異面直線

(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))第2課時課時目標(biāo)1.理解并掌握異面直線的判定定理,及掌握異面直線的判斷方法.2.借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線的垂直關(guān)系.3.理解異面直線所成的角,并掌握兩異面直線所成角的求法.CONTENTS目錄123課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通課時跟蹤檢測課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)1.異面直線的判定定理文字語言_________________________________,和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線圖形語言符號語言若l?α,A?α,B∈α,B?l,則直線AB與l是異面直線過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線2.異面直線所成的角定義前提兩條異面直線a,b作法經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,作直線a'∥a,b'∥b結(jié)論我們把直線a'和b'所成的_____________叫作異面直線a,b所成的角或夾角范圍記異面直線a與b所成的角為θ,則______________圖例特殊情況若異面直線a,b所成的角是直角,則稱異面直線a,b互相垂直,記作_____銳角(或直角)0°<θ≤90°a⊥b|微|點(diǎn)|助|解|

對異面直線所成角的認(rèn)識(1)任意性與無關(guān)性:在定義中,空間一點(diǎn)O是任取的,根據(jù)等角定理,可以斷定異面直線所成的角與a',b'所成的銳角(或直角)相等,而與點(diǎn)O的位置無關(guān).(2)轉(zhuǎn)化求角:異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對位置的一個重要的量,通過轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角,將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來計算.(3)異面直線所成角的大小不能是0°,若兩條直線所成的角是0°,則這兩條直線平行,不可能異面.(4)兩條直線垂直是指相交垂直或異面垂直.基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1.若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b∥c,則直線a與c

(

)A.一定平行 B.一定垂直C.一定是異面直線 D.一定相交√2.若∠AOB=120°,直線a∥OA,a與OB為異面直線,則a和OB所成的角的大小為

.

解析:因為a∥OA,根據(jù)等角定理,又因為異面直線所成的角為銳角或直角,所以a與OB所成的角為60°.60°3.已知正方體ABCD?EFGH,則AH與FG所成的角是

.

解析:連接BG,則BG∥AH,所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角.因為四邊形BCGF為正方形,所以∠BGF=45°.45°課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通題型(一)異面直線的判定[例1]已知正方體ABCD?A1B1C1D1,E,F分別為BB1,CC1的中點(diǎn),求證:直線AE與直線BF是異面直線.證明:因為BF?平面BCC1B1,E∈平面BCC1B1,E?BF,A?平面BCC1B1,所以由異面直線的判定定理可知,直線AE與直線BF是異面直線.針對訓(xùn)練1.已知不共面的三條直線a,b,c相交于點(diǎn)P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求證:AD與BC是異面直線.證明:法一:反證法

假設(shè)AD和BC共面,所確定的平面為α,那么點(diǎn)P,A,B,C,D都在平面α內(nèi),∴直線a,b,c都在平面α內(nèi),與已知條件a,b,c不共面矛盾,假設(shè)不成立.∴AD和BC是異面直線.法二:直接證法

∵a∩c=P,∴它們確定一個平面,設(shè)為α.由題意得C?平面α,B∈平面α,BC?平面α,AD?平面α,B?AD,∴AD和BC是異面直線.題型(二)求異面直線所成的角

√

|思|維|建|模|求異面直線所成角的一般步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法,遇題設(shè)中有中點(diǎn),?？紤]中位線;若異面直線依附于某幾何體,且直線對異面直線平移有困難時,可利用該幾何體的特殊點(diǎn),使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角,通過解三角形,求出所找的角.(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°,則θ為所求;若90°<θ<180°,則180°-θ為所求.針對訓(xùn)練2.如圖,三棱柱ABC?A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是

(

)A.CC1與B1E是異面直線B.C1C與AE共面C.AE與B1C1是異面直線D.AE與B1C1所成的角為60°√解析:由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi),故C1C與B1E是共面的,所以A錯誤;由于C1C在平面C1B1BC內(nèi),而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn),點(diǎn)E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線,B錯誤;同理AE與B1C1是異面直線,C正確;因為AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,E為BC中點(diǎn),△ABC為正三角形,所以AE⊥BC,D錯誤.3.正方體ABCD?A'B'C'D'中,E,F分別為平面A'B'C'D'與平面AA'D'D的中心,則EF與CD所成角的度數(shù)是

