第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省保定市六校聯(lián)盟高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=x?lnx的最小值為(

)A.1 B.e?1 C.0 D.1+2.設(shè)隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，P(0<X<4)=0.3，則P(X<0)=A.0.65 B.0.7 C.0.35 D.0.253.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則q的值為(

)X0123P0.3?q0.120.9?2q0.16A.0.16 B.0.09 C.0.59 D.164.對任意的實(shí)數(shù)x，若x4=a0+aA.1 B.4 C.16 D.245.如圖“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠四種不同的顏色供選擇給趙爽弦圖涂色，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰兩個(gè)區(qū)域顏色不同，不同的涂色方法總數(shù)為(

)A.48 B.24 C.144 D.726.已知函數(shù)f(x)=x(x?m)2在x=1處有極小值，則C6A.1 B.6 C.20 D.6或207.某校春季運(yùn)動(dòng)會(huì)需從6名男生和4名女生中選出5人組成志愿者小組，要求小組中至少有2名女生，則不同的選法共有(

)A.144種 B.186種 C.190種 D.336種8.已知直線y=kx+b是曲線f(x)=ex?2與曲線g(x)=lnx的公切線，則k+b等于A.e?2 B.e+2 C.e?2或0 D.0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是(

)A.(sinπ3)′=12 B.(x?10.1990年9月，美國《Parade》雜志首次公開討論了源自美國電視節(jié)目《Let’sMakeaDeal》的蒙提霍爾問題(MontyHallProblem)：主持人事先在編號為1，2，3的三個(gè)外觀相同的三扇門后隨機(jī)選擇一個(gè)放入豪車，其余兩扇門后放入山羊，再將三個(gè)門關(guān)閉.當(dāng)游戲參與者在三扇門中選擇一個(gè)門后，在門打開之前主持人先打開了另外兩個(gè)門中的一個(gè)門，按游戲規(guī)定，主持人只打開游戲參與者的選擇之外的門后是山羊的門，當(dāng)兩個(gè)都是山羊時(shí)，他隨機(jī)選擇其中一個(gè)打開，并問參與者是否愿意更改選擇以便更大概率獲得豪車.用Ai表示i號門后有豪車(i=1,2,3)，用Bj表示主持人打開j號門(j=2,3)，已知甲選擇了1號門，則下列結(jié)論正確的是(

)A.P(A1)=13

B.P(B2|A3)=1

C.主持人打開的是11.已知函數(shù)f(x)=ex(2x?1)x?1A.f(x)有唯一零點(diǎn)

B.f(x)min=4e32

C.?m∈R，使得f(x)=m有三個(gè)不等實(shí)根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x+y)8的展開式中x213.定義在(0,π2)上的函數(shù)f(x)滿足f(π6)=3且14.勒讓德三平方和定理(Legendre’sT?ree?SquareT?eorem)是數(shù)論中關(guān)于自然數(shù)表示為三個(gè)整數(shù)平方和的重要定理，其核心內(nèi)容為：如果一個(gè)自然數(shù)n符合下述條件時(shí)，則可以表示為三個(gè)整數(shù)平方之和，其中s，t均為非負(fù)整數(shù)：n=x2+y2+z2，n≠4s(8t+7).例如：正整數(shù)13=32+22+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x+f′(1)2lnx+3x．

(1)求f′(1)的值；

(2)16.(本小題15分)

為慶祝校慶，5名同學(xué)(3男2女)相約觀看《哪吒之魔童降世》，他們的座位在同一排且連在一起.(列出算式并計(jì)算結(jié)果)

(1)若男生必須坐在一起，女生必須坐在一起，共有多少種不同坐法？

(2)若所有男生互不相鄰，且所有女生也互不相鄰，共有多少種不同坐法？

(3)同學(xué)甲和同學(xué)乙必須相鄰，且他們都不與同學(xué)丙相鄰，共有多少種不同坐法？17.(本小題15分)

投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)得2分，擲得的點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí)得1分.獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分．

(1)設(shè)投擲3次骰子，最終得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望；

(2)學(xué)生甲、乙各投擲4次骰子，已知甲前兩次投擲后得了4分，求甲、乙4次投擲后，乙最終得分高于甲最終得分的概率．18.(本小題17分)

相約春風(fēng)里奔跑幸福中—2025石家莊馬拉松賽后，掀起了體育運(yùn)動(dòng)的熱潮.為推進(jìn)“陽光體育”進(jìn)校園活動(dòng)，市教育局隨機(jī)選取8所小學(xué)調(diào)研“趣味體操”的參與情況，統(tǒng)計(jì)各校參與學(xué)生人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表所示：學(xué)校ABCDEFGH參加趣味體操人數(shù)(人)4553233733182448(1)體育特色校評選

若“趣味體操”參與人數(shù)超過30人的學(xué)?？稍u為“體育特色?！?，現(xiàn)在從這8所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記可作為“體育特色校”的學(xué)校數(shù)量為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)體操技能測試

