專(zhuān)題6.5相似三角形的應(yīng)用【九大題型】

【蘇科版】

，題型梳理1

【題型1杠桿問(wèn)題】..............................................................................1

【題型2建筑物問(wèn)題】...........................................................................3

【題型3樹(shù)高問(wèn)題】.............................................................................4

【題型4河寬問(wèn)題】.............................................................................5

【題型5影長(zhǎng)問(wèn)題】.............................................................................6

【題型6實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】.............................................................................8

【題型7九章算術(shù)】.............................................................................9

【題型8實(shí)際生活抽象出相似】..................................................................11

【題型9三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題】.................................................................52

，舉一反三1

【題型1杠桿問(wèn)題】

【例1】（2023?吉林白城?校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)

動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了.在圖②中，杠桿的。端被向上翹起的距離BD=9cm,動(dòng)力臂04與

阻力臂OB滿足。A=3OB（4B與CD相交于點(diǎn)0）,要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓cm.

【變式1?1】（2023春.河南南陽(yáng).九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是用打桿撬石頭的示意圖.點(diǎn)「是支點(diǎn).當(dāng)用力壓

杠桿的A端時(shí)，杠桿繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端8向上翹起，石頭就被撬動(dòng).現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿

的8端必須向上翹起5cm,已知4B:BC=10:1,要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向二壓

cm.

【變式1-2】（2023春?安徽合肥?九年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A

端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OAi時(shí)，拉

力為H，過(guò)點(diǎn)將作81c_LOA,過(guò)點(diǎn)Ai作AiD_L（JA,垂足分另!為點(diǎn)C、D.①△OB|Cs/\OA|D；

②OA?OC=OBPD；③OC?G=OD?Fi；?F=Fi.

【變式1-3］（2023春?江蘇泰州?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1,在△ABC中，G是BC的中點(diǎn)，E是AG的中點(diǎn),

CE的延長(zhǎng)線交AB于D,求AD：BD

（1）解：過(guò)G作GF〃AB,交CD于F.

請(qǐng)繼續(xù)完成解答過(guò)程：

（2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理”

解答本題：（如圖2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg,

G點(diǎn)承受質(zhì)量為2kg：當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg：

再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=lkg：2kg=l：2應(yīng)用：如圖3,在△ABC中，G是BC上一點(diǎn)，E

BG_2AE

是AG上一點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交AB于D,且CG=3,EG=2,求AD：BD

解：設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg,則C端所掛物體質(zhì)量為_(kāi)kg,G點(diǎn)承受質(zhì)量為_(kāi)kg；

當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為一kg；再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=_.

【題型2建筑物問(wèn)題】

【例2】（2023春?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，建筑物8C上有一個(gè)旗桿4B,小芳計(jì)劃用學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量該

建筑物的高度，測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹(shù)產(chǎn)以小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上

的點(diǎn)E、樹(shù)頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)G、樹(shù)頂F、建筑物頂端B恰

好在一條直線上，已知旗桿力8=3米，尸。=4米，DE=5米,EG=1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，

點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上，/（、FO均垂直于CG,請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高

【變式2-1］（2023春?山東濟(jì)南?九年級(jí)期末）小軍想出了一個(gè)測(cè)策建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平

放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)。處恰好看到建筑物A3的頂端A在鏡子

中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）.設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m,BC、CO的長(zhǎng)分別為60m、3m,求這

座建筑物的高度.

【變式2-3】（2023春?四川達(dá)州?九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，4。、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站

在兩路燈桿之間，兩人相距6.5〃?，小明站在。處，小亮站在。處，小明在路燈。下的影長(zhǎng)為2〃?，己知小

明身高1.8〃?，路燈高.小明在路燈下的影子頂部恰好位于路燈QA的正下方，小亮左路燈下

的影子頂部恰好位于路燈8C的正下方.

D

Q

①計(jì)算小亮在路燈。下的影長(zhǎng)：

②計(jì)算建筑物4。的高.

