第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖北省部分重點高中高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)z=a2?4+(a+2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為A.2 B.2或?2 C.?2 D.?42.與向量a=(1,?3)A.(32,12) B.(12,3.已知圓錐的母線長為2，高為3，則圓錐的全面積為(

)A.5π B.4π C.3π D.2π4.已知向量AB=(4,2)，AC=(?1,3)，則△ABC的面積為(

)A.52 B.7 C.10 5.正方體中，A，B，C，D分別是所在棱的中點，則下列圖形中AB與CD是異面直線，且所成的角為60°的是(

)A. B.

C. D.6.設A，B，C，D是同一個半徑為2的球的球面上四點，△ABC為等腰直角三角形且面積為3，則三棱錐D?ABC體積的最大值為(

)A.9 B.6 C.92 D.7.在△ABC中，AB=21，BC=5，AC=4，O為△ABC的外心，則OA?OBA.?72 B.72 C.?8.已知向量a，b滿足：|a|=1，|a+2b|=3A.3 B.10 C.4 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若復數(shù)z=1?i3?4i(i為虛數(shù)單位)，則下列說法正確的是A.復數(shù)z的虛部為125i

B.|z|=25

C.復數(shù)z對應的點在第一象限

D.復數(shù)ω滿足10.一組樣本有互不相等的5個數(shù)據(jù)，平均數(shù)記為x0，方差記為y0，下列說法錯誤的是(

)A.去掉樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)等于x0

B.去掉樣本數(shù)據(jù)中的最大值和最小值后得到一組新數(shù)據(jù)，其方差小于y0

C.去掉樣本數(shù)據(jù)中的最小值后得到一組新數(shù)據(jù)，其方差小于y0

11.如圖，四面體ABCD中，M是棱AB上的動點，N是棱CD上的動點(M、N不與四面體的頂點重合).記BN與DM所成的角為φ，BN與平面MCD的所成的角為θ，平面MCD與平面BCD的夾角為β，則φ，θ，β的大小關系不可能是(

)

(注：平面α與平面β相交形成的四個二面角中，不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角)A.φ>θ>β B.φ>β>θ C.β>θ>φ D.β>φ>θ三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.我市某所高中共有學生1800人，其中一、二、三年級的人數(shù)比為5：4：3，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為240的樣本，則應抽取一年級的人數(shù)為______．13.已知向量a,b,c滿足|b|=1，|c|=7，2a+14.設正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點M在正方體的表面上運動，且滿足A1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

復數(shù)z的共軛復數(shù)為z?,i為虛數(shù)單位．

(1)若1+i是關于z的實系數(shù)一元二次方程az2+bz+1=0的一根，求實數(shù)a，b的值．

(2)若16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=4，AC=3，BC=5．

(1)求證：A1B⊥平面17.(本小題15分)

七彩聯(lián)盟組織學生參加數(shù)學知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取500名學生的競賽成績?yōu)闃颖荆凑誟30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6組，制作出如圖所示數(shù)據(jù)不完整的頻率分布直方圖，并計算出：成績在[30,90)內(nèi)的學生的平均成績?yōu)閤1?=65分，方差為s12=200；成績在[90,150]內(nèi)的學生的平均成績?yōu)閤2?=115分，方差為s22=225；樣本的學生的平均成績?yōu)閤?=97分.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S=33，AB?AC=6，且有3cosAa+cosBb=2cosCc．

(1)19.(本小題17分)

(1)如圖1，直線l與△MON的三邊所在直線分別相交于P，Q，R三點.若OP=mPM，MQ=nQN，NR=tRO，證明：mnt=?1．

(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，經(jīng)過EF的平面α分別與棱BC，DA相交于點G，T(不與頂點重合)，證明：

①若AC//α，則BD//α(如圖2)；

②平面α始終平分四面體ABCD的體積.請僅就AC與平面α相交于點K時

參考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.ACD

11.AC

12.100人

13.3214.215.(1)法一：由已知有方程az2+bz+1=0的兩根為1±i，

由根與系數(shù)的關系得?ba=(1+i)+(1?i)=21a=(1+i)(1?i)=2

∴a=12,b=?1．

(1)法二：由1+i是方程的根，所以有a(1+i)2+b(1+i)+1=0，

整理得(b+1)+(2a+b)i，根據(jù)復數(shù)相等b+1=02a+b=0，解得a=12b=?1．

∴a=12,b=?1．

(2)16.(1)證明：在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

可得AB2+AC2=BC2，即AC⊥AB，

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

因為AC?平面ABC，所以AA1⊥AC，

又因為AA1∩AB=A，

所以AC⊥平面AA1B1B，

又因為A1B?平面AA1B1B，AC⊥A1B，

又知四邊形AA1B1B是正方形，所以A1B⊥AB1，

又因為AC∩AB1=A，

所以A1B⊥平面AB1C；

(2)解：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，B1C1//BC，

所以B1C1與平面17.(1)設成績在[90,150]的頻率為p，則成績在[30,90)的頻率為1?p，

因為成績在[30,90)內(nèi)的學生的平均成績?yōu)閤1?=65，

成績在[90,150]內(nèi)的學生的平均成績?yōu)閤2?=115，平均成績?yōu)閤?=97，

所以p×115+(1?p)×65=97，解得p=0.64．

則根據(jù)頻率分布直方圖有(0.014+a+0.006)×20=0.64，解得a=0.012．

(2)設獲得優(yōu)勝獎的成績?yōu)閅分，易計算得頻率分布直方圖成績在[90,110)，[110,130)，[130,150]的頻率分別為0.28、0.24、0.12，

則優(yōu)勝獎成績Y位于[90,110)中，

由此有Y?90110?90=0.64?0.600.014×20，解得Y=90+0.64?0.600.014=90+207≈93，

18.(1)由已知得S△ABC=12×bc×sinA=33AB?AC=bc×cosA=6，兩式相除得tanA=3，

又0<A<π，∴A=π3；

又已知3cosAa+cosBb=2cosCc，

根據(jù)余弦定理有

3×b2+c2?a22abc+a2+c2?b22abc=2×a2+b2?c219.證明：(1)因為OP=mPM=m1+mOM，由NR=tRO，可得OR=11+tON，

又P，Q，R三點共線，所以OQ=λOP+(1?λ)OR=λm1+mOM+1?λ1+tON①，

由MQ=nQN，可得OQ=11+nOM+n1+nON②，

因為OM,ON不共線，所以λm1+m=11+n1?λ1+t=n1+n，