在趣味體操課程中，學(xué)生需掌握“平衡木”“跳箱”“前滾翻”三項(xiàng)基礎(chǔ)技能.階段性測試要求：在一輪測試中，這三項(xiàng)至少有兩項(xiàng)達(dá)到“優(yōu)秀”，該輪測試才被記為“優(yōu)秀”.某同學(xué)3項(xiàng)基本技能每項(xiàng)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為25，每項(xiàng)測試及每輪測試互不影響．

①求單輪測試“優(yōu)秀”的概率；

②如果該同學(xué)進(jìn)行多輪獨(dú)立測試，若希望“優(yōu)秀”總次數(shù)的期望達(dá)到2次，理論上至少需測試多少輪？19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ke2x+(k+2)ex+x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=xf(x)?x2?2lnx?mx?2，當(dāng)答案解析1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?0,+∞)，

導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1?1x=x?1x，令導(dǎo)函數(shù)f′(x)=0，可得x=1，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，即函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

所以x=1時(shí)，f(x)取得極小值，即最小值，且f(1)=1．

故選：A．

根據(jù)題意，求導(dǎo)可得f′(x)2.【答案】C

【解析】解：∵隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，P(0<X<4)=0.3，

∴P(0<X<2)=0.15，P(X<2)=0.5，

∴P(X<0)=P(X<2)?P(0<X<2)=0.5?0.15=0.35．

故選：C．

3.【答案】A

【解析】解：由離散型隨機(jī)變量X的分布列得：

0.3?q+0.12+0.9?2q+0.16=1，

解得q=0.16，

滿足0.3?q>0，0.9?2q>0，

∴q=0.16．

故選：A．

根據(jù)離散型隨機(jī)變量X的分布列概率之和為1即可求解．

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閤4=[2+(x?2)]4，

若x4=a0+a1(x?2)+a5.【答案】D

【解析】解：有紅、黃、藍(lán)、綠四種不同的顏色供選擇給趙爽弦圖涂色，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰兩個(gè)區(qū)域顏色不同，

若選三種顏色，

則①③同色且②④同色，

則有C43?A33=24種方法；

若選四種顏色，

則①③同色或②④同色，

則有2A44=48種方法；

6.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(x)=x(x?m)2，則f′(x)=(x?m)2+2x(x?m)=(x?m)(3x?m)，

因?yàn)閒(x)在x=1處有極小值，所以f′(1)=0，即(1?m)(3?m)=0，解得m=1或m=3．

當(dāng)m=1時(shí)，f′(x)=(x?1)(3x?1)，

由f′(x)>0有x>1或x<13，f′(x)<0有13<x<1．

所以f(x)在(13,1)上單調(diào)遞減，在(?∞,13),(1,+∞)單調(diào)遞增，

所以f(x)的極小值點(diǎn)為1滿足題意，此時(shí)C61=6；

當(dāng)m=3時(shí)，f′(x)=3(x?1)(x?3)，

由f′(x)>0有x>3或x<1，f′(x)<0有1<x<3．

所以f(x)在(1,3)單調(diào)遞減，7.【答案】B

【解析】解：從6名男生和4名女生中選出5人組成志愿者小組，要求小組中至少有2名女生，

只有2名女生入選時(shí)，先選2名女生，有C42種，再選3名男生，有C63種，有C42C63=120種；

有3名女生入選時(shí)，選3名女生，有C43種，再選2名男生，有C62種，有C43C62=60種；

有4名女生入選時(shí)，選4名女生，有C44種，再選1名男生，有C61種，有C48.【答案】C

【解析】解：設(shè)y=kx+b與f(x)=ex?2相切于點(diǎn)(t,et?2)，

f′(x)=ex，故切線斜率k=et，

f(x)在點(diǎn)(t,et?2)處的切線方程為y?et+2=et(x?t)，

即y=etx+(1?t)et?2，故b=(1?t)et?2，

設(shè)g(x)=lnx與y=kx+b相切于點(diǎn)(m,lnm)，

g′(x)=1x，則切線斜率k=1m，所以1m=et，解得m=e?t，

g(x)在(m,lnm)處的切線方程為y?lnm=1m(x?m)，

即y=1mx+lnm?1，故b=lnm?1，

所以(1?t)et?2=lnm?1，

將m=e?t代入上式得(1?t)et?2=lne?t?1=?t?19.【答案】ACD

【解析】解：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，則(sinπ3)′=0，

(x?x)′=1?x2x，

(exx2)′=exx2?2xex10.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，由題意P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，故A正確，