【題型3樹(shù)高問(wèn)題】

【例3】（2023春?陜西咸陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測(cè)量一棵古松樹(shù)的高度，但因樹(shù)旁有一條小河,

不能測(cè)量鏡子與樹(shù)之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，他在

點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像:第二次他把鏡子放在點(diǎn)U處，他在點(diǎn)尸處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像.已

知EF1BF\EF工BFL小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=口尸=1.7m）,量得CC'=

12m,CF=1.8m,C'F'=4.2m.求這棵古松樹(shù)的高度A8.（鏡子大小忽略不計(jì)）

【變式3-1】（2023春?江蘇鹽城?九年級(jí)校聯(lián)考期末）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作

《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行

一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦

與表末參合?問(wèn)島高幾何？

譯文：今要測(cè)量海島上一座山峰4”的高度，在B處和。處樹(shù)立標(biāo)桿8c和?！?標(biāo)桿的高都是3丈，4和

。兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且從“，和在同一平面內(nèi).從標(biāo)桿8c后退123步

的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端。在同?直線上；從標(biāo)桿后退127步的G處可以看到頂峰A和標(biāo)桿

頂端E在同一直線上.則山峰AH的高度是.

HBFDG

【變式3-2］（2U23春?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹(shù)，在某時(shí)刻，1.2m長(zhǎng)的竹

竿垂直地面，影長(zhǎng)為2/〃，此時(shí)，樹(shù)的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上

的影高為2〃?，則這棵樹(shù)高約有多少米（）

A.6.4米B.5.4米C.4.4米D.3.4米

【題型4河寬問(wèn)題】

【例4】（2023春?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹(shù)，

每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每?jī)筛娋€桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點(diǎn)P處,

正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹(shù)遮擋住，那么這條河流的寬度是一米.

f北岸f

三

三

三

二

三

三三

三

MS三5

二

三

一

|?二?

二

三sss

W三

三

二

公

w三

三

目

工

金

三

三

三

三

二

二

\/南岸

\/

P

【變式4-1】（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校校考期末）如圖，小斌想用學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)算河的寬

度EF.在河對(duì)岸有一棵高4米的樹(shù)GF,樹(shù)GF在河里的倒影為HF,GF=H凡小斌在岸邊調(diào)整自己的位置,

當(dāng)恰好站在點(diǎn)B處時(shí)看到岸邊點(diǎn)。和倒影頂點(diǎn)H在一條直線上，點(diǎn)C到水面E尸的距離CE=0.8米=1.6

米，BC=2.4米，AB1BC,CE1EF,FH1EF,GF1EF,BCIIFF,視線4,與水面E產(chǎn)的交點(diǎn)為。，請(qǐng)

你根據(jù)以上測(cè)量方法及數(shù)據(jù)求河的寬度￡入

【變式4-2］（2023春?河南南陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識(shí)后，善于思考的小明和小穎兩位

同學(xué)想通過(guò)所學(xué)計(jì)算橋小產(chǎn)的長(zhǎng).如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)4,再在河

岸的這?邊選出點(diǎn)8和點(diǎn)C,分別在AB、4C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)。、E,使得DEIIBC.經(jīng)測(cè)量,BC=120米，DE=

200米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米.已知于點(diǎn)心請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋4"的

長(zhǎng)度.

【變式4-3］（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長(zhǎng)，在離河岸。點(diǎn)2米遠(yuǎn)

的B點(diǎn)，立一根長(zhǎng)為1米的標(biāo)桿48,在河對(duì)岸的岸邊有?塊高為2.5米的安全警示牌MF,警示牌的頂端M在

河里的倒影為點(diǎn)N,即PM=PN,兩岸均高出水平面1.25米,即DE=FP=1.25米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三

點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)、B、D、F共線,若4B、DE、MF均垂直于河面EP,求河寬EP是

多少米?

M

【題型5影長(zhǎng)問(wèn)題】

【例5】（2023春?安徽蚌埠?九年級(jí)統(tǒng)考期中）在陽(yáng)光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的垂直地面的竹竿的

影長(zhǎng)為（）.6米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)最樹(shù)的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第

一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長(zhǎng)為0.2米，一級(jí)臺(tái)階高為0.3米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為4.42米,

則樹(shù)高為（）

A.6.93米B.8米C.11.8米D.12米

【變式5-1】（2023春?安徽安慶?九年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谥校榱藴y(cè)量學(xué)校旗桿的高度4B,數(shù)學(xué)興趣

小組帶著標(biāo)桿和皮尺來(lái)到操場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)

C沿8C后退，當(dāng)退行1.8米到。處時(shí)，恰好在鏡子中看到旗桿頂點(diǎn)4的像，此時(shí)測(cè)得小紅眼睛到地面的距

離ED為1.5米;然后，小明在尸處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿/G,發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)H、標(biāo)桿頂點(diǎn)G和旗

桿頂點(diǎn)A在一條直線上，此時(shí)測(cè)得"/為2.4米，。產(chǎn)為3.3米，已知A8_L8H,EDYBH,GFLBH,點(diǎn)B、

C、D、尸、”在一條直線上.

