高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林地區(qū)普通高中友好學校聯(lián)合體2024-2025學年高一下學期期中數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知在復平面內對應的點為，則的共軛復數在復平面內對應的點為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，則，所以對應點坐標為.故選：C.2.已知向量，若，則實數（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】因為，則，解得.故選：A.3.已知復數，則的虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】為了將分母實數化，給的分子分母同時乘以分母的共軛復數，即：，所以的虛部為.故選：D.4.已知、兩地的距離為，、兩地的距離為，現(xiàn)測得，則、兩地的距離為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，,所以：，所以故選：D5.已知是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（）A.若、，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】對于A選項，若，則存在直線，使得，所以若，因為，所以，所以，故A選項正確.對于B選項，若，，則，故B選項正確.對于C選項，若，時，則，或，故C選項錯誤.對于D選項，因為，則過的面與交線l滿足，又，則，又，所以，故D選項正確.故選：C.6.已知向量，，若·=||·||，則實數的值為（）A.4 B. C.或4 D.2【答案】B【解析】由向量數量積運算公式可得：因為和均不為，所以.又因為，所以，即與同向，那么與共線.已知，，且與共線，則有：即，整理得.解得或.當時，，，此時，兩向量反向，不符合題意，舍去.當時，，，此時，兩向量同向，符合題意.實數的值為.故選：B.7.已知向量和的夾角為，且，，則（）A.3 B. C. D.13【答案】A【解析】由題意可得，故選：A8.已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側棱長為，則該正四棱臺內半徑最大的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出如圖所示正四棱臺，其中為正四棱臺的高，為其斜高，因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側棱長為，則，，，因為，故半徑最大的球不與上下底面同時相切，，則，則，過作正四棱臺的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內切球與四側面及下底面相切，即該正四棱臺內半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是平面，若，則可能（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.異面【答案】BCD【解析】若與相交，則與有公共點，因為，所以公共點在平面內，那么與有公共點，這與矛盾，所以與不可能相交，選項錯誤.當，時，與可能平行.例如在正方體中，平面，平面，此時，所以與可能平行，選項正確.當，時，與可能垂直.例如在正方體中，平面，平面，，所以與可能垂直，選項正確.當，時，與可能異面.例如在正方體中，平面，平面，與異面，所以與可能異面，選項正確.因此，與可能平行、垂直、異面.故選：BCD.10.在中，，，，則（）A. B.C.的面積為 D.外接圓的直徑是【答案】AD【解析】已知，因為是三角形內角，即，根據三角函數平方關系，可得：，根據余弦定理，已知，，，代入可得：，所以.根據正弦定理，可得，將，，代入可得：，所以選項正確.因為，根據大邊對大角可知，又因為，且是三角形內角，所以，那么，同時，所以選項錯誤.根據三角形面積公式，將，，代入可得：，所以C選項錯誤.根據正弦定理（為外接圓半徑），可得外接圓直徑，所以選項正確.

故選：AD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，則（）A.直線與是異面直線 B.直線與所成的角是C.直線平面 D.【答案】ABD【解析】對于A，由于平面，平面，故直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，故直線與所成的角是，故B正確；對于C，如圖，假設直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構成直角三角形，所以與不垂直，故假設錯誤，故C錯誤；對于D，連接以、、，因為，，,所以，則,即，又因為面,面,所以,因為,所以面,又因為面,所以,D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在菱形中，是的中點，若，則__________.【答案】【解析】在菱形中，由平面向量的加法法則可知：.∵是的中點，∴.故答案為：.13.的內角的對邊分別為，，，且，，若有兩解，則的一個可能整數值為_______.【答案】或【解析】由正弦定理及題中條件可得.∵有兩解，∴，即，∴，即.∴的一個可能整數值為或.故答案為：或.14.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_________.【答案】【解析】取中點，連接，.因為是中點，是中點，根據中位線性質，，那么（或其補角）就是異面直線與所成的角.已知平面，，.先求長度，在中，由勾股定理，則,又.在中，，而，所以，則.在中，根據余弦定理.把，，代入可得：.所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知均為實數，復數：，其中i為虛數單位，若，求的取值范圍.解：由題，所以為實數，即，則有，解得，即的取值范圍為.16.如圖，正方形的邊長為6，是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點.（1）設，求的值；（2）求的余弦值.解：（1）由題意知，，又，所以，故；（2）如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系.則.由于就是的夾角.的余弦值為.17.已知四面體，，.如圖.（1）證明：；（2）若，求四面體的體積.解：（1）取的中點，連.∵，為的中點，∴.又∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）∵，為的中點，∴.∵，∴，，.又平面，∴四面體的體積.18.已知的內角的對邊分別為的面積為．（1）求；（2）若，且的周長為5，設為邊BC中點，求AD.解：（1）依題意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因為，所以；（2）依題意，，因為，解得，因為，所以，所以．19.如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點.（1）證明：平面平面；（2）證明平面，并求直線到平面的距離.解：（