對于B，甲選擇1號箱，獎(jiǎng)品在3號箱里，主持人打開2號箱的概率為1，

即P(B2|A3)=1，故B正確，

對于C、D，在選擇了1號門的前提下，主持人打開2號門，分3種情況討論：

豪車在1號門里，主持人打開2號門，故P(B2|A1)=12，

豪車在2號門里，主持人打開2號門，故P(B2|A1)=0，

豪車在3號門里，主持人只能打開2號門，故P(11.【答案】AD

【解析】解：令

f(x)=0,即ex(2x?1)x?1=0，解得x=12，故A選項(xiàng)正確；

當(dāng)x=12時(shí)，f(12)=0<4e32，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)閒′(x)=exx(2x?3)(x?1)2(x≠1)，因此當(dāng)x∈(?∞,0)∪(32,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

當(dāng)x∈(0,1)∪(1,32)時(shí)，f′(x)<0，因此函數(shù)在(?∞,0)和(32,+∞)上單調(diào)遞增，

在(0,1)和(1,32)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→?∞，f(x)→0，f(x)>0，f(0)=1，

當(dāng)x<1且x→1時(shí)，f(x)→?∞，當(dāng)x>1且x→1時(shí)，f(x)→+∞，

當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，且f(32)=4e32，

根據(jù)單調(diào)性及極值，作大致圖象，

由圖象可知，不存在m∈R，使得f(x)=m有三個(gè)不等實(shí)根，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由|f(|x|)|=ex|2|x|?1|||x|?1|可知，x≠±1，|f(|?x|)|=|f(|x|)|，因此函數(shù)為偶函數(shù)，

12.【答案】28

【解析】解：(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為C86=C13.【答案】(π【解析】解：設(shè)F(x)=f(x)cosx，x∈(0,π2)，

那么導(dǎo)函數(shù)F′(x)=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x>0．

F(x)=f(x)cosx在區(qū)間(0,π2)上單調(diào)遞增．

又因?yàn)楫?dāng)x=π6時(shí)，F(xiàn)(π614.【答案】12

【解析】解：∵29=a2+b2+c2，其中a，b，c均為自然數(shù)，

∴a，b，c均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論：

①最大數(shù)為5的情況：29=52+22+02，5，2，0三個(gè)數(shù)互不相同，

此時(shí)共有A33=6種情況．

②最大數(shù)為4的情況：29=42+32+15.【答案】f′

=?4；

f(x)僅有極小值為f

=4?2ln3，無極大值．

【解析】(1)因?yàn)閒(x)=x+f′(1)2lnx+3x，x>0，

所以f′(x)=1+f′(1)2x?3x2，

所以f′(1)=1+f′(1)2?3，解得f′(1)=?4；

(2)由(1)可知f(x)=x?2lnx+3x，x>0，

所以f′(x)=(x+1)(x?3)x2x(0,3)3(3,+∞)f′(x)?0+f(x)單調(diào)遞減4?2ln3單調(diào)遞增所以f(x)僅有極小值為f(3)=4?2ln3，無極大值．

(1)求導(dǎo)可得f′(x)，然后令x=1代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(2)求導(dǎo)可得f′(x)，然后令f′(x)=0，即可得到極值點(diǎn)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．16.【答案】24種；

12種；

24種．

【解析】已知5名同學(xué)(3男2女)相約觀看《哪吒之魔童降世》，他們的座位在同一排且連在一起，

(1)若男生必須坐在一起，女生必須坐在一起，

先將3名男生排在一起，有A33=6種排法，

再將2名女生排在一起，有A22=2種排法，

將排好的男生、女生分別視為一個(gè)整體，再進(jìn)行排列，共有A22=2種排法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有A33×A22×A22=6×2×2=24種排法．

(2)若所有男生互不相鄰，且所有女生也互不相鄰，

先將3名男生排好，共有A33=6種排法，

再在這3名男生中間的2個(gè)空位中插入2名女生，共有A22=2種排法，

再由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A33×A22=6×2=12種排法．

(3)若同學(xué)甲和同學(xué)乙必須相鄰，且他們都不與同學(xué)丙相鄰，

先將甲乙丙以外的其余2人排好，共有17.【答案】分布列見解析；E(X)=4．

40729．【解析】(1)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)得2分，

擲得的點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí)得1分，

獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分，

投擲3次骰子，最終得分為X，

由題意得學(xué)生每次擲骰子得2分的概率為26=13，得1分的概率為1?13=23．

由題意學(xué)生投擲3次得分X的取值為3，4，5，6，

P(X=3)=(23)3X3456P8421∴E(X)=3×827+4×49+5×29+6×127=4．

(2)學(xué)生甲、乙各投擲4次骰子，甲前兩次投擲后得了4分，

記Am=“甲最終得分為m分”，m=6，7，8，

B=“乙最終得分高于甲最終得分”，

P(A6)=C22(23)2=49，P(A7)=C2123×13=49，P(A8)=(13)2=19，

當(dāng)甲最終得6分時(shí)，乙需要最終得7分或者8分，18.【答案】分布列見解析，E(X)=158．

①44125【解析】(1)趣味體操”參與人數(shù)超過30人的學(xué)?？稍u為“體育特色?！?，

從這8所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記可