⑴直接寫(xiě)出為=_;

8c

（2）請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算學(xué)校旗桿A8的高度.

【變式5-2］（2023春?安徽亳州?九年級(jí)蒙城縣第六中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，AD.3C為兩路燈，身高相同

的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5〃?，小明站在P處，小亮站在。處，小明在路燈。下的影長(zhǎng)

為2m,已知小明身高1.8〃?，路燈3C高9洲.

①計(jì)算小亮在路燈。下的影長(zhǎng)；

②計(jì)算建筑物A。的高.

D

APO3

【變式5-3］（2023春?江蘇南通?九年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀以下文字并解答問(wèn)題：在“測(cè)量物體的高度'活動(dòng)

中，某數(shù)學(xué)興趣小組的3名同學(xué)選擇了測(cè)量學(xué)校里的三棵樹(shù)的高度，在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，他們分別做了

以下工作:

小芳：測(cè)得一根長(zhǎng)為I米的竹竿的影長(zhǎng)為0.8米，甲樹(shù)的影長(zhǎng)為4.08米（如1圖）.

小華：發(fā)現(xiàn)乙樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如2圖），墻壁上的影長(zhǎng)為

1.2米，落在地面上的影長(zhǎng)為2.4米.

小明：測(cè)得丙樹(shù)落在地面上的影長(zhǎng)為2.4米，落在坡面上影長(zhǎng)為3.2米（如3圖）.身高是1.6米的小明站

在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測(cè)得他的影長(zhǎng)為2米.

（1）在橫線上直接填寫(xiě)甲樹(shù)的高度為米，乙樹(shù)的高度為米；

（2）請(qǐng)求出內(nèi)樹(shù)的高度.

【題型6實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】

【例6】（2023春?江西景德鎮(zhèn)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩T?多年前，我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實(shí)

驗(yàn).他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開(kāi)一個(gè)小孔，小孔對(duì)面的墻上就會(huì)出現(xiàn)外面景物的倒

像.小宇在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來(lái)觀察小孔成像的現(xiàn)象.已知?根點(diǎn)燃的蠟燭距

小孔（P）20cm,光屏在距小孔30cm處，小宇測(cè)得蠟燭的火焰高度為4cm,則光屏上火焰所成像的高度為

（）

―像距fe-物距T

A.8cmB.6cmC.5cmD.4cm

【變式6-1]（2023春.陜西西安.九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn),

地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡.手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)8處反射后，

恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)尸，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m,點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m,

燈泡到木板的水平距離AC=5.4m,墻到木板的水平距離為CD=4m.已知光在鏡面反射中的入射角等于反

射角,圖中點(diǎn)4、B、C、。在同一水平面上.求燈泡到地面的高度AG.

【變式6-2】（2023?陜西西安?校考一模）【學(xué)科融合】如圖1,在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線

都在同一個(gè)平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r,這就是光的反射定律.

【問(wèn)題解決】如圖2,小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面

鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)8處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)尸，落在墻上

的點(diǎn)石處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m,點(diǎn)rE到地面的高度6=1.5m,燈泡到木板的水平距離何=5.4m,

木板到墻的水平距離為CD=4m.圖中A,B,C,。在同一條直線上，求燈泡到地面的高度4G.

【變式6-3]（2023春?河北唐山?九年級(jí)?？计谀┠承＞拍昙?jí)一班的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課安排了測(cè)量操場(chǎng)上豎直

的懸掛國(guó)旗的旗桿的高度.甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)的測(cè)量方案如圖所示：甲組測(cè)得圖中8。=60米，

。0=3.4米，CO=1.7米；乙組測(cè)得圖中，Q9=1.5米，同一時(shí)刻影長(zhǎng)F0=0.9米，￡8=18米：丙組測(cè)得

圖中，CD\\EF\\AB,I||AD,40=90米，EF=0.2米，人的臂長(zhǎng)Z為0.6米，請(qǐng)你任選兩種方案，利用實(shí)驗(yàn)

數(shù)據(jù)求出該校旗桿的高度.

