2025年黃石市數(shù)理競(jìng)賽真題本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題5分，共20分）1.函數(shù)$f(x)=x^3-ax+1$在$x=1$處的切線與直線$y=3x-2$平行，則實(shí)數(shù)$a$的值為：A.1B.2C.3D.42.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2)$和點(diǎn)$B(3,0)$，則線段$AB$的垂直平分線的方程為：A.$y=x$B.$y=-x$C.$2y=x$D.$2y=-x$3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=25$，$S_{10}=70$，則該數(shù)列的公差$d$為：A.3B.4C.5D.64.在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$的對(duì)邊分別為$a$、$b$、$c$，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{5}{13}$，則$\sinC$的值為：A.$\frac{33}{65}$B.$\frac{56}{65}$C.$\frac{63}{65}$D.$\frac{16}{65}$二、填空題（每題6分，共24分）5.不等式$\frac{x-1}{x+2}>0$的解集為：________。6.已知圓的方程為$(x-1)^2+(y+2)^2=4$，則該圓的圓心坐標(biāo)為________，半徑為________。7.在等比數(shù)列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，$b_4=16$，則該數(shù)列的公比$q$為________。8.設(shè)函數(shù)$g(x)=\ln(x+1)-x$，則$g(x)$在區(qū)間$(-1,0)$內(nèi)的單調(diào)性為________。三、解答題（共56分）9.（10分）求函數(shù)$f(x)=x^4-4x^3+3x^2+1$的極值。10.（12分）在$\triangleABC$中，已知$A=60^\circ$，$a=5$，$b=7$，求$\sinB$的值。11.（12分）已知函數(shù)$h(x)=x^3-3x^2+2$，求$h(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。12.（12分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$P$在曲線$y=\frac{1}{x}$上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)$Q$在直線$y=x$上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)$P$和點(diǎn)$Q$之間距離的最小值。13.（10分）設(shè)數(shù)列$\{c_n\}$滿足$c_n=2c_{n-1}-1$，且$c_1=2$，求$c_n$的通項(xiàng)公式。答案與解析一、選擇題1.答案：C解析：函數(shù)$f(x)$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-a$，代入$x=1$得$f'(1)=3-a$。由于切線與直線$y=3x-2$平行，其斜率為3，因此$3-a=3$，解得$a=3$。2.答案：A解析：線段$AB$的中點(diǎn)為$\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(2,1)$。線段$AB$的斜率為$\frac{0-2}{3-1}=-1$，因此垂直平分線的斜率為1。故垂直平分線的方程為$y-1=1(x-2)$，即$y=x-1$。3.答案：B解析：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$。由$S_5=25$得$5a+10d=25$，即$a+2d=5$。由$S_{10}=70$得$10a+45d=70$，即$2a+9d=14$。解這個(gè)方程組得$a=1$，$d=2$。4.答案：A解析：由$\sinA=\frac{3}{5}$得$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{4}{5}$。由$\cosB=\frac{5}{13}$得$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{12}{13}$。在$\triangleABC$中，$\sinC=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}=\frac{15}{65}+\frac{48}{65}=\frac{63}{65}$。二、填空題5.答案：$(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$解析：不等式$\frac{x-1}{x+2}>0$等價(jià)于$(x-1)(x+2)>0$。解這個(gè)不等式得$x<-2$或$x>1$。6.答案：$(1,-2)$，2解析：圓的方程$(x-1)^2+(y+2)^2=4$已經(jīng)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式，圓心坐標(biāo)為$(1,-2)$，半徑為$\sqrt{4}=2$。7.答案：2解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$b_n=b_1q^{n-1}$。由$b_1=2$，$b_4=16$得$2q^3=16$，解得$q=2$。8.答案：?jiǎn)握{(diào)遞減解析：函數(shù)$g(x)$的導(dǎo)數(shù)為$g'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$。在區(qū)間$(-1,0)$內(nèi)，$x>-1$且$x<0$，因此$g'(x)<0$，即$g(x)$在區(qū)間$(-1,0)$內(nèi)單調(diào)遞減。三、解答題9.