第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶市渝北中學高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(1,?1),b=(?2,3),c=(1,1)A.1 B.0 C.?1 D.?22.已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若a?α，a//β，則α//β B.若b⊥α，b?β，則α⊥β

C.若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ D.若a//b，b//α，則a//α3.已知向量a,b滿足|a|=A.?2 B.?1 C.1 D.24.在△ABC中，∠B=π3,AB=2,AC=19A.4 B.3 C.5 D.3或55.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，CD1和A.34 B.24 C.6.渝北中學大力傳承和弘揚“紅巖?蓮華”精神，在王樸母子雕像前舉行紀念活動.某同學為測量王樸母子雕像的高度AB(雕像的底端視為點B，雕像的頂端視為點A)，在地面選取了兩點C，D(其中A，B，C，D四點在同一個鉛垂平面內)，在點C處測得點A的仰角為30°，在點D處測得點A，B的仰角分別為60°，15°，測得CD=18(3+1)m，則按此法測得的王樸母子雕像AB的高為(

)A.34m B.35m C.36m D.37m7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a,b,c,b2?c2=a2?1A.53 B.73 C.838.已知非零向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且|A.?1 B.?14 C.?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若2acsin2B=3(a2+A.π6 B.π3 C.π210.已知向量a=(3,2),b=(?1,2),cA.|b|=5

B.若(a+kc)//(2b?a)，則實數k的值為?1613

C.若11.如圖，已知底面為矩形的四棱錐P?ABCD的頂點P的位置不確定，點M在棱CD上，且AM⊥BM，平面PAM⊥平面ABCD，則下列結論正確的是(

)A.PA⊥BM

B.平面PAM⊥平面PBM

C.存在某個位置，使平面PAM與平面PBC的交線與底面ABCD平行

D.若AD=23,MD=2，則直線CM與平面PAM三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a,b不共線，若a?kb與2a+13.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=1且ccosB+bcosC?2asinA=0，則△ABC外接圓面積為______．14.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點M為底面ABCD的中心，點N在側面四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BCD=90°，∠D=45°，AD=2，AC=5．

(1)求cos∠ACD；

(2)若BC=22，求AB16.(本小題12分)

已知點A(1,1)，B(5,3)，O為坐標原點，M為x軸上一動點．

(1)AM⊥BM，求點M的坐標；

(2)當AM?BM取最小值時，求向量AM17.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA1=2AC，N，M分別為AA118.(本小題12分)

如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AA1的中點．

(1)若點F滿足2FD1=D1D，求證：19.(本小題12分)

在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(sinA?sinB)?(sinA+sinB)=sinC(sinA?sinC)．

(1)求角B；

(2)求a2+c2b2的取值范圍；

(3)當b=1時，角B的平分線交參考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.C

7.C

8.C

9.BCD

10.ABD

11.ABD

12.?113.π

14.415.(1)在△ACD中，由正弦定理ACsinD=ADsin∠ACD，可得sin∠ACD=25，

由AC>AD，可得∠D>∠ACD，即∠ACD為銳角，所以cos∠ACD=1?sin2∠ACD=2316.(1)根據題意，設點M(x,0)，又A(1,1)，B(5,3)，

則AM=(x?1,?1),BM=(x?5,?3)，

由AM⊥BM，

可得AM?BM=(x?1)(x?5)+3=x2?6x+8=0，

解得x=2或x=4，

所以M的坐標為(2,0)或(4,0)；

(2)由(1)可得：AM?BM=x2?6x+8=(x?3)2?1，

當x=3時，AM?BM取得最小值?1，

此時AM=(2,?1),BM=(?2,?3)17.證明：(1)連接B1C交BC1于G，連MG，NG，

在三棱柱ABC?A1B1C1中，矩形CBB1C1中，CB1∩BC1=G，則C1G=BG，

∵M，G分別為BC，BC1的中點，∴MG//CC1且MG=12CC1，

∵N為AA1中點，∴AN//CC1且AN=12CC1，

∴MG//AN且MG=AN，

∴四邊形AMGN為平行四邊形，∴AM//GN，

∵AM?平面BNC1，GN?平面BNC1，

∴AM//平面BNC1．

(2)∵AA1⊥底面ABC，BC?平面ABC，∴AA1⊥BC，

∵AA1//CC1，∴BC⊥CC1，

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，

∵AC∩CC1=C，AC，CC1?平面ACC1A118.(1)證明：連接EF，AD1，由2FD1=D1D，知FD1//AA1，且FD1=12AA1，

因為E為AA1的中點，因此AE=12AA1，

因此FD1//EA，且FD1=EA，因此四邊形FEAD1為平行四邊形，

因此EF//AD1，

因為AB//D1C1，AB=D1C1，因此四邊形ABC1D1為平行四邊形，

因此AD1//BC1，

因此EF//BC1，故E，F，B，C1四點共面．

(2)證明：延長FE交DA于O，連接BO，則AB與面EBC1所成角就是AB與面EOB所成角．

過A作AG⊥BO交BO與G，連接EG，過A作AH⊥EG與H，連接BH，

因為AA1⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，因此ABCD，∴EA⊥BO，

因為AG∩EA=A，∴BO⊥，AG，EA?平面EAG，因此BO⊥平面EAG，

因為AH?平面EAG，因此EAG19.解：(1)因為(sinA?sinB)?(sinA+sinB)=sinC(sinA?sinC)，

由正弦定理，可得(a?b)(a+b)=c(a?c)，整理得a2+c2?b2=ac，

由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac=12，

又因為B∈(0,π)，所以B=π3．

(2)由(1)