【例7】（2023?河北?統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)

門(mén).出北門(mén)二十步有木，出南門(mén)十四步，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木.問(wèn)邑方幾何？”大意是：如圖,

四邊形EFG”是一座正方形小城，北門(mén)A位于R7的中點(diǎn)，南門(mén)8位于E"的中點(diǎn).從北門(mén)出去正北方向

20步遠(yuǎn)的C處有一樹(shù)木，從南門(mén)出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見(jiàn)。處的樹(shù)木，則正

方形小城的邊長(zhǎng)為（）

A.105步B.200步C.250步D.305步

【變式7-1】（2023春?福建泉州?九年級(jí)晉江市第一中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面

以上部分深度的方法.如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB,從木桿的頂端8觀察井水水岸

。，視線6。與井口的直徑AC交于點(diǎn)E,如果測(cè)得88=1米，力C=1.6米，力￡=0.4米，那么。。為（）

米.

【變式7-2]（2023春?浙江?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：如圖，今有山力B位于樹(shù)的西

面，山高為未知數(shù)，山與樹(shù)相距53里，樹(shù)高9丈5尺，人站在離樹(shù)3里的地方，觀察到樹(shù)梢C恰好與山

峰4處在同一斜線上，人眼離地7尺，則山的高為（保留到整數(shù)，1丈=10尺）（）

A.162丈B.163丈C.164丈D.165丈

【變式7-3]（2023春?九年級(jí)單元測(cè)試）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)距的方法.如圖，有座塔在河流北岸

的點(diǎn)E處，一棵樹(shù)位于河流南岸的點(diǎn)A處，從點(diǎn)A處開(kāi)始，在河流南岸立4根標(biāo)桿，以這4根標(biāo)桿為頂點(diǎn),

組成邊長(zhǎng)為10米的正方形48。。，且4,D,七三點(diǎn)在一條直線上，在標(biāo)桿3處觀察塔石，視線8E與邊0C相

交于點(diǎn)立如果測(cè)得“=4米，那么塔與樹(shù)的距離AE為米.

【題型8實(shí)際生活抽象出相似】

【例8】（2023春?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖I是一種手機(jī)托架，使用該手機(jī)托架示意圖如圖3所示，底部

放置手機(jī)處寬AB=L2厘米，托架斜面長(zhǎng)BD=6厘米，它有C到F共4個(gè)檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個(gè)檔位間的

距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米.將某型號(hào)手機(jī)置于死架上（圖2）,手機(jī)屏幕KAG是15

厘米，O是支點(diǎn)且OB=OE=2.5厘米（支架的厚度忽略不計(jì)）.當(dāng)支架調(diào)到E檔時(shí)，點(diǎn)G離水平面的距離

GH為cm.

圖1圖2圖3

【變式8-1］（2023春?浙江溫州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意

圖，圖3是在打開(kāi)狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm）,則從閉合到打開(kāi)B,。之間的距離減少了（）

圖1圖2圖3

A.25mmB.20mmC.15mmD.8mm

【變式8-2】（2023春?浙江湖州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一個(gè)家用折疊梯子，使用時(shí)四個(gè)踏板都是平行于

地而且全等的矩形，已知踏板寬8尸=20cm,BC=CD=DE=EL=25cm,將踏板往上收起時(shí)（如圖2）,

點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，此時(shí)，踏板可以看作與支架力L重合，將梯子垂直擺放時(shí)，點(diǎn)A離地面的高度4L為

cm.圖3是圖1的簡(jiǎn)略視圖，若點(diǎn)”恰好在點(diǎn)A的正下方，此時(shí)點(diǎn)A到地面LM的高度是.

小⑹

C7

6”

E\/

小

圖2

【變式8-3］（2023?九年級(jí)單元測(cè)試）將一本高為17cm（即Et=17cm）的詞典放入高（A8）為16cm的收

納盒中（如圖1）.恰好能蓋上盒蓋時(shí)，測(cè)得底部少離收納盒最左端8處8cm,若此時(shí)將詞典無(wú)滑動(dòng)向右倒，

書(shū)角H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H'恰為CD中點(diǎn).

