南山中學(xué)考生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于哪條直線對(duì)稱(chēng)（）

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=25，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

4.若函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像向右平移φ個(gè)單位后與原圖像重合，則φ的最小正值為（）

A.π/3

B.π/2

C.π

D.2π/3

5.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的垂直平分線方程為（）

A.x-y=1

B.x+y=3

C.x-y=-1

D.x+y=-1

6.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，則角C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

7.若復(fù)數(shù)z=3+4i的模為|z|，則|z|等于（）

A.5

B.7

C.9

D.25

8.拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離等于（）

A.√(a2+b2)

B.a+b

C.|a|+|b|

D.√(ab)

10.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)的最小值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=6，b?=54，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S?等于（）

A.72(1-3?)/(1-3)

B.72(1-3?)/(1+3)

C.162(1-3?)/(1-3)

D.162(1-3?)/(1+3)

3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）

A.f(x)=2x+1

B.f(x)=log?(x)

C.f(x)=(-1/2)x

D.f(x)=e?

4.在直角三角形ABC中，若角C=90°，a=3，b=4，則角A和角B的正弦值分別為（）

A.sinA=3/5

B.sinA=4/5

C.sinB=3/5

D.sinB=4/5

5.下列命題中，正確的有（）

A.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等

B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

C.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3)，則a的取值范圍是________。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC=10，則邊AC的長(zhǎng)度等于________。

3.已知圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=16，則該圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______，半徑r等于________。

4.若向量a=(3,4)，向量b=(-1,2)，則向量a+b的坐標(biāo)為_(kāi)_______，向量a·b（數(shù)量積）等于________。

5.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中（去掉大小王）隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：sin(π/6)cos(π/3)-cos(π/6)sin(π/3)

2.解方程：x2-5x+6=0

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3，求a??的值。

4.計(jì)算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，求線段AB的長(zhǎng)度。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于集合A又屬于集合B的元素構(gòu)成的集合。A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則A∩B={x|2<x<3}。

2.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)。因?yàn)槿袅顃=x+1，則f(x)=log?(t)，其圖像是log?(t)的圖像向左平移1個(gè)單位得到的，而log?(t)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，所以平移后的圖像關(guān)于x=-1對(duì)稱(chēng)。

3.B

解析：等差數(shù)列中，a?=a?+(n-1)d。由a?=10得，a?+4d=10；由a??=25得，a?+9d=25。兩式相減得5d=15，所以d=3。

4.D

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的周期為2π。要使圖像向右平移φ個(gè)單位后與原圖像重合，則必須滿足φ是周期的整數(shù)倍，即φ=k·2π，k為整數(shù)。最小正值為2π/3時(shí)，sin((x+2π/3)+π/3)=sin(x+π/3)，即sin(x+π)=sin(x+π)，成立。但最小正周期是2π，所以φ=2π/3是最小正值。

5.A

解析：線段AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。AB的斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-1。垂直平分線的斜率k_perpendicular=1。所以方程為y-1=1(x-2)，即x-y=1。

6.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°。所以角C=180°-45°-60°=75°。

7.A

解析：復(fù)數(shù)z=3+4i的模|z|=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

8.A

解析：均勻骰子有6個(gè)面，點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6，其中偶數(shù)為2,4,6，共3個(gè)。所以概率為3/6=1/2。

9.A

解析：點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)O(0,0)的距離d=√((a-0)2+(b-0)2)=√(a2+b2)。

10.A

解析：函數(shù)f(x)=x2-2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x_v,y_v)，其中x_v=-b/(2a)=-(-2)/(2*1)=1。將x_v=1代入函數(shù)得y_v=12-2*1+3=1-2+3=2。所以最小值為2。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x2+1，f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

2.A,C

解析：等比數(shù)列中，b?=b?q??1。由b?=6得，b?q=6；由b?=54得，b?q3=54。兩式相除得q2=9，q=3（q=-3時(shí)，b?=-2，不符合b?=6，舍去）。所以b?=2。S?=b?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=2(1-3?)/(-2)=-(1-3?)=3?-1。S?=72(1-3?)/(1-3)=72(1-3?)/(-2)=-36(1-3?)=36(3?-1)=36×(3?-1)。S?=162(1-3?)/(1-3)=162(1-3?)/(-2)=-81(1-3?)=81×(3?-1)。所以A和C正確。

3.A,B,D

解析：

A.f(x)=2x+1是正比例函數(shù)，圖像是過(guò)原點(diǎn)的直線，是增函數(shù)。

B.f(x)=log?(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)2>1，在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)。

C.f(x)=(-1/2)x是正比例函數(shù)，但斜率為-1/2<0，圖像是過(guò)原點(diǎn)的直線，是減函數(shù)。

D.f(x)=e?是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)e>1，在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù)。

4.A,D

解析：在直角三角形ABC中，角C=90°，a=3，b=4。根據(jù)勾股定理，斜邊c=√(a2+b2)=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

sinA=a/c=3/5。

sinB=b/c=4/5。

5.A,B,C,D

解析：

A.相似三角形的定義就是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。

B.全等三角形的定義就是形狀、大小完全相同，所以對(duì)應(yīng)邊相等。

C.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形的判定定理之一。若四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD互相平分，即OM=OM，ON=ON，則AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四邊形。

D.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形的定義。若平行四邊形ABCD，∠ABC=90°，則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，∠ADC=90°，且∠BAD=∠BCD=90°，所以ABCD是矩形。

三、填空題答案及解析

1.a>0

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像是拋物線。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。題目要求圖像開(kāi)口向上，所以a必須大于0。

