隱函數(shù)基礎(chǔ)知識點

隱函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)中，隱函數(shù)是由隱式方程所確定的函數(shù)。設(shè)有方程\(F(x,y)=0\)，若在某一區(qū)間內(nèi)，存在一個函數(shù)\(y=f(x)\)，使得對于該區(qū)間內(nèi)的每一個\(x\)值，都有\(zhòng)(F(x,f(x))=0\)恒成立，則稱\(y=f(x)\)是由方程\(F(x,y)=0\)所確定的隱函數(shù)。例如，方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，在一定條件下可以確定\(y\)是\(x\)的函數(shù)。在\(y\geq0\)時，\(y=\sqrt{1-x^{2}}\)；在\(y\lt0\)時，\(y=-\sqrt{1-x^{2}}\)。隱函數(shù)存在定理1.一個方程確定的隱函數(shù)存在定理：設(shè)函數(shù)\(F(x,y)\)在點\(P(x_{0},y_{0})\)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且\(F(x_{0},y_{0})=0\)，\(F_{y}(x_{0},y_{0})\neq0\)，則方程\(F(x,y)=0\)在點\((x_{0},y_{0})\)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)\(y=f(x)\)，它滿足條件\(y_{0}=f(x_{0})\)，且其導(dǎo)數(shù)為\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}\)。這里\(F_{x}\)和\(F_{y}\)分別表示\(F(x,y)\)對\(x\)和\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)。2.方程組確定的隱函數(shù)存在定理：對于方程組\(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}\)，設(shè)函數(shù)\(F(x,y,u,v)\)和\(G(x,y,u,v)\)在點\(P(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})\)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且\(F(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})=0\)，\(G(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})=0\)，且函數(shù)行列式（雅可比行列式）\(J=\begin{vmatrix}\frac{\partialF}{\partialu}&\frac{\partialF}{\partialv}\\\frac{\partialG}{\partialu}&\frac{\partialG}{\partialv}\end{vmatrix}\neq0\)，則方程組在點\((x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})\)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)\(u=u(x,y)\)，\(v=v(x,y)\)，它們滿足條件\(u_{0}=u(x_{0},y_{0})\)，\(v_{0}=v(x_{0},y_{0})\)。隱函數(shù)的求導(dǎo)方法1.直接求導(dǎo)法：對方程\(F(x,y)=0\)兩邊同時對\(x\)求導(dǎo)，在求導(dǎo)過程中把\(y\)看作\(x\)的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)，然后解出\(\frac{dy}{dx}\)。例如，對于方程\(e^{x+y}-xy=0\)，兩邊對\(x\)求導(dǎo)：\((e^{x+y})(1+\frac{dy}{dx})-(y+x\frac{dy}{dx})=0\)，展開得到\(e^{x+y}+e^{x+y}\frac{dy}{dx}-y-x\frac{dy}{dx}=0\)，移項整理可得\(\frac{dy}{dx}=\frac{y-e^{x+y}}{e^{x+y}-x}\)。2.公式法：根據(jù)隱函數(shù)存在定理中的求導(dǎo)公式\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}\)。對于上述方程\(e^{x+y}-xy=0\)，令\(F(x,y)=e^{x+y}-xy\)，則\(F_{x}=e^{x+y}-y\)，\(F_{y}=e^{x+y}-x\)，所以\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}=\frac{y-e^{x+y}}{e^{x+y}-x}\)，與直接求導(dǎo)法結(jié)果一致。3.對數(shù)求導(dǎo)法：對于一些復(fù)雜的隱函數(shù)，尤其是涉及冪指函數(shù)或多個因子相乘除的情況，可先對等式兩邊取自然對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)。例如，對于\(y=x^{\sinx}\)（這可以看作隱函數(shù)形式，兩邊取對數(shù)得\(\lny=\sinx\lnx\)，兩邊對\(x\)求導(dǎo)：\(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\cosx\lnx+\frac{\sinx}{x}\)，所以\(\frac{dy}{dx}=y(\cosx\lnx+\frac{\sinx}{x})=x^{\sinx}(\cosx\lnx+\frac{\sinx}{x})\)。隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，一般是在求出一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對一階導(dǎo)數(shù)的表達式兩邊關(guān)于\(x\)求導(dǎo)。例如，已經(jīng)求得隱函數(shù)\(y=f(x)\)的一階導(dǎo)數(shù)\(\frac{dy}{dx}\)，設(shè)其為\(y'\)，對\(y'\)兩邊再對\(x\)求導(dǎo)得到二階導(dǎo)數(shù)\(y''\)。在求導(dǎo)過程中同樣要注意把\(y\)及其導(dǎo)數(shù)看作\(x\)的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。如對于方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，求導(dǎo)得\(2x+2y\frac{dy}{dx}=0\)，即\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)。再對\(\frac{dy}{dx}\)求導(dǎo)：\(y''=\frac{-y+x\frac{dy}{dx}}{y^{2}}\)，將\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)代入可得\(y''=