【變式9-3］（2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀理解：

如圖I,4。是△ABC的高，點(diǎn)E、尸分別在A8和4C邊上，豆EF“BC,可以得到以下結(jié)論：察=%

拓展應(yīng)用：

（1）如圖2,在△ABC中，BC=3,8C邊上的高為4,在△4BC內(nèi)放一個(gè)正方形EFGM,使其一邊GM在8c

上，點(diǎn)瓜產(chǎn)分別在48、4c上，則正方形EFGM的邊長(zhǎng)是多少？

⑵某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個(gè)腰長(zhǎng)為100cm,底邊長(zhǎng)為1601切的等腰三角形展臺(tái).現(xiàn)需將

展臺(tái)用隔板沿平行于底邊，每間隔10。〃分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個(gè)無(wú)蓋正方體格子，

要求每個(gè)正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒.平面設(shè)計(jì)圖如圖3所示,將底邊13C的長(zhǎng)度看作是0排隔板的長(zhǎng)度.

①在分隔的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方體間的隔板厚度忽略不計(jì)時(shí)，每排的隔板長(zhǎng)度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單

位：排）的變化而變化.請(qǐng)完成下表：

排數(shù)/排0123???

隔板長(zhǎng)度/厘米160———???

若用〃表示排數(shù)，），表示每排的隔板長(zhǎng)度，試求出），與〃的關(guān)系式;

②在①的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出該展臺(tái)最多可以擺放多少瓶菊?萄酒？

專(zhuān)題6.5相似三角形的應(yīng)用【九大題型】

【蘇科版】

，題型梳理

【撅型1杠桿問(wèn)撅】..............................................................................1

【題型2建筑物問(wèn)題】...........................................................................3

【題型3樹(shù)高問(wèn)題】.............................................................................4

【題型4河寬問(wèn)題】.............................................................................5

【題型5影長(zhǎng)問(wèn)題】.............................................................................6

【題型6實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】.............................................................................8

【題型7九章算術(shù)】.............................................................................9

【題型8實(shí)際生活抽象出相似】..................................................................11

【題型9三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題】.................................................................52

，舉一反三

【題型1杠桿問(wèn)題】

【例1】（2023?吉林白城?校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)

動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了.在圖②中，杠桿的0端被向上翹起的距離BO=9cm,動(dòng)力臂04與

阻力臂。8滿足04=30B（4B與CO相交于點(diǎn)。），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓cm.

【答案】27

【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)C向下壓的長(zhǎng)度.

【詳解】解：由題意得，ACWBD,

**?AAOCsbBOD,

...一AC=-AO

BDBO

*：A0=30Bf

.ACAO

?.————3o，

BDBO

?.AC=3BD=27cm?

???至少要將杠桿的。點(diǎn)向下壓27cm,

故答案為：27.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確地溝造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1】（2023春?河南南陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓

杠桿的A端時(shí).，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng).現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿

的B端必須向上翹起5cm,已知力B:BC=10:1,要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向二壓________

【答案】45

【分析】如圖：AM.BN都與水平線的垂直，例，N是垂足，則4MII8N,即△ACM?△8CN,然后根據(jù)相

似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.

【詳解】解：如圖，AM、8N都與水平線的垂直，M,N是垂足，則AMII8N,

'：AMIIBN,

：.LACMBCN,

.ACAM

??"，

BCBN

'：AB:BC=10:1,

A^=—=9,B[UM=98N,

BCBN

:.當(dāng)BN>5cm時(shí),AM>45cm,

故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的4端向下壓45cm.

故答案為：45.

B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，王確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的

關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023春?安徽合肥?九年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A

端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OAi時(shí)，拉

力為B，過(guò)點(diǎn)Bi作BC_LOA,過(guò)點(diǎn)Ai作AQ_LOA,垂足分別為點(diǎn)C、D.①△0BCs/\0AQ；

②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?Fi；@F=F）.

【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出BC〃AiD,然后求出

△OB.C-AOA.D,判斷出①正確；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；根據(jù)杠桿平衡

原理：動(dòng)力x動(dòng)力臂=阻力x阻力臂列式判斷出③正確；求出F的大小不變，判斷出④正確.

【詳解】VBiClOA,AiDlOA,

，B|C〃A|D,

AAOBIC^AOAID,故①正確；

VAOBIC^AOAID,

.CC_05i

**0D~OA^

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OB”O(jiān)A=OAi，

.\OA-OC=OB*OD,故②正確；

由杠桿平衡原理，OC?G=OD?Fi，故③正確；

?..&=變=處="是定值，

C0D。/0A

，F(xiàn)|的大小不變，

.*.F=Fi，故④正確.

綜上所述，說(shuō)法正確的是①②③④.

故選D.

【變式1-3］（2023春?江蘇泰州?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1,在△ABC中，G是BC的中點(diǎn)，E是AG的中點(diǎn),

CE的延長(zhǎng)線交AB于D,求AD：BD

（1）解：過(guò)G作GF〃AB,交CD于F.

