年甲卷高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．解析：因為,所以,即,即,所以.設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.(2022新高考全國2卷)已知向量，若，則()A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得．故選C．(2022新高考全國1卷)在中，點D在邊AB上，．記，則()A． B． C． D．解析：因點D在邊AB上，，所以，即，所以，故選：B．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理))已知向量滿足，則()A． B． C．1 D．2解析：∵，又∵∴9，∴，故選：C．例7．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)·第13題)設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．解析：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．二．壓軸題例8.（2023年全國乙卷）已知的半徑為1,直線與相切于點,直線與交于兩點,為的中點,若,則的最大值為（）A. B. C. D.解析：（方法1）如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得，當(dāng)點位于直線異側(cè)時，設(shè)，則：，，則，當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當(dāng)時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.（方法2：坐標(biāo)法）建立平面直角坐標(biāo)系,以為坐標(biāo)原點,圓的方程為,與軸切于點.設(shè)過點的直線方程為交圓于,中點,由，得,由韋達(dá)定理得,由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,故選A.例9．（2017年2卷）已知是長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是() B． C． D．解析：（方法1.幾何法）設(shè)點為中點，可得，再設(shè)中點為，這樣用極化恒等式可知：，在等邊三角形中，，故取最小值當(dāng)且僅當(dāng)取最小，即，故.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）（方法2.坐標(biāo)法）以中點為坐標(biāo)原點，由于，，．設(shè)，，，，故，則其最小值為，此時，．例10.（2017年3卷）在矩形中，，點在以為圓心且與相切的圓上，若，求的最大值.解析：（方法1：等和線）如圖，由等和線性質(zhì)可知，，顯然，當(dāng)?shù)钠叫芯€與圓在最上方相切時，取最大，顯然此時，直線的方程為，故可取為點到直線的距離.由于的平行線與圓相切，故可得的方程為，那么取為點到直線的距離.這樣就可得到.（方法2：坐標(biāo)法）設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足題意則，，所以，設(shè)，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，則的最大值是3.感悟.在處理平面向量范圍問題時，坐標(biāo)法是通性通法，這一點需要注意，盡管我們在此處給了相關(guān)問題的實質(zhì)背景，但是，不可否認(rèn)坐標(biāo)法的使用范圍更為廣闊！三.平面向量的四大進(jìn)階教程3.1等和線定理1.（三點共線向量結(jié)論）若三點共線，則當(dāng)且僅當(dāng).2.等和線定理進(jìn)一步，如圖所示，若，由于點在直線上的任意性可知，點所動成的直線平行于直線，且直線上任意一點都滿足，故稱直線為等和線.此時相似于，因此，我們就可以取特殊情形，即過三點的直線分別垂直于，時，計算.除此，上述推導(dǎo)還告訴我們：對于不共線向量,若，則（1）點在直線外側(cè)（不含點一側(cè)）的充要條件是．（2）點在直線內(nèi)側(cè)（含點一側(cè)）的充要條件是.3.2極化恒等式人教版必修二第22頁練習(xí)3設(shè)置了這樣的問題：求證：.若我們將這個結(jié)論進(jìn)一步幾何化，就可以得到一把處理數(shù)量積范圍問題的利器：極化恒等式.下面我先給出這道習(xí)題的證明，再推出該恒等式.證明：由于，兩式相減可得：.特別，在中，設(shè)，點為中點，再由三角形中線向量公式可得：(極化恒等式).3.3投影法計算數(shù)量積結(jié)論：如圖1，，特別地，若點在線段的中垂線上時，.如圖1如圖2進(jìn)一步，外心性質(zhì)：如圖2，為的外心，可以證明：（1）.；，同理可得等.（2）.，同理可得等.（3）.，同理可得等.證明:例11.已知是的外心，，，則（

）A．10 B．9 C．8 D．6解析：如圖，O為的外心，設(shè)為的中點，則,故,故選：A例12．在邊長為4的菱形中，，為中點，為平面內(nèi)一點，若，A．16 B．14 C．12 D．8解析：由可得：，故在中垂線上，由投影的定義可得：.再根據(jù)余弦定理可得：，故可得選B.4.向量隱圓例13.已知向量滿足，且與的夾角為，則的