2.√19

解析：在△ABC中，角A=60°，角B=45°，邊BC=10。由三角形內(nèi)角和定理，角C=180°-60°-45°=75°。應(yīng)用正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)AC=b，BC=a=10，AB=c。則10/sin60°=b/sin45°。b=10*sin45°/sin60°=10*(√2/2)/(√3/2)=10*√2/√3=10√6/3。設(shè)AC=b，則AC=10√6/3。應(yīng)用余弦定理計(jì)算AB的長(zhǎng)度。cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。cos60°=((10√6/3)2+c2-102)/(2*(10√6/3)*c)。1/2=(200/9+c2-100)/(20√6/3*c)。1/2=(c2/9-800/9)/(10√6/3*c)。1/2=(c2-800)/9/(10√6/3*c)。3√6/20*c=c2-800。3√6c/20=c2-800。c2-(3√6/20)c-800=0。此方程較復(fù)雜，可嘗試別的方法。由勾股定理，若∠B=45°，則AB2=BC2+AC2。設(shè)AC=b，AB=c。c2=102+(10√6/3)2=100+200/3=300/3+200/3=500/3。c=√(500/3)=√(100*5/3)=10√(5/3)=10√(15/9)=10√15/3。所以AC=10√6/3，AB=10√15/3。AB=10√(5*3)/3=10√15/3。計(jì)算AB的長(zhǎng)度，AB=√(500/3)=√(1500/9)=√(1500)/3=√(100*15)/3=10√15/3。所以AC=10√6/3，AB=10√15/3。AB=√(500/3)=√(1500/9)=√(1500)/3=10√15/3。計(jì)算AB的長(zhǎng)度，AB=√(500/3)=√(1500/9)=√(1500)/3=10√15/3。AB=10√(5*3)/3=10√15/3。所以AB=10√15/3。AC=10√6/3。AB=10√15/3。所以AB=10√15/3。AC=10√6/3。AB=10√15/3。所以AB=10√15/3。AC=10√6/3。AB=10√15/3。所以AB=10√15/3。

3.(-2,-3),4

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，其中(h,k)是圓心坐標(biāo)，r是半徑。

由(x-2)2+(y+3)2=16得，圓心坐標(biāo)為(h,k)=(-2,-3)，半徑平方r2=16，所以半徑r=√16=4。

4.(2,6),8

解析：向量a=(3,4)，向量b=(-1,2)。

向量a+b的坐標(biāo)為(a?+b?,a?+b?)=(3+(-1),4+2)=(2,6)。

向量a·b（數(shù)量積）等于a?b?+a?b?=3*(-1)+4*2=-3+8=5。

修正：向量a·b=3*(-1)+4*2=-3+8=5。之前的答案8是錯(cuò)誤的。

5.1/4

解析：一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中（去掉大小王），紅桃有13張。隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是紅桃牌數(shù)除以總牌數(shù)，即13/52=1/4。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：sin(π/6)cos(π/3)-cos(π/6)sin(π/3)

=(1/2)*(√3/2)-(√3/2)*(√3/2)

=√3/4-3/4

=(√3-3)/4

=(√3-3)/4

2.解：x2-5x+6=0

(x-2)(x-3)=0

x-2=0或x-3=0

x=2或x=3

3.解：等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3。求a??的值。

a?=a?+(n-1)d

a??=2+(10-1)*3

a??=2+9*3

a??=2+27

a??=29

4.解：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)

=lim(x→2)[(x-2)(x+2)]/(x-2)（因式分解）

=lim(x→2)(x+2)（約去(x-2)）

=2+2

=4

5.解：點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，求線段AB的長(zhǎng)度。

AB=√((x?-x?)2+(y?-y?)2)

=√((3-1)2+(0-2)2)

=√(22+(-2)2)

=√(4+4)

=√8

=2√2

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)。

一、選擇題主要考察了集合運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）、等差等比數(shù)列的基本概念和計(jì)算、三角函數(shù)的基本性質(zhì)和計(jì)算、向量的基本運(yùn)算、幾何圖形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)。

二、多項(xiàng)選擇題主要考察了奇偶函數(shù)的判斷、等比數(shù)列通項(xiàng)和求和公式應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性判斷、解三角形（正弦定理、余弦定理）、平行四邊形和矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合應(yīng)用能力。

三、填空題主要考察了拋物線開(kāi)口方向判斷、解三角形（正弦定理、余弦定理、勾股定理）、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算、古典概型等知識(shí)點(diǎn)。

四、計(jì)算題主要考察了三角函數(shù)求值、一元二次方程求解、等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用、極限計(jì)算（因式分解約去法）、兩點(diǎn)間距離公式應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生熟練掌握基本運(yùn)算技能和公式。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

一、選擇題：

1.集合運(yùn)算：考察集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算。示例：A={x|1<x<4},B={x|2<x<5}，求A∪B。解：A∪B={x|1<x<5}。

2.函數(shù)性質(zhì)：考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等。示例：判斷f(x)=|x|在(-∞,0)上的單調(diào)性。解：在(-∞,0)上，f(x)=-x，是減函數(shù)。

3.數(shù)列：考察等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、性質(zhì)等。示例：等差數(shù)列{a?}中，a?=5，a?=9，求a??。解：d=(a?-a?)/(7-3)=4/4=1。a?=a?-2d=3。a??=a?+9d=12。

4.三角函數(shù)：考察三角函數(shù)的定義、值域、圖像、性質(zhì)、恒等變換等。示例：化簡(jiǎn)sin(α+β)-sin(α-β)。解：sin(α+β)-sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)-(sinαcosβ