.45°解析:連接B'D',則E為B'D'的中點(diǎn),連接AB',則EF∥AB'.又CD∥AB,所以∠B'AB為異面直線EF與CD所成的角,即∠B'AB=45°.題型(三)證明兩條直線垂直

|思|維|建|模|證明兩條直線垂直的策略(1)對于共面垂直的兩條直線的證明,可根據(jù)勾股定理證明.(2)對于異面垂直的兩條直線的證明,可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明.針對訓(xùn)練4.在正方體AC1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求證:DB1⊥EF.證明:如圖,連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O,取DD1的中點(diǎn)G,連接OG,A1G,C1G.則OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點(diǎn),∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°,即DB1⊥EF.課時跟蹤檢測134567891011121314152A級——達(dá)標(biāo)評價1.在正方體ABCD?A1B1C1D1中,與直線AA1垂直的棱有(

)A.2條 B.4條C.6條 D.8條解析:在正方體AC1中,與AA1垂直的棱為A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,AB,BC,CD,DA,共8條.故選D.√1567891011121314152342.教室內(nèi)有一根直尺,無論怎樣放置,在地面上總有這樣的直線與直尺所在的直線

(

)A.異面 B.相交

C.平行 D.垂直解析:若直尺與地面相交,則C不正確;若直尺平行于地面,則B不正確;若直尺放在地面上,則A不正確.故選D.√1567891011121314153423.已知空間三條直線l,m,n,若l與m垂直,l與n垂直,則

(

)A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n平行、相交、異面均有可能解析:∵m⊥l,n⊥l,∴m與n既可以相交,也可以異面,還可以平行.√1567891011121314153424.如圖所示,在等邊三角形ABC中,D,E,F分別為各邊中點(diǎn),G,H,I,J分別為AF,AD,BE,DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐后,GH與IJ所成角的度數(shù)為

(

)A.90° B.60° C.45° D.0°√156789101112131415342解析:將三角形折成三棱錐.如圖所示,GH與IJ為異面直線.在三棱錐A?DEF中,IJ∥AD,GH∥DF,所以∠ADF即為所求,因此GH與IJ所成的角為60°.1567891011121314153425.(多選)如圖所示,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,l?平面A1B1C1D1,且l與B1C1不平行,則下列結(jié)論能成立的是

(

)A.l與AD平行

B.l與AB異面C.l與CD所成的角為30°

D.l與BD垂直√√√156789101112131415342解析:假設(shè)l∥AD,則由AD∥BC∥B1C1可得l∥B1C1,與“l(fā)與B1C1不平行”矛盾,所以l與AD不平行,A錯誤;取l為A1C1所在直線,滿足l與AB異面,B正確;取l⊥B1D1,B1D1∥BD,所以l⊥BD,D正確;取l與C1D1成30°角,因為C1D1∥CD,所以此時l與CD所成的角為30°,C正確.1567891011121314153426.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有

條.1解析:與AD1異面的面對角線分別為A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角為90°.1567891011121314153427.如圖,空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),并且異面直線AC與BD所成的角為90°,則MN=

.

51567891011121314153428.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60°;③EF與MN是異面直線;④MN∥CD.以上結(jié)論正確的為

.(填序號)

解析:把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體可知,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正確.①③156789101112131415342

156789101112131415342單獨(dú)看△GEF的平面圖,可得

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342B級——重點(diǎn)培優(yōu)11.設(shè)P是直線l外一定點(diǎn),過點(diǎn)P且與l成30°角的異面直線(

)A.有無數(shù)條 B.有兩條C.至多有兩條 D.有一條解析:如圖所示,過點(diǎn)P作直線l'∥l,以l'為軸,與l'成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角,除去兩條與l共面的母線,其余都符合要求.√15678910111213141534212.(多選)如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F分別是AB1,BC1的中點(diǎn),則下列結(jié)論成立的是

(

)A.EF與BB1垂直 B.EF與BD垂直C.EF與CD異面 D.EF與A1C1異面√√√156789101112131415342解析:如圖所示,連接A1B,易知點(diǎn)