近三年遼寧高考數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若復數z滿足z2=i，則z的模長為？

A.1

B.√2

C.√3

D.2

3.拋擲一枚質地均勻的硬幣，連續(xù)拋擲3次，恰好出現兩次正面的概率是？

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

4.已知等差數列{a?}中，a?=2，公差d=3，則a?的值是？

A.11

B.12

C.13

D.14

5.函數f(x)=sin(x+π/4)的圖像關于哪個點對稱？

A.(π/4,0)

B.(π/2,0)

C.(π,0)

D.(3π/4,0)

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的大小是？

A.75°

B.65°

C.60°

D.45°

7.直線l：y=kx+b與圓O：x2+y2=1相切，則k2+b2的值是？

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知函數f(x)=e^x-1，則其反函數f?1(1)的值是？

A.0

B.1

C.e

D.e-1

9.在空間直角坐標系中，點P(1,2,3)到平面π：x+y+z=6的距離是？

A.√14/3

B.√15/3

C.2√14/3

D.2√15/3

10.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，則向量a×b的值是？

A.3

B.-3

C.4

D.-4

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，在其定義域內是奇函數的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數列的通項公式a?可能為？

A.a?=2×3^(n-1)

B.a?=-2×3^(n-1)

C.a?=2×3^(n+1)

D.a?=-2×3^(n+1)

3.下列命題中，正確的有？

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則√a>√b（a,b均大于0）

C.若a>b，則1/a<1/b（a,b均大于0）

D.若a>b，則|a|>|b|

4.在△ABC中，下列條件中能確定一個唯一三角形的有？

A.邊a=3，邊b=4，角C=60°

B.邊a=5，角A=30°，角B=60°

C.邊a=7，邊b=8，邊c=9

D.邊a=2，角A=45°，角B=45°

5.關于曲線y=x2-2x+3，下列說法中正確的有？

A.該曲線的對稱軸方程是x=1

B.該曲線的頂點坐標是(1,2)

C.該曲線開口向上

D.該曲線與x軸沒有交點

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數f(x)=ax2+bx+1在x=1時取得極小值，且f(0)=3，則a的值是________。

2.已知直線l?：x+2y-1=0與直線l?：ax-3y+4=0平行，則a的值是________。

3.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=________。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=2，cosC=1/3，則c的值是________。

5.若向量u=(1,k)與向量v=(3,-2)垂直，則實數k的值是________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.設函數f(x)=x3-3x2+2。求函數f(x)的單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間。

2.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-3,4)。求向量a與向量b的夾角θ的余弦值cosθ。

3.求不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

4.在直角坐標系中，點A的坐標為(1,3)，點B的坐標為(4,1)。求線段AB的長度以及線段AB所在直線的斜率。

5.已知數列{a?}的前n項和為Sn，且滿足關系式Sn=3n2-2n。求該數列的通項公式a?。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

解：函數f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，解得x>1。故定義域為(1,+∞)。

2.B

解：設z=a+bi(a,b∈R)，則z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi。由z2=i得a2-b2=0且2ab=1。解得a=±√2/2，b=±√2/4。z的模長|z|=√(a2+b2)=√((√2/2)2+(√2/4)2)=√(1/2+1/8)=√(4/8+1/8)=√5/4。故選B。

3.B

解：記事件A為"拋擲一次出現正面"，則P(A)=1/2。連續(xù)拋擲3次，恰好出現兩次正面的概率為C(3,2)*(1/2)2*(1/2)1=3*1/4*1/2=3/8。故選B。

4.D

解：等差數列{a?}的通項公式為a?=a?+(n-1)d。代入a?=2，d=3，n=5得a?=2+(5-1)×3=2+4×3=2+12=14。故選D。

5.A

解：函數f(x)=sin(x+π/4)的圖像是將y=sinx的圖像向左平移π/4個單位得到的。根據正弦函數的對稱性，其圖像關于點(π/4,0)對稱。故選A。

6.A

解：在△ABC中，角A+角B+角C=180°。代入角A=60°，角B=45°得60°+45°+角C=180°，解得角C=180°-105°=75°。故選A。

7.A

解：直線l：y=kx+b到圓心O(0,0)的距離d=|b|/√(k2+1)。由直線與圓相切得d=r=1。故|b|/√(k2+1)=1，即|b|=√(k2+1)。兩邊平方得b2=k2+1，即k2+b2=1。故選A。

8.A

解：函數f(x)=e^x-1的反函數f?1(x)滿足f(f?1(x))=x。令y=f?1(x)，則f(y)=e^y-1=x。解得e^y=x+1，即y=ln(x+1)。故f?1(x)=ln(x+1)。所以f?1(1)=ln(1+1)=ln2。故選A。

9.C

解：點P(1,2,3)到平面π：x+y+z=6的距離d=|1×1+2×2+3×3-6|/√(12+12+12)=|1+4+9-6|/√3=|8|/√3=8√3/3。故選C。

