第09講圓心角與圓周角（1大知識(shí)點(diǎn)+9大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測）典型例題一圓心角概念辨析及簡單運(yùn)算典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運(yùn)算典型例題三求圓弧的度數(shù)典型例題四圓周角定理典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證典型例題七同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等典型例題八半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角典型例題九90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑知識(shí)01圓周角1．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．3．一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角?！炯磿r(shí)訓(xùn)練】1．（2024九年級(jí)上·浙江溫州·專題練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（）A． B．C． D．【即時(shí)訓(xùn)練】2．（2324九年級(jí)上·浙江溫州·課后作業(yè)）如圖，所對(duì)的圓周角是，所對(duì)的圓周角是．

【典型例題一圓心角概念辨析及簡單運(yùn)算】【例1】（2425九年級(jí)上·浙江紹興·期末）下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；④長度相等的兩條弧是等?。瓵．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【例2】（2025九年級(jí)·浙江溫州·專題練習(xí)）如圖所示，量角器的圓心O在矩形ABCD的邊AD上，直徑經(jīng)過點(diǎn)C，則∠OCB的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°1．（2425九年級(jí)上·浙江溫州·期中）下列命題中，正確的是（）①頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角；②相等的圓心角，所對(duì)的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；④在等圓中，圓心角不等，所對(duì)的弦也不等．A．①和② B．①和③C．①和④ D．①、②、③、④

3．（2425九年級(jí)上·浙江衢州·期中）如圖是半徑為2的圓，（1）在其中畫兩個(gè)不重疊的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圓心角為120度，扇形BOC的圓心角為90度，（2）求第三個(gè)扇形AOC的面積．【典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運(yùn)算】【例1】（2324九年級(jí)上·浙江麗水·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中不正確的是（

）A．直徑是弦 B．三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等C．頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角 D．半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧A．B．C． D．【例3】（2425九年級(jí)·浙江溫州·課后作業(yè)）頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做．圓周角的特征：①頂點(diǎn)在上；②兩邊都和圓．A．4 B． C．2 D．03．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）把下面的語句還原成圖形：作圖區(qū)域：【典型例題三求圓弧的度數(shù)】【例1】（2425九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，圓心角∠AOB=25°，將弧AB旋轉(zhuǎn)n°得到弧CD，則∠COD等于（）A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°【例2】（2425九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，已知⊙O的半徑為3，弦AB、CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB、∠COD，若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD=4，則弦AB的長為（

）【例4】（2324九年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則弧的度數(shù)是1．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對(duì)齊,且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上,設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為.且點(diǎn)在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為,那么點(diǎn)在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為(只考慮小于的角)(

)A． B． C． D．2．（2425九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，在以AB為直徑的半圓中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是．【典型例題四圓周角定理】A． B． C． D．A． B． C． D．1．（2025·湖北恩施·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦與弦互相垂直，則與的大小關(guān)系為（

）(1)如圖1，若過圓心，求的度數(shù)；【典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】A． B． C． D．【例4】（2425九年級(jí)上·浙江麗水·期末）有學(xué)者研究表明，我國古代制作銅鏡背面花紋時(shí)，所采用的四等分圓周的一種方法是：如圖所示，先由圓心畫出圓的一條直徑，再用“矩”（一種直角曲尺，可以畫直角）過圓心垂直于第一條直徑畫出第二條直徑，則這兩條直徑的四個(gè)端點(diǎn)將圓周四等分．請(qǐng)用你學(xué)過的一個(gè)定理解釋這種四等分圓周的方法的道理：．3．（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期末）小濱和小江在研究與圓有關(guān)的問題時(shí)發(fā)現(xiàn)：“在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等．”進(jìn)一步思考后，兩位同學(xué)提出了這樣的想法：這四對(duì)量中，如果有一對(duì)量存在倍數(shù)關(guān)系，其余三對(duì)量是否也會(huì)相應(yīng)的存在倍數(shù)關(guān)系？因此，在如圖所示的⊙O中，他們提出了如下猜想：請(qǐng)判斷小濱、小江所提的猜想是否正確，并說明理由．【典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】【例2】（2425九年級(jí)上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）結(jié)合各自對(duì)應(yīng)圖形，給出的相應(yīng)推理中，其中正確的是（

）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【例3】（2425九年級(jí)上·上海靜安·課后作業(yè)）120°的圓心角是360°的分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長的分之一．3．（2425九年級(jí)上·河南鄭州·期末）在《圓的對(duì)稱性》一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了“圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等”．實(shí)際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．請(qǐng)直接運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題：(2)若角的頂點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，請(qǐng)加以證明．【典型例題七同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】A． B． C． D．

A． B． C． D．3．（2425九年級(jí)上·福建莆田·期中）規(guī)定：將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓，圖1是銳角三角形和鈍角三角形的最小覆蓋圓．如圖2，要在四個(gè)村莊，，，修建一個(gè)電視信號(hào)中轉(zhuǎn)站，為了使這四個(gè)村莊的居民都能接收到電視信號(hào)，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?，請(qǐng)用尺規(guī)在圖上作出中轉(zhuǎn)站所建位置，請(qǐng)簡要說明理由．【典型例題八半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角】【例1】（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）一張直徑為10的半圓形卡紙，過直徑的兩端點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種裁剪圖中，所標(biāo)數(shù)據(jù)長度合理的是（

）A． B．C． D．1．（2425九年級(jí)上·云南玉溪·期中）下列說法正確的是（

）A．直徑是弦，反之弦也是直徑 B．長度相等的弧是等弧C．直徑所對(duì)的圓周角等于 D．過圓心的線段是直徑(1)求證：為的中點(diǎn)．(2)若＝，＝，求的長．【典型例題九90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】A． B． C． D．

1．（2425九年級(jí)上·河北唐山·期末）下列圖形中的線段是圓的直徑的是（

）A．B．C．D．3．（2324九年級(jí)上·江西贛州·期末）下面是證明定理的兩種方法，請(qǐng)完成證明過程．（兩種都要寫）證明定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．方法1：利用矩形判定和性質(zhì)證明．方法2：利用圓的性質(zhì)證明．1．（2324九年級(jí)上·浙江溫州·課后作業(yè)）如圖，在圖中標(biāo)出的4個(gè)角中，圓周角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2425九年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、B、C、D分別在圓上，則圖中弧的條數(shù)是（

）A．12條 B．11條 C．9條 D．8條A． B． C． D．A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④7．（2425九年級(jí)上·湖北咸寧·期末）如圖，A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，∠AOC=∠B，則∠B=度．11．（2425九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖所示，若扇形DOE與扇形AOE的圓心角的度數(shù)之比為1：2．求這五個(gè)圓心角的度數(shù)．14．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)A，B在圓上，以為邊在圓內(nèi)作正方形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖1中作出圓的一條直徑；(2)在圖2中作出圓內(nèi)接正方形．15．（2425九年級(jí)上·浙江紹興·期中）學(xué)