請(qǐng)繼續(xù)完成解答過(guò)程：

（2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理”

解答本題：（如圖2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg,

G點(diǎn)承受質(zhì)量為2kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg：

再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=lkg：2kg=l：2應(yīng)用：如圖3,在△ABC中，G是BC上一點(diǎn)，E

BGJAE

是AG上一點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交AB于D,且CG=E,EG=2,求AD：BD

解：設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg,則C端所掛物體質(zhì)量為_(kāi)kg,G點(diǎn)承受質(zhì)量為_(kāi)kg；

當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為_(kāi)kg；再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=_.

【答案】（1）AD：BD=I：2；（2）4,10,5,6：5.

【詳解】試題分析：（1）如圖1,過(guò)G作GF〃AB,交CD于F,得到△EFGs/\ADE,根據(jù)相似三角形的

GF二FGGFCG

想知道的他一膽求得GF二AD,根據(jù)ZkCGFsaCBD,得至ijBlTBC,即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題目中提供的解題思路和方法，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案.

解：（1）如圖1,過(guò)G作GF〃AB,交CD于F,

.,.△EFG^AADE,

GF_EG

???麗F,

???E是AG的中點(diǎn),

GF

:.AE=1,

??.GFnAD,

VGF/7BD,

/.△CGF^ACBD,

GF二3

???G是BC的中點(diǎn)，

史」

??.麗而，

AAD：BD=1：2：

（2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg,

BG2

VCG=1,

BG2

???C端所掛物體質(zhì)審：B端所掛物體質(zhì)量=欣=百，

AC端所掛物體質(zhì)軟=4kg,G點(diǎn)承受質(zhì)量=C端所掛物體質(zhì)量+B端所掛物體質(zhì)量=10kg；

當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，

AE

VEG二2.

JA端所掛物體質(zhì)量：G點(diǎn)承受質(zhì)量=1：2,

-A端所掛物體質(zhì)量=5kg；

以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=B端所掛物體質(zhì)量：A端所掛物體質(zhì)量=6：5.

故答案為4,10,5,6：5.

考點(diǎn)：相似形綜合題.

【題型2建筑物問(wèn)題】

【例2】（2023春?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，建筑物BC上有一個(gè)旗桿力8,小芳計(jì)劃用學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量該

建筑物的高度，測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹(shù)產(chǎn)。，小芳沿C。后退，發(fā)現(xiàn)地面上

的點(diǎn)E、樹(shù)頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)G、樹(shù)頂F、建筑物頂端B恰

好在一條直線上，已知旗桿48=3米，"0=4米，OE=5米，EG=1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，

點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上，AC,F。均垂直于CG,請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高

A

G

【答案】這座建筑物的高BC為14米.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出CD,進(jìn)而解答即可.

【詳解】解：由題意可得，ZACE=ZFDE=90°,NAEONFED,

/.△ACE-ArDE,

?AC_CE叩3+BC_CD+5

**FD-DE'4-5

?5BC-5

?.rCnD=-----,

4

由題意可得，ZBCG=ZFDG=90°,NBGC=/FGD,

/.△BCG^AFDG,

.BCCG.BCCD+5+1.5

??=,Bl1、J=，

FDDG45+1.5

A6.5BC=4（CD+6.5）,

A6.5FC=4x^^+26,

4

/.BC=14,

???這座建筑物的高BC為14米.

【點(diǎn)睛】此題考杳似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答.

【變式2-1】（2023春?山東濟(jì)南?九年級(jí)期末）小軍想出了一個(gè)測(cè)量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平

放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)。處恰好看到建筑物A8的頂端4在鏡子

中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）.設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m,BC、C。的長(zhǎng)分別為60m、3m,求這

座建筑物的高度.

【答案】33米

【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出黑=能進(jìn)而得出4B的長(zhǎng).

七LzLzC

【詳解】解：由題意可得：NABC=NEDC,NACB=NECD,

'ABCsXEDC,

A3_BC

"ED~DC'

???小軍的眼睛距地面1.65m,BC、CO的長(zhǎng)分別為60m、3m,

.AB60

,,石

解得：AB=33,

答：這座建筑物的高度為33m.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用.結(jié)合平面鏡成像的特點(diǎn)證明兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)

鍵.

