第37講直線與平面垂直的判定與性質(zhì)第七章立體幾何202X/01/01匯報人：鏈教材·夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1．(人A必二P162習(xí)題T1(2)改)已知直線m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的 (

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解析】

n?α，m⊥n不能推出m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n?α，則m⊥n，必要性成立．故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分條件．/B2．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，則下列命題為真命題的是 (

)A．若m?β，α⊥β，則m⊥α B．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥β，m∥α，則α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ【解析】對于A，若m?β，α⊥β，則m與α相交、平行或m?α，故A錯誤．對于B，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故B錯誤．對于C，若m⊥β，m∥α，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確．對于D，若α⊥γ，α⊥β，則β與γ相交或平行，故D錯誤．C3．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在 (

)A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部【解析】連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1．因為AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．A4．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，則A1C與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值為

(

)【解析】B5．(人A必二P152T4練習(xí)改)已知點P為邊長為a的正三角形ABC所在平面外一點且PA＝PB＝PC＝a，則點P到平面ABC的距離為_______．【解析】1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：兩條相交直線垂直平行2．直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在________________所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．(2)范圍：__________．平面上的射影3．空間距離(1)點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離．(2)直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．(3)兩個平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．4．常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．研題型·能力養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1與線、面垂直相關(guān)命題的判定

(2024·唐山二模)已知m為平面α外的一條直線，則下列說法中正確的是

(

)A．存在直線n，使得n⊥m，n⊥α B．存在直線n，使得n⊥m，n∥αC．存在直線n，使得n∥m，n∥α D．存在直線n，使得n∥m，n⊥α1【解析】對于A，當(dāng)直線m與平面α斜交時，此時不存在直線n，使得n⊥m，n⊥α，所以A錯誤；對于B，如圖(1)，當(dāng)m⊥α?xí)r，過直線n作平面β，使得α∩β＝a．因為m⊥α，a?α，所以m⊥a．又因為m⊥n，可得a∥n．因為n?α，a?α，所以n∥α．

圖(1)

如圖(2)，當(dāng)m與平面α斜交時，設(shè)斜足為A，在直線m上取一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接OA，在平面α內(nèi)，過點A作直線a⊥OA．因為a⊥PO，且PO∩OA＝O，PO，OA?平面POA，所以a⊥平面POA．又因為PA?平面POA，所以a⊥PA，即a⊥m．在過a和m確定的平面內(nèi)，過點P作直線n，圖(2)

使得n⊥m，所以n∥a．因為n?α，a?α，所以n∥α，所以存在直線n，使得n⊥m，n∥α．若直線m∥α，此時存在平面β∥α且m?β，在直線m上取一點Q，在平面β內(nèi)過Q作直線n⊥m，根據(jù)面面平行的性質(zhì)有n∥α，所以B正確；對于C，當(dāng)直線m與平面α相交時，若n∥m，則直線n與平面α必相交，所以C錯誤；對于D，當(dāng)m∥α?xí)r，若n∥m，可得n∥α或n?α，所以D錯誤．【答案】B變式1

(2024·景德鎮(zhèn)三檢)已知a，b是空間內(nèi)兩條不同的直線，α，β，γ是空間內(nèi)三個不重合的平面，則下列說法正確的是 (

)A．若α⊥β，a?α，則a⊥βB．若a⊥β，α⊥β，則a∥αC．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，則a⊥γD．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，則b⊥α或b⊥β【解析】對于A，由α⊥β，a?α，設(shè)α∩β＝l，當(dāng)a∥l時，可得a∥β，故A錯誤；對于B，由a⊥β，α⊥β可得a∥α或a?α，故B錯誤；對于C，如圖，設(shè)α∩γ＝b，β∩γ＝c，在平面α內(nèi)作不與a重合的直線m，使m⊥b，因為α⊥γ，則m⊥γ，因為β⊥γ，m?β，則m∥β，因為α∩β＝a，則m∥a，于是a⊥γ，故C正確；對于D，當(dāng)α⊥β，α∩β＝a，b⊥a時，若b?α，且b?β，則b可以和平面α，β成任意角度，故D錯誤．【答案】C目標(biāo)2線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用

