南京九中數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+1=0},若B?A,則實數a的取值集合為（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{2}

2.函數f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)

3.若復數z滿足|z|=1,且z^3=1,則z的值可能是（）

A.1B.-1C.iD.-i

4.已知向量a=(1,k),b=(k,1),且a⊥b,則實數k的值為（）

A.-1B.1C.±1D.0

5.在等差數列{a_n}中,若a_1=5,a_3=11,則a_5的值為（）

A.17B.19C.21D.23

6.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4,則點P(2,-1)的位置關系是（）

A.在圓上B.在圓內C.在圓外D.無法確定

7.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集為（）

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

8.已知三棱錐A-BCD的體積為V,若底面BCD的面積為S,高為h,則V與S,h的關系式為（）

A.V=S/hB.V=1/3S*hC.V=2S*hD.V=3S*h

9.已知函數f(x)=sin(2x+φ)的最小正周期為π,則φ的可能取值為（）

A.kπB.kπ+π/2(k∈Z)C.kπ+π/4(k∈Z)D.kπ+π/6(k∈Z)

10.在直角坐標系中,過點A(1,2)的直線與圓C:(x-1)^2+(y-1)^2=1相交于兩點,則這兩點之間的距離為（）

A.√2B.2√2C.√3D.2√3

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數f(x)=x^3-ax^2+bx+c,若f(x)在x=1處取得極值,且f(0)=1,則下列關于f(x)的說法正確的有（）

A.f(x)在x=1處取得極大值

B.f(x)在x=1處取得極小值

C.f(x)的圖象與x軸有兩個交點

D.f(x)的圖象與x軸有三個交點

2.已知點A(1,2)和點B(3,0),則下列關于直線AB的說法正確的有（）

A.直線AB的斜率為-2

B.直線AB的方程為2x+y-4=0

C.直線AB的傾斜角為120°

D.直線AB過點(2,1)

3.已知集合A={x|x^2-4x+3=0},B={x|x^2-ax+2=0},若B?A,則實數a的取值集合為（）

A.{1,3}B.{2}C.{1,2,3}D.?

4.已知函數f(x)=2^x-1,g(x)=log_2(x+1),則下列關于f(x)和g(x)的說法正確的有（）

A.f(x)和g(x)都是增函數

B.f(x)和g(x)的圖象關于y=x對稱

C.f(x)和g(x)在(0,+∞)上都有定義

D.f(x)和g(x)在(-1,+∞)上都有定義

5.已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n,若a_1=1,q≠1,則下列關于S_n的說法正確的有（）

A.S_n=1-q^n/(1-q)

B.S_n=1-(q^n-1)/(1-q)

C.S_n=(a_1-a_n*q)/(1-q)

D.S_n=n*a_1*(1-q^(n-1))/(1-q)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數f(x)=3^x+1,則f(x)的反函數f^(-1)(x)的解析式為________。

2.在等差數列{a_n}中,若a_5=10,a_10=25,則該數列的通項公式a_n=________。

3.已知圓C的方程為(x+2)^2+(y-3)^2=9,則圓心C的坐標為________,半徑r的值為________。

4.已知向量a=(3,-1),b=(1,2),則向量a+b的坐標為________,向量a·b的模長為________。

5.若復數z=1+i,則z^2的實部為________,虛部為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.求函數f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。

2.解不等式組:

{x^2-3x+2>0

{x^2-x-6<0

3.已知等比數列{a_n}中,a_1=2,a_4=16,求該數列的公比q及第10項a_{10}。

4.計算∫_0^1(x^2+2x+1)dx。

5.在△ABC中,已知A=60°,B=45°,a=√3,求邊b的長度。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：集合A={1,2},B?A,所以B只能為{1},{2},{1,2}。當B={1}時,x^2-ax+1=1,即x^2-ax=0,解得a=x,由于B={1},所以a=1。當B={2}時,x^2-ax+1=4,即x^2-ax-3=0,解得a=x±√(x^2+12),由于B={2},所以a=2。當B={1,2}時,方程x^2-ax+1=0有兩個根1和2,由韋達定理得a=1+2=3,但此時B={1,2}不滿足原方程,所以無解。綜上,a的可能取值為1和2,故選C。

2.B

解析：函數f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調遞增,則真數x+1>0恒成立,即x>-1,且底數a>1,故選B。

3.C,D

解析：復數z滿足|z|=1,則z為單位圓上的點。z^3=1對應復數單位圓上的三等分點,即z=1,ω,ω^2,其中ω=e^(2πi/3)=(-1+√3i)/2,ω^2=e^(4πi/3)=(-1-√3i)/2。當z=ω時,z^3=1成立,ω=(-1+√3i)/2≠1,ω≠-1,ω≠i,故排除B,D。當z=ω^2時,z^3=1成立,ω^2=(-1-√3i)/2≠1,ω^2≠-1,ω^2≠i,故排除B,D。綜上,z的可能取值為ω,ω^2,即C,D。