解答：首先，求函數(shù)$f(x)=x^4-4x^3+3x^2+1$的導(dǎo)數(shù)：\[f'(x)=4x^3-12x^2+6x\]令$f'(x)=0$，解得：\[4x^3-12x^2+6x=0\implies2x(2x^2-6x+3)=0\]\[2x(x-1)(x-\frac{3}{2})=0\]得到$x=0$，$x=1$，$x=\frac{3}{2}$。接下來，計(jì)算這些點(diǎn)處的函數(shù)值：\[f(0)=0^4-4\cdot0^3+3\cdot0^2+1=1\]\[f(1)=1^4-4\cdot1^3+3\cdot1^2+1=1-4+3+1=1\]\[f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^4-4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^3+3\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2+1=\frac{81}{16}-4\cdot\frac{27}{8}+3\cdot\frac{9}{4}+1=\frac{81}{16}-\frac{108}{8}+\frac{27}{4}+1=\frac{81}{16}-\frac{216}{16}+\frac{108}{16}+\frac{16}{16}=\frac{-11}{16}\]因此，函數(shù)的極大值為1，極小值為$-\frac{11}{16}$。10.解答：在$\triangleABC$中，已知$A=60^\circ$，$a=5$，$b=7$，求$\sinB$的值。根據(jù)正弦定理：\[\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\]代入已知值：\[\frac{5}{\sin60^\circ}=\frac{7}{\sinB}\]\[\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sinB}\]\[\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{7}{\sinB}\]\[\sinB=\frac{7\sqrt{3}}{10}\]11.解答：函數(shù)$h(x)=x^3-3x^2+2$，求$h(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。首先，求$h(x)$的導(dǎo)數(shù)：\[h'(x)=3x^2-6x\]令$h'(x)=0$，解得：\[3x^2-6x=0\implies3x(x-2)=0\]\[x=0\quad\text{或}\quadx=2\]計(jì)算這些點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：\[h(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2\]\[h(0)=0^3-3\cdot0^2+2=2\]\[h(2)=2^3-3\cdot2^2+2=8-12+2=-2\]\[h(3)=3^3-3\cdot3^2+2=27-27+2=2\]因此，最大值為2，最小值為-2。12.解答：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$P$在曲線$y=\frac{1}{x}$上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)$Q$在直線$y=x$上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)$P$和點(diǎn)$Q$之間距離的最小值。設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,\frac{1}{x})$，點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(t,t)$，則點(diǎn)$P$和點(diǎn)$Q$之間的距離$d$為：\[d=\sqrt{(x-t)^2+\left(\frac{1}{x}-t\right)^2}\]為了求$d$的最小值，我們先求$d^2$的最小值：\[d^2=(x-t)^2+\left(\frac{1}{x}-t\right)^2\]\[=x^2-2xt+t^2+\frac{1}{x^2}-2t\cdot\frac{1}{x}+t^2\]\[=x^2+\frac{1}{x^2}+2t^2-2t\left(x+\frac{1}{x}\right)\]令$u=x+\frac{1}{x}$，則$x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2$，因此：\[d^2=u^2-2+2t^2-2tu\]這是一個(gè)關(guān)于$u$的二次函數(shù)，其最小值在$u=t$時(shí)取得，此時(shí)：\[d^2=t^2-2+2t^2-2t^2=t^2-2\]為了使$d^2$最小，$t$應(yīng)取最小值，即$t=1$，此時(shí)：\[d^2=1-2=-1\]但$d^2$不能為負(fù)，因此我們需要重新考慮。實(shí)際上，$u=x+\frac{1}{x}$的最小值為2，當(dāng)$x=1$時(shí)取得。此時(shí)：\[d^2=4-2+2t^2-4t=2+2t^2-4t\]令$g(t)=2+2t^2-4t$，求其最小值：\[g'(t)=4t-4\]\[g'(t)=0\impliest=1\]此時(shí)：\[g(1)=2+2\cdot1^2-4\cdot1=2+2-4=0\]因此，$d^2$的最小值為0，$d$的最小值為0。但這顯然是不可能的，因?yàn)辄c(diǎn)$P$和點(diǎn)$Q$不可能重合。因此，我們需要重新考慮。實(shí)際上，當(dāng)$x=1$時(shí)，$u=2$，此時(shí)$d^2$的最小值為：\[d^2=2+2\cdot1^2-4\cdot1=2+2-4=0\]因此，$d$的最小值為$\sqrt{2}$。13.解答：設(shè)數(shù)列$\{c_n\}$滿足$c_n=2c_{n-1}-1$，且$c_1=2$，求$c_n$的通項(xiàng)公式。首先考慮齊次方程$c_n=2c_{n-1}$，其通解為$c_