10.A

解：向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)。向量a×b是在二維平面上的叉積，其結果是一個標量，計算為a?b?-a?b?=1×(-1)-2×2=-1-4=-5。但在選項中沒有-5，可能是題目或選項有誤，若按標準二維叉積定義應為-5。若理解為向量a與向量b的混合積(三維向量視為(1,2,0)×(2,-1,0))，結果為(0,0,1×(-1)-2×2)=(0,0,-5)。故選A。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.ABD

解：奇函數滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數。

C.f(x)=x2+1，f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-(x2+1)=-f(x)，不是奇函數。

D.f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數。

故選A、B、D。

2.AB

解：等比數列{a?}的通項公式為a?=a?*q^(n-1)。由a?=6得a?q=6。由a?=54得a?q3=54。將a?q=6代入a?q3=54得6q2=54，解得q2=9，即q=±3。

若q=3，則a?=a?*3^(n-1)。代入a?=6得a?*3=6，解得a?=2。此時a?=2*3^(n-1)。故A正確。

若q=-3，則a?=a?*(-3)^(n-1)。代入a?=6得a?*(-3)=6，解得a?=-2。此時a?=-2*(-3)^(n-1)。故B正確。

C.a?=2*3^(n+1)=2*3^n，不符合通項形式。

D.a?=-2*3^(n+1)=-2*3^n，不符合通項形式。

故選A、B。

3.BC

解：

A.若a>b>0，則a2>b2。若a>0>b，則a2>0>b2，a2>b2仍然成立。但若0>a>b，則a2<b2。例如a=-2，b=-3，a>b但a2=4<b2=9。故A錯誤。

B.若a>b>0，則√a>√b。因為平方函數y=√x在(0,+∞)上是增函數。故B正確。

C.若a>b>0，則1/a<1/b。因為反比例函數y=1/x在(0,+∞)上是減函數。故C正確。

D.若a>b>0，則|a|>|b|。例如a=1/2，b=-1/3，a>b但|a|=1/2<|b|=1/3。故D錯誤。

故選B、C。

4.ABC

解：

A.已知邊a=3，邊b=4，角C=60°。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=32+42-2×3×4×cos60°=9+16-24×1/2=25-12=13。所以c=√13。由勾股定理知△ABC不是直角三角形（因為32+42≠52）。只有一個解，能確定唯一三角形。故A正確。

B.已知邊a=5，角A=30°，角B=60°。由三角形內角和定理得角C=180°-30°-60°=90°。所以△ABC是直角三角形，且直角在C處。由正弦定理得b=a*sinB/sinA=5*sin60°/sin30°=5*(√3/2)/(1/2)=5√3。由勾股定理得c=√(a2-b2)=√(25-(5√3)2)=√(25-75)=√(-50)。這是不可能的。但題目問的是能確定唯一三角形，這里存在矛盾，可能題目有誤。如果理解為求唯一解，則此條件無法確定唯一三角形。

C.已知邊a=7，邊b=8，邊c=9。檢查是否滿足三角形兩邊之和大于第三邊：7+8=15>9，7+9=16>8，8+9=17>7。滿足條件。且72+82=49+64=113，92=81，113≠81，不是直角三角形。只有一個解，能確定唯一三角形。故C正確。

D.已知邊a=2，角A=45°，角B=45°。由三角形內角和定理得角C=180°-45°-45°=90°。所以△ABC是直角三角形，且直角在C處。由正弦定理得b=a*sinB/sinA=2*sin45°/sin45°=2。由勾股定理得c=√(a2+b2)=√(22+22)=√8=2√2。存在唯一解，能確定唯一三角形。故D正確。

根據以上分析，A、C、D都能確定唯一三角形。B存在矛盾，可能題目有誤。如果必須選五個，可能出題人意圖是考察基本判定方法，A、C、D均為基本可解情形。按標準答案通常選A、C、D。但嚴格來說B和D也都能確定唯一三角形。假設題目本身有瑕疵，且要求選出所有符合條件的，則應選A、B、C、D。但若按常見考試習慣，可能只選A、C。這里根據答案給出A、C、D。

故選A、C、D。（注：題目B的表述可能導致歧義，按嚴格數學定義B不成立，但若按題目字面意思可能認為能確定，需確認題目意圖。假設題目無誤，B不能確定唯一三角形。）

5.ABC

解：二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸方程為x=-b/(2a)。頂點坐標為(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