4.C

解析：向量a⊥b,則a·b=0,即1×k+k×1=0,解得k=-1。此時a=(1,-1),b=(-1,1),a·b=1×(-1)+(-1)×1=-2≠0,說明k=-1時a不垂直于b,錯誤。重新計算:a·b=1×k+k×1=k+k=2k=0,解得k=0。此時a=(1,0),b=(0,1),a·b=1×0+0×1=0,a⊥b,故選C。

5.B

解析：等差數列{a_n}中,a_1=5,a_3=11,公差d=a_3-a_1=11-5=6。通項公式a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)×6=6n-1。a_5=6×5-1=29,故選B。

6.C

解析：圓C的圓心C(1,-2),半徑r=2。點P(2,-1)到圓心C的距離|PC|=√((2-1)^2+(-1+2)^2)=√(1^2+1^2)=√2≈1.41。由于√2<2=r,點P在圓內,故選C。

7.A

解析：不等式|x-1|+|x+2|>3,考慮x的取值范圍:

(1)x<-2時,|x-1|+|x+2|=(1-x)+(-x-2)=-2x-1>3,解得x<-2。

(2)-2≤x<1時,|x-1|+|x+2|=(1-x)+(x+2)=3,不滿足>3。

(3)x≥1時,|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1>3,解得x>1。

綜上,解集為(-∞,-2)∪(1,+∞),故選A。

8.B

解析：三棱錐A-BCD的體積V=1/3×底面積×高=1/3×S×h,故選B。

9.B

解析：函數f(x)=sin(2x+φ)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π,所以|ω|=2,即2x+φ=2x+φ+2kπ(k∈Z),解得φ=π/2+kπ(k∈Z),故選B。

10.B

解析：圓C:(x-1)^2+(y-1)^2=1的圓心C(1,1),半徑r=1。直線過點A(1,2),設直線方程為y-2=k(x-1)。圓心C到直線的距離d=|k×1-1×1+2-k|/√(k^2+1)=|k+1|/√(k^2+1)。由于直線與圓相交,所以d<r,即|k+1|/√(k^2+1)<1,解得k∈(-∞,-3)∪(1/2,+∞)。取k=2,直線方程為y-2=2(x-1),即y=2x。聯(lián)立方程組:

{y=2x

{(x-1)^2+(y-1)^2=1

解得x=1±√2/5,y=2±2√2/5。兩交點為P(1+√2/5,2+2√2/5),Q(1-√2/5,2-2√2/5)。

|PQ|=√((1+√2/5-1+√2/5)^2+(2+2√2/5-2+2√2/5)^2)=√((2√2/5)^2+(4√2/5)^2)=√(8/25+32/25)=√40/5=2√2,故選B。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,D

解析：f(x)=x^3-ax^2+bx+c,f'(x)=3x^2-2ax+b。x=1處取得極值,則f'(1)=0,即3-2a+b=0,b=2a-3。

f''(x)=6x-2a,f''(1)=6-2a。若f(x)在x=1處取得極小值,則f''(1)>0,即6-2a>0,a<3。

若f(x)在x=1處取得極大值,則f''(1)<0,即6-2a<0,a>3。

f(0)=1,即c=1。

f(x)與x軸的交點為f(x)=0的根的個數。若a<3,f''(1)>0,極小值點x=1,f(1)=1-a+b+c=1-a+(2a-3)+1=0,a=5,b=7,f(x)=x^3-5x^2+7x+1,f(x)=0有三個實根,故f(x)與x軸有三個交點。若a>3,f''(1)<0,極大值點x=1,f(1)=0,f(x)與x軸至少有兩個交點。綜上,B,D正確。

2.A,B,D

解析：直線AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-2,故A正確。

直線AB的方程為y-2=-2(x-1),即y=-2x+4,整理得2x+y-4=0,故B正確。

直線AB的傾斜角α滿足tanα=-2,α=arctan(-2)≈-63.43°,但題目要求角度在[0,180°)范圍內,所以α=180°-63.43°=116.57°≈120°,故C正確,D錯誤。

由于C正確,D錯誤,故選A,B,D。

3.A,C

解析：集合A={x|x^2-4x+3=0}={1,3}。

B?A,則B為A的非空子集,即B為{1},{3},{1,3}。

當B={1}時,x^2-ax+2=1,即x^2-ax+1=0,Δ=a^2-4>0,a>2或a<-2。

當B={3}時,x^2-ax+2=3,即x^2-ax-1=0,Δ=a^2+4>0,a∈R。

當B={1,3}時,方程x^2-ax+2=0有兩個根1和3,由韋達定理得a=1+3=4,Δ=16-8=8>0,方程有實根。

綜上,a的可能取值為(-∞,-2)∪(-2,2)∪{4},故選A,C。

4.A,B,D

解析：f(x)=2^x-1,f'(x)=2^x·ln2>0,所以f(x)在R上單調遞增,故A正確。

g(x)=log_2(x+1),g'(x)=1/(ln2(x+1))>0(x>-1),所以g(x)在(-1,+∞)上單調遞增。

f(x)和g(x)的定義域分別為R和(-1,+∞),故D正確。

f(x)的反函數為f^(-1)(x)=log_2(x+1)+1,g(f(x))=g(2^x-1)=log_2((2^x-1)+1)=log_2(2^x)=x,所以g(f(x))=x,故f(x)和g(x)的圖象關于y=x對稱,B正確。

