考研概率題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A,B\)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，則\(P(AB)\)等于（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}kx^2,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(k\)的值為（）A.1B.2C.3D.44.設(shè)\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(0,1)\)，則\(Z=X-2Y\)服從的分布為（）A.\(N(1,8)\)B.\(N(1,6)\)C.\(N(1,4)\)D.\(N(1,2)\)5.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，則\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)服從的分布是（）A.\(t(n-1)\)B.\(t(n)\)C.\(N(0,1)\)D.\(\chi^2(n-1)\)6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\\frac{x}{2},&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)，則\(P(X=1)\)等于（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.17.已知隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^2)\)等于（）A.4B.8C.10D.128.設(shè)\(A,B\)為對(duì)立事件，且\(P(A)=0.6\)，則\(P(B)\)等于（）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.89.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從區(qū)間\([0,2]\)上的均勻分布，則\(E(X)\)等于（）A.0B.1C.2D.410.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0\ltx\lt\theta\\0,&其他\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，則\(\theta\)的矩估計(jì)量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(2\overline{X}\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.概率密度函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱(chēng)B.當(dāng)\(x=\mu\)時(shí)，\(f(x)\)取得最大值C.\(\sigma\)越大，曲線(xiàn)越“矮胖”D.\(\sigma\)越小，曲線(xiàn)越“瘦高”3.設(shè)\(X\)與\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則（）A.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(P(X\leqx,Y\leqy)=P(X\leqx)P(Y\leqy)\)D.\(Cov(X,Y)=0\)4.以下屬于離散型隨機(jī)變量的分布有（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.均勻分布D.正態(tài)分布5.設(shè)總體\(X\)具有均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，則（）A.樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)是\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)B.樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)C.樣本均值\(\overline{X}\)的方差\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)D.樣本方差\(S^2\)的方差\(D(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}\)6.設(shè)\(A,B,C\)為三個(gè)隨機(jī)事件，則（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\((A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)\)C.\(A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC)\)D.\(\overline{A\cupB}=\overline{A}\cap\overline{B}\)7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=\frac{C}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，則（）A.\(C=e\)B.\(X\)服從泊松分布C.\(E(X)=1\)D.\(D(X)=1\)8.設(shè)\(X\)與\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(Cov(X,Y)=0\)，則（）A.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)D.\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立9.以下關(guān)于分布函數(shù)\(F(x)\)的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)C.\(F(x)\)單調(diào)不減D.\(F(x)\)右連續(xù)10.設(shè)總體\(X\)服從參數(shù)為\(\theta\)的指數(shù)分布，概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，則（）A.樣本均值\(\overline{X}\)是\(\theta\)的無(wú)偏估計(jì)B.\(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}X_i}\)是\(\frac{1}{\theta}\)的無(wú)偏估計(jì)C.\(\theta\)的極大似然估計(jì)量是\(\overline{X}\)D.樣本方差\(S^2\)是\(\theta^2\)的無(wú)偏估計(jì)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）2.隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)是連續(xù)函數(shù)。（）3.設(shè)\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\)服從二項(xiàng)分布，\(Y\)服從泊松分布，則\(X+Y\)也服從泊松分布。（）4.樣本均值\(\overline{X}\)一定是總體均值\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)。（）5.若\(P(A)=0\)，則\(A\)是不可能事件。（）6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(P(X\lt\mu)=0.5\)。（）7.相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0\)時(shí)，\(X\)與\(Y\)一定相互獨(dú)立。（）8.總體方差\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)是樣本方差\(S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)。（）9.設(shè)\(A,B\)為兩個(gè)隨機(jī)事件，若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)。（）10.隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)\)一定存在。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(E\)是隨機(jī)試驗(yàn)，\(\Omega\)是它的樣本空間，對(duì)于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿(mǎn)足：非負(fù)性\(P(A)\geq0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，對(duì)兩兩互斥事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(zhòng)(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱(chēng)\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義。答案：設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(x,y\)，都有\(zhòng)(P(X\leqx,Y\leqy)=P(X\leqx)P(Y\leqy)\)，則稱(chēng)\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立。對(duì)于多個(gè)隨機(jī)變量，類(lèi)似地若聯(lián)合分布函數(shù)等于各自邊緣分布函數(shù)的乘積，則相互獨(dú)立。3.簡(jiǎn)述矩估計(jì)的基本思想。答案：矩估計(jì)的基本思想是用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩。因?yàn)闃颖緛?lái)自總體，樣本矩在一定程度上反映總體矩的特征。例如用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差等，通過(guò)建立總體矩與樣本矩的等式來(lái)求解未知參數(shù)的估計(jì)量。4.簡(jiǎn)述正態(tài)分布的性質(zhì)。答案：正態(tài)分布概率密度函數(shù)關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱(chēng)，在\(x=\mu\)處取得最大值；\(\sigma\)決定曲線(xiàn)形狀，\(\sigma\)越大曲線(xiàn)越“矮胖”，\(\sigma\)越小曲線(xiàn)越“瘦高”；正態(tài)分布的線(xiàn)性組合仍服從正態(tài)分布；若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(P(\mu-\sigma\ltX\lt\mu+\sigma)\approx0.6826\)等。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在實(shí)際應(yīng)用中，如何根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適的概率分布模型。答案：若數(shù)據(jù)是離散的，且是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)，可考慮二項(xiàng)分布；若事件在一定時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)發(fā)生且相互獨(dú)立，考慮泊松分布。對(duì)于連續(xù)數(shù)據(jù)，若數(shù)據(jù)集中在某一均值附近，且左右對(duì)稱(chēng)，可考慮正態(tài)分布；若數(shù)據(jù)在某區(qū)間均勻取值，用均勻分布。還需結(jié)合數(shù)據(jù)的分布特征、實(shí)際背景等綜合判斷。2.討論無(wú)偏估計(jì)和有效估計(jì)的意義及兩者關(guān)系。答案：無(wú)偏估計(jì)意義在于估計(jì)量的期望等于被估計(jì)參數(shù)真值，保證估計(jì)在平均意義下是準(zhǔn)確的。有效估計(jì)是在無(wú)偏估計(jì)中，方差最小的估計(jì)量，說(shuō)明其估計(jì)值更集中在真值附近。有效估計(jì)一定是無(wú)偏估計(jì)，但無(wú)偏估計(jì)不一定是有效估計(jì)，有效估計(jì)在無(wú)偏基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化了估計(jì)的精度。3.討論相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)的取值范圍及所代表的意義。答案：\(\rho_{XY}\)的取值范圍是\([-1,1]\)。當(dāng)\(\rho_{XY}=1\)時(shí)，\(X\)與\(Y\)完全正線(xiàn)性相關(guān)；\(\rho_{XY}=-1\)時(shí)，完全負(fù)線(xiàn)性相關(guān)；\(\rho_{XY}=0\)時(shí)，\(X\)與\(Y\)不相關(guān)。\(0\lt|\rho_{XY}|\lt1\)表示有一定線(xiàn)性相關(guān)程度，\(|\rho_{XY}|\)越接近1線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，越接近0線(xiàn)性相關(guān)性越弱。4.討論在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤的含義及兩者關(guān)系。答案：第一類(lèi)錯(cuò)誤是原假設(shè)\(H_0\)為真時(shí)，卻拒絕\(H_0\)；第二類(lèi)錯(cuò)誤是原假設(shè)\(H_0\)為假時(shí)，卻接受\(H_0\)。在