第39講空間直角坐標(biāo)系與空間向量第七章立體幾何202X/01/01匯報人：鏈教材·夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1．(人A選必一P22練習(xí)T3改)已知點M在z軸上，且點M到點A(1,0,2)與到點B(1，－3，1)的距離相等，則點M的坐標(biāo)是 (

)A．(0,0,3) B．(0,0,2)C．(0,0，－2) D．(0,0，－3)【解析】D2【解析】C3．已知直線l的一個方向向量為m＝(x，2，－5)，平面α的一個法向量為n＝(3，－1，2)，若l∥α，則x等于 (

)A．－6 B．6C．－4 D．4【解析】由題知m·n＝3x－2－10＝0，可得x＝4．D4．(人A選必一P21練習(xí)T1改編)已知a＝(－3，2,5)，b＝(1,5，－1)，則3a－b＝_____________，a·b＝_____．【解析】因為a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，所以3a－b＝(－9,6,15)－(1,5，－1)＝(－10,1,16)，a·b＝－3＋10－5＝2．(－10,1,16)2【解析】101．

空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間中兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得_________．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：______________，其中x，y∈R，a，b為不共線的向量．(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得__________________，{a，b，c}叫做空間中的____________．a(chǎn)＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc一個基底2．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b______________________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)____________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)________________________模|a|夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝03．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝04．

證明空間四點共面的方法對空間四點P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點共面：研題型·能力養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1空間向量的線性運(yùn)算及共線、共面定理【解析】1－1【解答】1－2【解答】1－2應(yīng)用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較目標(biāo)2空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°．(1)求AC1的長；2【解答】如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°．(2)求證：AC1⊥BD；2【解答】如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°．(3)求BD1與AC夾角的余弦值．2【解答】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．變式2

(人A選必一P14練習(xí)T2)如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，則BC′與CA′所成角的余弦值為_____．【解析】0目標(biāo)3利用空間向量證明平行與垂直問題如圖，在直三棱柱ADE－BCF中，側(cè)面ABFE和側(cè)面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點，O為DF的中點．(1)求證：OM∥平面BCF；3【解答】如圖，在直三棱柱ADE－BCF中，側(cè)面ABFE和側(cè)面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點，O為DF的中點．(2)求證：平面MDF⊥平面EFCD．3【解答】(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．變式3如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1．

【解答】變式3如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，請說明理由．【解答】【解析】【答案】BA．EF⊥BD B．EC1∥平面ABFC．EF⊥平面B1CD1 D．直線EF與直線BD1異面【解析】【答案】AB3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD所成角為30°．(1)求證：CM∥平面PAD；

【解答】由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為PC⊥平面ABCD，所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°．3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD所成角為30°．(2)求證：平面PAB⊥平面PAD．【解答】配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、單項選擇題1．已知向量a＝(－2,1,3)，b＝(－1,3,2)，c＝(1，t，－1)共面，則實數(shù)t的值是 (

)A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】因為a，b，c共面，所以存在x，y∈R，使得c＝xa＋yb，整理得(1，t，－1)＝(－2x－y，x＋3y,3x＋2y)，解得x＝－1，y＝1，t＝2．C2．(2024·蘇中蘇北七市二調(diào))在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列關(guān)系正確的是 (

)A．AD⊥B1C B．A1D⊥BDC．AC1⊥A1C

D．AC1⊥CD1【解析】【答案】D【解析】【答案】D4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，設(shè)BC1與B1C相交于點O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，則線段AO的長度為 (

)【解析】【答案】A二、多項選擇題5．(2024·鎮(zhèn)江期初)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，則下列說法正確的 (

)A．四邊形B1BDD1為矩形【解析】【答案】ABD【解析】【答案】ACD【解析】圖(1)圖(2)【答案】ACD三、填空題8．已知正四面體A－BCD的棱長為2，若M，N分別是AB，CD的中點，則線段MN的長為______．【解析】【解析】2【解析】四、解答題11．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，AA1，D1C1的中點，連接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．(1)求證：D1C∥平面EMN；【解答】在長方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2a，0,0)，C(0,2b,0)，B(2a,2b,0)，D1(0,0,2c)，A1(2a,0,2c)，C1(0,2b,2c)，B1(2a，2b,2c)，則M(2