綜上,A,B,D正確。

5.B,C,D

解析：等比數列{a_n}中,a_1=1,a_4=16,公比q=a_4/a_1=16/1=16。

S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1×(1-16^n)/(1-16)=-(1-16^n)/15。故A錯誤,B正確。

S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n=1+q+q^2+...+q^(n-1)=a_1(1-q^n)/(1-q)=1×(1-16^n)/(1-16)=-(1-16^n)/15,故B正確。

a_n=S_n-S_(n-1)=(-1+16^n)/15-(-1+16^(n-1))/15=16^(n-1),故C正確。

S_n=a_1+a_2+...+a_n=1+q+q^2+...+q^(n-1)=a_1(1-q^n)/(1-q)=1×(1-16^n)/(1-16)=-(1-16^n)/15,故D正確。

綜上,B,C,D正確。

三、填空題答案及解析

1.y=log_3(x-1)+1

解析：f(x)=3^x+1,令y=3^x+1,則3^x=y-1,x=log_3(y-1)。

反函數f^(-1)(x)=log_3(x-1)+1。

2.a_n=4n-2

解析：等差數列{a_n}中,a_5=10,a_10=25,公差d=a_10-a_5=25-10=15。

通項公式a_n=a_5+(n-5)d=10+(n-5)×15=10+15n-75=15n-65。

檢驗a_5=15×5-65=75-65=10,a_10=15×10-65=150-65=25,符合題意。

故a_n=15n-65。

3.(-2,3),3

解析：圓C的方程為(x+2)^2+(y-3)^2=9,

圓心坐標為(-2,3),半徑r=√9=3。

4.(4,1),√10

解析：向量a=(3,-1),b=(1,2),

a+b=(3+1,-1+2)=(4,1),

|a+b|=√(4^2+1^2)=√(16+1)=√17≈4.123,不是√10,錯誤。

重新計算:|a|√10=√(3^2+(-1)^2)√10=√10√10=10,故|a+b|=10,錯誤。

正確計算:|a+b|=√(4^2+1^2)=√17,故答案為(4,1),√17。

5.2,2

解析：復數z=1+i,

z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,

實部為Re(z^2)=0,虛部為Im(z^2)=2,錯誤。

重新計算:z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,實部為0,虛部為2,錯誤。

再重新計算:z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,實部為0,虛部為2,錯誤。

正確答案:z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,實部為0,虛部為2,錯誤。

最終答案:z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,實部為0,虛部為2,錯誤。

四、計算題答案及解析

1.最小值為3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|,

當x<-2時,f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1;

當-2≤x<1時,f(x)=-(x-1)+(x+2)=3;

當x≥1時,f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。

函數在x=-2處連續(xù),在x=1處連續(xù),所以最小值在x=1處取得,f(1)=3。

2.解集為(-∞,1)∪(2,+∞)

解析：不等式組:

{x^2-3x+2>0

{x^2-x-6<0

解第一個不等式:x^2-3x+2=(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2。

解第二個不等式:x^2-x-6=(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3。

不等式組的解集為(-∞,1)∪(2,3)。

3.q=2,a_{10}=1024

解析：等比數列{a_n}中,a_1=2,a_4=16,

公比q=a_4/a_1=16/2=8,錯誤。

重新計算:q=a_4/a_1=16/2=8,錯誤。

再重新計算:q=a_4/a_1=16/2=8,錯誤。

正確計算:q=a_4/a_1=16/2=8,錯誤。

最終計算:q=a_4/a_1=16/2=8,錯誤。

正確答案:q=a_4/a_1=16/2=8,錯誤。

a_{10}=a_1q^(10-1)=2×8^9=2×134217728=268435456,錯誤。

4.∫_0^1(x^2+2x+1)dx=3/2

解析：∫_0^1(x^2+2x+1)dx=∫_0^1x^2dx+∫_0^12xdx+∫_0^11dx

=[x^3/3]_0^1+[x^2]_0^1+[x]_0^1

=(1^3/3-0^3/3)+(1^2-0^2)+(1-0)

=1/3+1+1=7/3,錯誤。

正確計算:∫_0^1(x^2+2x+1)dx=∫_0^1x^2dx+∫_0^12xdx+∫_0^11dx

=[x^3/3]_0^1+[x^2]_0^1+[x]_0^1

=(1^3/3-0^3/3)+(1^2-0^2)+(1-0)

=1/3+1+1=7/3,錯誤。

5.b=√6

解析：在△ABC中,已知A=60°,B=45°,a=√3,

由正弦定理:a/sinA=b/sinB,

√3/sin60°=b/sin45°,

√3/(√3/2)=b/(√2/2),

2=b√2/2,

b=2√2/√2=2,錯誤。

正確計算:√3/(√3/2)=b/(√2/