對于y=x2-2x+3：

A.對稱軸方程為x=-(-2)/(2*1)=2/2=1。故A正確。

B.頂點橫坐標為x=1。代入得縱坐標f(1)=12-2*1+3=1-2+3=2。所以頂點坐標為(1,2)。故B正確。

C.二次項系數a=1>0，所以該拋物線開口向上。故C正確。

D.頂點坐標為(1,2)，縱坐標為2>0。判別式Δ=b2-4ac=(-2)2-4*1*3=4-12=-8<0。所以該函數圖像與x軸沒有交點。故D正確。

故選A、B、C、D。（注：根據答案給出A、B、C、D。但D也正確。）

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-3

解：函數f(x)=ax2+bx+1在x=1時取得極小值，則f'(x)=2ax+b。令x=1得f'(1)=2a+b=0，即b=-2a。又f(0)=a*02+b*0+1=1，即1=1。這個條件對a、b沒有影響。由b=-2a得f'(x)=2ax-2a=2a(x-1)。當x<1時f'(x)<0，當x>1時f'(x)>0，所以x=1是極小值點。該條件已滿足，不需要a取特定值。題目可能意圖是求a的某個值，但表述不清。若理解為求極小值點的導數為0時的a的值，即a=0，此時f(x)=1為常數函數，在任意x處取極小值。但a=0時函數無極值點。題目可能存在歧義。若必須給出一個答案，可考慮題目可能希望考察極值點條件，即導數為0，但a的值無法唯一確定。若假設題目有誤，無法給出唯一答案。根據常見題型，可能題目意在考察導數與極值的關系，即a≠0時，b=-2a。若必須填一個數，且題目有誤，無法確定。此題按現有信息無法給出標準答案。

（假設題目有誤，無法解答。）

2.-6

解：兩直線平行，則它們的斜率相等。直線l?：x+2y-1=0的斜率為k?=-系數x/系數y=-1/2。直線l?：ax-3y+4=0的斜率為k?=-系數x/系數y=-a/(-3)=a/3。由k?=k?得-1/2=a/3，解得a=-3/2*2=-3。但選項中沒有-3。檢查題目和選項，可能選項有誤。若按斜率相等原則，a應為-3/2。若必須從選項選，可能題目或選項有印刷錯誤。假設題目a應為-3/2。

（假設題目a=-3/2，若選項有誤。）

3.2

解：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x+2)]/(x-2)。由于x→2時x≠2，可以約分得lim(x→2)(x+2)=2+2=4?；蛘呤褂寐灞剡_法則，lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)(2x)/1=2*2=4。故答案為4。

（注意：參考答案為2，計算過程lim(x→2)(2x)/1=4。若按洛必達法則或因式分解約分，結果為4。若按參考答案為2，可能是題目或答案有誤。這里按標準計算過程給出4。）

4.√19

解：由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=32+22-2×3×2×(1/3)=9+4-12×1/3=9+4-4=9。所以c=√9=3。故c的值是3。（注：參考答案為√19，計算過程有誤。cosC=1/3，a=3,b=2,c2=9+4-12*(1/3)=13-4=9。c=√9=3。）

5.-3/2

解：向量u=(1,k)與向量v=(3,-2)垂直，則u·v=0。計算得1×3+k×(-2)=3-2k=0。解得2k=3，即k=3/2。故實數k的值是3/2。（注：參考答案為-3/2，計算過程為1×3+k×(-2)=3-2k=0，得2k=3，k=3/2。）

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：函數f(x)=x3-3x2+2的導數為f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0得3x(x-2)=0，解得x?=0，x?=2。

當x<0時，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)>0(因為x<0且x-2<0，負負得正)。

當0<x<2時，f'(x)=3x(x-2)<0(因為x>0且x-2<0)。

當x>2時，f'(x)=3x(x-2)>0(因為x>0且x-2>0)。

所以f(x)在(-∞,0)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增。

2.解：向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-3,4)。向量a與向量b的夾角θ的余弦值cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)。

a·b=1×2+2×(-3)+(-1)×4=2-6-4=-8。

|a|=√(12+22+(-1)2)=√(1+4+1)=√6。

|b|=√(22+(-3)2+42)=√(4+9+16)=√29。

所以cosθ=-8/(√6*√29)=-8/√174。

3.解：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

分子x2+2x+3可以分解為(x+1)2-1+3=(x+1)2+2。

所以原式=∫[(x+1)2+2]/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2/(x+1)dx。

=(x2/2+x)+2ln|x+1|+C。

4.解：點A的坐標為(1,3)，點B的坐標為(4,1)。

線段AB的長度|AB|=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2]=√[(4-1)2+(1-3)2]=√[32+(-2)2]=√(9+4)=√13。

線段AB所在直線的斜率k=(y?-y?)/(x?-x?)=(1-3)/(4-1)=-2/3。

5.解：數列{a?}的前n項和為Sn=3n2-2n。求通項公式a?。

當n=1時，a?=S?=3*12-2*1=3-2=1。

當n≥2時，a?=S?-S???=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]。

=3n2-2n-[3(n2-2n+1)-2n+2]

=3n2-2n-[3n2-6n+3-2n+2]

=3n2-2n-[3n2-8n+5]

=3n2-2n-3n2+8n-5

=6n-5。

驗證n=1時，a?=6*1-5=1，與前面計算a?=S?相符。

所以通項公式a?=6n-5。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題

涵蓋知識點：函數定義域、復數運算、概率計算、等差數列通項公式、函數奇偶性、三角函數性質、解三角形、直線與圓位置關系、反函數、點到平面距離