【變式2-2］（2023春?江蘇?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明想測(cè)量河時(shí)岸建筑物/W的高度，在地面上C處放

置了一塊平面鏡，然后從C點(diǎn)向后退了2.4米至。處，小明的眼睛上恰好看到了鏡中建筑物A的像，在。

處做好標(biāo)記，將平面鏡移至。處，小明再次從。點(diǎn)后退2.52米至F處，眼睛G恰好又看到了建筑物頂端4

的像，已知小明眼睛距地面的高度ED,G廣均為1.6米，求建筑物48的高度.（注：圖中的左側(cè)a,p為

入射角，右側(cè)的a,P為反射角）

【答案】32米

【分析】易得△ABCSAEDC以及△ABDs^GFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于x和y的方程組，求解

即可.

【詳解】解：設(shè)為mi,BC為刈,

根據(jù)題意知，〉A(chǔ)BCsXEDC,有:=奈）.

△ABDSAGFD,有品=撒.

聯(lián)》①②，得x=32.

答：建筑物AB的高度為32〃?.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023春?四川達(dá)州?九年級(jí)校考期末）如圖所示，AD.4c為兩路燈，身高相同的小明、小亮站

在兩路燈桿之間，兩人相距6.5〃?，小明站在P處，小亮站在。處，小明在路燈C下的影長(zhǎng)為2相，已知小

明身高1.8〃?，路燈8c高9m.小明在路燈8c下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下

的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方.

D

①計(jì)算小亮在路燈。卜的影長(zhǎng)：

②計(jì)算建筑物A。的高.

【答案】①1.5米②12米

【分析】①根據(jù)EP1AB.CB1AB,找至此“力=LCBA=90。，求證出△EAPs&C4B根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊

成比例代入數(shù)據(jù)即可

②根據(jù)FQ1AB.AD14B,找至I」乙BFQ=4BDA求證出△BFQ?△8D4根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可

【詳解】?VEP±AB,CB1AB,

：,LEPA=Z.CBA=90°,

vZ.EAP=Z.CAB,

：,LEAP^^CAB

；一EP=一AP

BCAB

.1.82

??=~~

yAb

AAB=10,

ABQ=10-2-6.5=1.5,

即小亮在路燈D下的影長(zhǎng)是1.5米.

②?：FQ1AB,AD1AB,

.??/QIMF,

：,LBFQ=Z.BDA.

?:乙BQF=/.BAD,

/.ABFQs〉ROA

_FQ

??BQ—，

BADA

...一1.5=一1.8,

10DA

解得DA=12,

???建筑物的高為12米.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相

似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解。

【題型3樹(shù)高問(wèn)題】

【例3】（2023春.陜西咸陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測(cè)審一棵古松樹(shù)的高度，但因樹(shù)旁有一條小河,

不能測(cè)量鏡子與樹(shù)之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，加圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)。處，他在

點(diǎn)尸處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像;第二次他把鏡子放在點(diǎn)U處，他在點(diǎn)尸處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像.已

知H8J.8F',EF1BF',EF—小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=口尸=1.7m）,量得CC'=

12m,CF=1.8m,UF，=4.2m.求這棵古松樹(shù)的高度（鏡子大小忽略不計(jì)）

【答案】8.5米

【分析】先證明△48C-△￡1%,得出第=蹙，再證明△48C7EFL,得出器二宅，由EF=0尸，得

出箓=需，繼而求出BC的長(zhǎng)度，代入蕓二.即可求出超的長(zhǎng)度，即可得出答案.

BCuCAuBC

【詳解】解：?.?乙4BC=乙EFC=90°,乙4cB=乙ECF,

???△ABC5sEFC,

EFCF

...一=一,

ABBC

???iABC'=乙E，F(xiàn)C=90°,LACB=乙ECF\

??.△/IBCE'F'C',

-E-'F-'=-C-'-F',

ABBC'

VEF=E'F'=1.7m,

vCC=12m,CF=1.8m,C'F'=4。2m,

.18_4.2

,,EC-BC+12'

解得：BC=9,

?_1_.7—.1....8.

AB~9，

解得：AB=8.5,

答：這棵占松樹(shù)的高度為8.5m.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023春?江蘇鹽城?九年級(jí)校聯(lián)考期末）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早?部測(cè)量數(shù)學(xué)著作

《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相宜.從前表卻行

一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦

與表末參合.問(wèn)島高幾何？

譯文：今要測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，在8處和。處樹(shù)立標(biāo)桿3c和標(biāo)桿的高都是3丈，3和

。兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且A”，C8和?！暝谕黄矫鎯?nèi).從標(biāo)桿8C后退123步

的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端。在同一直線匕從標(biāo)桿即后退127步的G處可以看到頂峰A和標(biāo)桿

頂端E在同一直線上.則山峰的高度是.