(2024·開封三模節(jié)選)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，給出下列三個論斷：①PC＝PD；②AC⊥PD；③BD⊥平面PAC．以其中的兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并證明．2【解答】

①②?③：如圖，連接AC，BD交于點O，連接OP．因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，故AC⊥平面PBD．又OP?平面PBD，故AC⊥OP．由于OP＝OP，OD＝OC，PD＝PC，故△POD≌△POC，因此OD⊥OP，又OC∩OD＝O，OC，OD?平面ABCD，故OP⊥平面ABCD(可得四棱錐P－ABCD是正四棱錐)．又BD?平面ABCD，故OP⊥BD．又AC⊥BD，AC∩OP＝O，AC，PO?平面PAC，故BD⊥平面PAC．②③?①：如圖，連接AC，BD交于點O，連接OP．因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，故AC⊥平面PBD．又OP?平面PBD，故AC⊥OP．又BD⊥平面PAC，OP?平面PAC，故BD⊥OP，又AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，故OP⊥平面ABCD，結(jié)合底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，所以四棱錐P－ABCD是正四棱錐，故PC＝PD．證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．【解答】目標(biāo)3線面角與點面距的計算3－1【解答】在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC．因為AB?平面ABC，所以PA⊥

AB．因為AB⊥AC，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC．因為PC?平面PAC，所以AB⊥PC．在△PAC中，因為E為PC中點，且PA＝AC，所以AE⊥PC．又因為AB∩AE＝A，AB?平面ABE，AE?平面ABE，所以PC⊥平面ABE．因為AF?平面ABE，所以PC⊥AF．因為AF⊥BE，PC∩BE＝E，PC?平面PBC，BE?平面PBC，所以AF⊥平面PBC．【解答】由(1)知，AF⊥平面PBC，所以AE與平面PBC所成的角為∠AEF．又由(1)知，AB⊥平面PAC，AE?平面PAC，所以AB⊥AE．由PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PA⊥AC．3－1如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點．(1)求證：PE∥平面BFG；【解答】如圖，連接DE，因為四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，AD的中點，所以DF＝BE，DF∥BE，所以四邊形BEDF是平行四邊形，所以DE∥BF．因為G是PA的中點，所以FG∥PD．因為PD，DE?平面BFG，F(xiàn)G，BF?平面BFG，所以PD∥平面BFG，DE∥平面BFG．因為PD∩DE＝D，PD，DE?平面PDE，所以平面PDE∥平面BFG．因為PE?平面PDE，所以PE∥平面BFG．3－2如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點．(2)若AB＝2，求點C到平面BFG的距離．【解答】因為PD⊥平面ABCD，F(xiàn)G∥PD，所以FG⊥平面ABCD．過點C在平面ABCD內(nèi)作CM⊥BF，垂足為M，則FG⊥CM．因為FG∩BF＝F，F(xiàn)G，BF?平面BFG，所以CM⊥平面BFG，所以CM的長是點C到平面BFG的距離．連接CF，3－2①三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥CO，則l⊥PC．②三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO．三垂線定理新視角如圖，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60°，則MC與平面ABC所成角的正弦值為______．4【解析】變式4

在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為_______．【解析】1．(2024·杭州二模)已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是 (

)A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α【解析】線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確．B2．(多選)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD交于點O，則(

)A．AD1∥平面BOC1 B．BD⊥平面COC1【解析】如圖，因為AD1∥BC1，AD1?平面BOC1，BC1?平面BOC1，所以AD1∥平面BOC1，故A正確．因為CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥CC1．又BD⊥CO，CO∩CC1＝C，CO，CC1?平面COC1，所以BD⊥平面COC1，故B正確．因為CC1⊥平面ABCD，所以ABD3．已知等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α所成的角為30°，則斜邊上的中線CM與α所成的角的大小為________．【解析】45°4．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E是A1B1的中點，則點E到平面ABC1D1的距離為______．【解析】配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、單項選擇題1．(2025·常州期中)已知α，β是兩個不重合的平面，a，b是兩條不同的直線，下列條件中，一定能得到l⊥α的是 (