HBFDG

【答案】1255步

【詳解】試題解析：???AH〃BC,

AABCF^AHAF,

.BF__BC

?,HFAH，

又：DE〃AH,

/.△DEG^AHAG,

XVBC=DE,

.fiF_DG

,?而一而‘

即I123_127

，

'123+HB127+1000+A/B

/.BH=30750（:步），

▽..BF_BC

乂，訴=而，

AAH=5X（307501123）=1255（步）.

123

【變式3-2］（2023春?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在離某建筑物4加處有一棵樹(shù)，在某時(shí)刻，1.2m長(zhǎng)的竹

竿垂直地面，影長(zhǎng)為2相，此時(shí)，樹(shù)的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上

的影高為2〃?，則這棵樹(shù)高約有多少米（）

A.6.4米B.5.4米C.4.4米D.3.4米

【答案】C

【分析】因?yàn)樵谕?時(shí)刻同?地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)的比值相同，利用竹竿這個(gè)參照物就可以求出圖

中的BE.BC是BE的影子，然后加上CD加上樹(shù)高即可.

【詳解】解；過(guò)點(diǎn)C作CE〃AD交AB于點(diǎn)E,

則CD=AE=2m,△BCE^ABZBA\

，AB：BB=BE：BC,

即1.2：2=BE：4,

ABE=2.4,

Z.AB=2.4+2=4.4.

答:這棵樹(shù)高約有4.4m.

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，此題主要是要知道在同?時(shí)刻同?地點(diǎn)任何物體的高與其影子長(zhǎng)的比值

相同這個(gè)結(jié)論，然后根據(jù)題目條件就可以求出樹(shù)高.

【變式3-3](2023春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，左、右并排的兩株大樹(shù)的高分別為A3=8m,CD=12m,

兩樹(shù)底部的距離BD=5m,土紅估計(jì)自己眼睛距地面1.6m.她沿著連接這兩棵樹(shù)的一條水平直路/從左向

右前進(jìn)，在前進(jìn)的過(guò)程中，她發(fā)現(xiàn)看不到右邊較高的樹(shù)的頂端C.此時(shí)，她與左邊較低的樹(shù)的水平距離

()

HD

A.小于8mB.小于9mC.大于8mD.大于9m

【答案】A

【分析】連接C4并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)M過(guò)N作NM1L于點(diǎn)M,設(shè)NH=xm,證明△NH4NKC,由相似三

角形的性質(zhì)即可求得x的值，從而確定答案.

【詳解】解：如圖，連接C4并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)M過(guò)N作NM11亍點(diǎn)M,

VFGHZ,EF,NM,HB,KD均垂直于直線h

：?NM=HB=KD=FE=1.6m,

=AB-HB=6.4m,CK=CD-KD=10.4m；

由題意知，四邊形HBDK是矩形，則〃K=BD=5m；

設(shè)NH=xm,則NK=NH+HK=(x+5)m,

VAHUCK,

：.LNHA"NKC,

.AHNH

??"f

CKNK

即=2L,

10.4X+S

解得：x=8；

當(dāng)王紅剛好看到右邊較高的樹(shù)的頂端。時(shí)，她與左邊較低的樹(shù)48的水平距離為8m,當(dāng)她看不到較高的樹(shù)的

頂端C時(shí)，則她與左邊較低的樹(shù)48的水平距離應(yīng)小于8m；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，靈活利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型4河寬問(wèn)題】

【例4】（2023春?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹(shù)，

每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每?jī)筛娋€桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點(diǎn)。處,

正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹(shù)遮擋住，那么這條河流的寬度是一米.

f北岸f

蕓

一

工一。

---三

三

二

三

二

三

三

S-二

三

二

二

二

二

二

二

三

SSS<二

二

M二

三

三

二

X1三

三

目

二

三

二

二

'、、/南岸

\/

P

【答案】36

【分析】根據(jù)題意，利用相似三角形的判定定理可得△力8P?ADCP,再由其性質(zhì)：相似三角形高的比等于相

似比進(jìn)行求解即可得.

【詳解】解：如圖,

???北岸相鄰