)A．α⊥β，l∥β B．l⊥a，a∥αC．l∥a，a⊥α D．l⊥a，l⊥b，a?α，b?α【解析】對于A，α⊥β，l∥β，則l與α相交、平行或l?α，故A錯誤；對于B，l⊥a，a∥α，則l與α相交、平行或l?α，故B錯誤；對于C，l∥a，a⊥α，由線面垂直的性質(zhì)知l⊥α，故C正確；對于D，l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，則l與α相交、平行或l?α，故D錯誤．C2．已知PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點的任一點，則下列關(guān)系不正確的是 (

)A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【解析】由PA⊥平面ABC?PA⊥BC，故A正確；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，則BC⊥PC，故B，D正確．C3．(2024·湖北八市3月聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分別為AB，BB1，DD1的中點，則與平面MNP垂直的直線可以是

(

)A．A1B B．A1DC．AC1 D．A1C【解析】如圖，連接AB1，B1D1，AD1，A1C1，A1C，因為P，M，N分別為AB，BB1，DD1的中點，故MP∥AB1，B1D1∥MN．又MP?平面AB1D1，AB1?平面AB1D1，故MP∥平面AB1D1．又MN?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，故MN∥平面AB1D1．又MP∩MN＝M，MP，MN?平面MNP，故平面MNP∥平面AB1D1，則垂直于平面MNP的直線一定垂直于平面AB1D1．顯然CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，故B1D1⊥CC1，又B1D1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，故B1D1⊥平面A1C1C．又A1C?平面A1C1C，故A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，故A1C⊥平面AB1D1，也即A1C⊥平面MNP．若其他選項的直線垂直于平面MNP，則要與A1C平行，顯然都不平行．【答案】D4．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，其中AD＝2AB，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當(dāng)BF⊥PE時，AF∶FD＝ (

)A．1∶1 B．1∶2C．1∶5 D．1∶7【解析】【答案】D二、多項選擇題5．(2024·馬鞍山三模)已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，下列說法正確的是 (

)A．若PC⊥BD，則AC⊥BD B．若AC⊥BD，則PB＝PDC．若PB＝PD，則AB＝AD D．若AB＝AD，則PC⊥BD【解析】因為PA⊥平面ABCD，AB，AD，BD?平面ABCD，則PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BD．對于選項A，D，若PC⊥BD，且PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，可得BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以AC⊥BD．同理，若AC⊥BD，可得PC⊥BD，即PC⊥BD等價于AC⊥BD，由AB＝AD不能推出AC⊥BD，即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正確，D錯誤．對于選項B，C，若PB＝PD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以AB＝AD，反之，AB＝AD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以PB＝PD，即PB＝PD等價于AB＝AD，由AC⊥BD不能推出AB＝AD，即AC⊥BD不能推出PB＝PD，故B錯誤，C正確．【答案】AC6．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則 (

)A．直線BC1與DA1所成的角為90°B．直線BC1與CA1所成的角為90°C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【解析】【答案】ABD7．(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是 (

)【解析】圖(1)

圖(2)圖(3)

圖(4)【答案】BC三、填空題8．(2025·南通海安期中)在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC與平面ABC所成角的大小為60°，則PC＝______．【解析】9．(2025·錦州期中)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中點，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動點，且B1F∥平面A1BE，則B1F與平面CDD1C1所成角的正切值的最大值是_______．【解析】10．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC為正三角形，AA1＝AB＝6，則AB1與平面BCC1所成角的正切值為______．【解析】四、解答題11．(2025·金華十校聯(lián)考